Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. वे \(x\ne 4\) पर समान हैं/They are equal for \(x\ne 4\)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)) सरल होकर (x+4) बनता है, लेकिन (x=4) पर (f) अपरिभाषित है। समान फलनों में नियम के साथ प्रांत भी देखें। / (f(x)) simplifies to (x+4), but (f) is undefined at (x=4). For equal functions, check both rule and domain.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(2x-1\ge 0\) और \(7-3x\ge 0\) चाहिए। इसलिए प्रांत \(\left[\frac{1}{2},\frac{7}{3}\right]\) है। / Both square roots require \(2x-1\ge 0\) and \(7-3x\ge 0\). Hence the domain is \(\left[\frac{1}{2},\frac{7}{3}\right]\).
घटाव के लिए दोनों फलन परिभाषित होने चाहिए, इसलिए (x=-3) और (x=4) हटेंगे। हर शून्य कराने वाले मान हमेशा हटाएं। / For subtraction, both functions must be defined, so (x=-3) and (x=4) are excluded. Always remove values making any denominator zero.
\(f(-2)=0\) और \(g(-2)=-1\), इसलिए भागफल (0) है। किसी बिंदु पर पहले हर शून्य है या नहीं जांचें। / \(f(-2)=0\) and \(g(-2)=-1\), so the quotient is (0). At a point, first check whether the denominator is zero.
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=|x|-x\)। जब \(x\ge 0\), तब \(|x|=x\), इसलिए \(|x|-x=0\)। जब \(x<0\), तब \(|x|=-x\) और \(|x|-x=-2x\), जो शून्य नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प C अधूरा है क्योंकि सभी धनात्मक मान भी समाधान हैं। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले प्रश्नों में हमेशा \(x\ge 0\) और \(x<0\) के दो मामले जाँचें। / Here, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=|x|-x\). For \(x\ge 0\), \(|x|=x\), so \(|x|-x=0\). For \(x<0\), \(|x|=-x\), giving \(|x|-x=-2x\), which is not zero. Hence option A is correct; option C is incomplete because every non-negative value, not just zero, is a solution. Exam tip: For modulus expressions, always check the cases \(x\ge 0\) and \(x<0\).
((f-g)(x)=x-2+2x+4=(x+1)2+3), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। न्यूनतम के लिए वर्ग पूर्ण करना तेज तरीका है। / ((f-g)(x)=x-2+2x+4=(x+1)2+3), so the minimum value is (3). Completing the square is a fast method for minimum value.
फलनों के रैखिक संयोजन में गुणांक पूरे फलन पर लागू होते हैं: \((3f-2g)(x)=3f(x)-2g(x)=3(x^2+1)-2(2x-3)\)। इसे सरल करने पर \(3x^2+3-4x+6=3x^2-4x+9\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में स्थिर पद का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋण चिह्न वाले गुणांक को कोष्ठक के प्रत्येक पद पर सावधानी से वितरित करें। / For a linear combination of functions, the coefficients multiply the entire functions: \((3f-2g)(x)=3f(x)-2g(x)=3(x^2+1)-2(2x-3)\). Simplifying gives \(3x^2+3-4x+6=3x^2-4x+9\), so option A is correct. In option C, the constant term has the wrong sign. Exam tip: distribute a negative coefficient across every term inside the parentheses.
(g(x)) में हर (x-3) है, इसलिए (x=3) पर (g) और (f+g) अपरिभाषित हैं। योग में दोनों फलन परिभाषित होने चाहिए। / The denominator of (g(x)) is (x-3), so at (x=3), (g) and (f+g) are undefined. In a sum, both functions must be defined.
भले ही गुणन सरल होकर (1) दिखे, मूल फलनों में (x=1) और (x=-1) निषिद्ध हैं। प्रांत सरलीकरण के बाद नहीं बदलना चाहिए। / Even if the product simplifies to (1), the original functions forbid (x=1) and (x=-1). The domain should not be changed after simplification.
