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A. समान नियम और समान डोमेन होने पर/when they have same rule and same domain
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x-1) केवल \(x\neq-1\) पर है, जबकि (g) पूरे \(\mathbb{R}\) पर है। समान फलन के लिए नियम के साथ डोमेन भी समान होना चाहिए। / (f(x)=x-1) only for \(x\neq-1\), while (g) is on all \(\mathbb{R}\). Equal functions must have both the same rule and the same domain.
दोनों फलनों में (x=-1) और (x=1) अनुमत नहीं हैं। इसलिए (f-g) का डोमेन \( \mathbb{R}-{-1,1} \) है। / In both functions, (x=-1) and (x=1) are not allowed. Hence the domain of (f-g) is \( \mathbb{R}-{-1,1} \).
(f-g=x-2-2x+1=(x-1)2), जो (0) केवल (x=1) पर होता है। पूर्ण वर्ग देखकर शून्य जल्दी मिल जाता है। / (f-g=x-2-2x+1=(x-1)2), which is (0) only at (x=1). A perfect square helps identify the zero quickly.
मूल के लिए \(x\ge -3\) और हर के लिए \(x\ne 2\) चाहिए। गुणन में भी दोनों फलनों का सामान्य प्रांत लिया जाता है। / The root needs \(x\ge -3\) and the denominator needs \(x\ne 2\). For a product, take the common domain of both functions.
सरलीकरण के बाद भी मूल हर \(x-2\ne 0\) होना चाहिए। रद्द करने से हटे हुए मान वापस प्रांत में नहीं आते। / Even after simplification, the original denominator must satisfy \(x-2\ne 0\). Cancelled denominator values do not return to the domain.
(f(4)=1) और (g(4)=9), इसलिए ((f-g)(4)=1-9=-8)। मान निकालते समय पहले अलग-अलग फलनों के मान निकालें। / (f(4)=1) and (g(4)=9), so ((f-g)(4)=1-9=-8). Find individual function values first.
दोनों हरों के कारण \(x\ne 1\) और \(x\ne -1\) चाहिए। गुणन (1) बनता है पर प्रतिबंध बने रहते हैं। / The denominators require \(x\ne 1\) and \(x\ne -1\). The product becomes (1), but the restrictions remain.
मूल के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(x\in[-3,3]\), और \(x\ne 0\)। योग का प्रांत दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद है। / The root needs \(9-x^2\ge 0\), so \(x\in[-3,3]\), and \(x\ne 0\). The domain of the sum is the intersection.
फलनों के बीजीय संयोजन में \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\)। अतः \(2f(x)=2x^2+4x\) और \(3g(x)=9x-15\)। इसलिए \((2f-3g)(x)=(2x^2+4x)-(9x-15)=2x^2-5x+15\)। विकल्प C में \(3g(x)\) घटाते समय \(9x\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋण चिह्न वाले पूरे पद को कोष्ठक में रखकर घटाएँ। / For an algebraic combination of functions, \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\). Thus, \(2f(x)=2x^2+4x\) and \(3g(x)=9x-15\). Therefore, \((2f-3g)(x)=(2x^2+4x)-(9x-15)=2x^2-5x+15\). Option C results from using the wrong sign while subtracting \(3g(x)\). Exam tip: place the entire function being subtracted in parentheses before simplifying.
समान हर ((x+1)(x-1)) लेने पर अंश ((x-1)+(x+1)=2x) मिलता है। हर के शून्य मान हटाना न भूलें। / With common denominator ((x+1)(x-1)), the numerator is ((x-1)+(x+1)=2x). Do not forget excluded denominator values.
