Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि \(x^2+1>0\) और \(x^2-1<x^2+1\), अनुपात हमेशा (1) से छोटा है। धन हर होने पर असमता की दिशा नहीं बदलती। / Since \(x^2+1>0\) and \(x^2-1<x^2+1\), the ratio is always less than (1). With a positive denominator, the inequality direction does not change.
\((f+g)(x)=x^2-6x+10+3=x^2-6x+13=(x-3)^2+4\)। चूँकि \((x-3)^2\geq 0\), इसका न्यूनतम मान 0 है, जो \(x=3\) पर प्राप्त होता है। अतः \((f+g)(x)\) का न्यूनतम मान 4 है। विकल्प 1 केवल \(f(x)\) के न्यूनतम मान को दर्शाता है; इसमें \(g(x)=3\) जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा-टिप: द्विघात फलन का न्यूनतम मान निकालने के लिए उसे पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें। / \((f+g)(x)=x^2-6x+10+3=x^2-6x+13=(x-3)^2+4\). Since \((x-3)^2\geq 0\), its minimum is 0, attained at \(x=3\). Therefore, the minimum value of \((f+g)(x)\) is 4. Option 1 is only the minimum of \(f(x)\) and incorrectly ignores the added constant \(g(x)=3\). Exam tip: For a quadratic function, completing the square quickly reveals its minimum value.
(f) का प्रांत \(x\ne 0\) है और \(fg=\frac{1}{x}\cdot x=1\)। उत्पाद सरल हो सकता है, पर प्रांत मूल फलन से तय होगा। / The domain of (f) is \(x\ne 0\), and \(fg=\frac{1}{x}\cdot x=1\). The product may simplify, but the domain comes from the original functions.
फलनों के योग के लिए (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x² + (−x² + 4) = 4। x² और −x² समान पद होने के कारण कट जाते हैं, इसलिए परिणाम हर x के लिए 4 रहता है और यह स्थिर फलन है। अतः 2x² + 4 वाला विकल्प गलत है, क्योंकि द्विघात पद समाप्त हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: समान घात वाले पदों के गुणांकों को पहले जोड़ें। / For the sum of two functions, (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x² + (−x² + 4) = 4. The like terms x² and −x² cancel, so the result is 4 for every x, making it a constant function. The quadratic option is incorrect because the x² term vanishes. Exam tip: combine the coefficients of like powers before identifying the function type.
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x^2+px+1)-(x^2-px+1)\)। समान पद \(x^2\) और स्थिर पद \(1\) कट जाते हैं, जबकि \(px-(-px)=2px\), इसलिए सही उत्तर \(2px\) है। विकल्प D में घटाव के समय ऋण चिह्न का प्रभाव गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का अंतर निकालते समय दूसरे फलन के प्रत्येक पद के आगे ऋण चिह्न लगाएँ। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x^2+px+1)-(x^2-px+1)\). The like terms \(x^2\) and the constants \(1\) cancel, while \(px-(-px)=2px\). Hence, the correct answer is \(2px\). Option D results from mishandling the minus sign before \(-px\). Exam tip: when subtracting functions, distribute the minus sign to every term of the second function.
(f(0)=-1) और (g(0)=-1), इसलिए योग (-2) है। दिए बिंदु पर हर शून्य है या नहीं, पहले जांचें। / (f(0)=-1) and (g(0)=-1), so the sum is (-2). First check whether the denominator is zero at the given point.
(f=(x-2)2), इसलिए \(\frac{f}{g}=x-2\), पर (x=2) हटेगा। रद्द हुए कारक भी प्रांत प्रतिबंध छोड़ते हैं। / (f=(x-2)2), so \(\frac{f}{g}=x-2\), but (x=2) is excluded. Cancelled factors still leave domain restrictions.
(f(1)=1) और (g(1)=4), इसलिए \(\lambda+4=9\) और \(\lambda=5\)। रैखिक संयोजन में पहले फलन मान निकालें। / (f(1)=1) and (g(1)=4), so \(\lambda+4=9\) and \(\lambda=5\). In a linear combination, first find the function values.
((fg)(x)=2x-3), जिसका परास सभी वास्तविक संख्याएं है। विषम घात वाला बहुपद अक्सर \(\mathbb{R}\) तक जाता है। / ((fg)(x)=2x-3), whose range is all real numbers. An odd-degree polynomial often covers \(\mathbb{R}\).
समान हर होने से ((f+g)(x)=\frac{1+x-2}{x-2+1}=1)। समान हर में केवल अंश जोड़ें। / With the same denominator, ((f+g)(x)=\frac{1+x-2}{x-2+1}=1). For common denominators, add only numerators.
