Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। जोड़ में अंशों को सही तरह जोड़ें। / (\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). Add the numerators correctly after taking the common denominator.
(f-2-g-2=(f-g)(f+g)=\frac{2}{x}\cdot2x=4), जहाँ \(x\neq0\)। पहचान का प्रयोग गणना को छोटा करता है। / (f-2-g-2=(f-g)(f+g)=\frac{2}{x}\cdot2x=4), where \(x\neq0\). Using an identity makes the calculation shorter.
पहले x=0 रखने पर f(0)=0²+4(0)+5=5 और g(0)=0²−4(0)+5=5 प्राप्त होते हैं। गुणनफल फलन के लिए (fg)(0)=f(0)g(0), इसलिए (fg)(0)=5×5=25। विकल्प B केवल एक फलन का मान है, दोनों का गुणनफल नहीं। परीक्षा-सुझाव: (fg)(a) को हमेशा f(a) और g(a) के गुणनफल के रूप में लिखें। / Substituting x=0 gives f(0)=0²+4(0)+5=5 and g(0)=0²−4(0)+5=5. For the product function, (fg)(0)=f(0)g(0), so (fg)(0)=5×5=25. Option B is only the value of one function, not their product. Exam tip: Rewrite (fg)(a) as f(a)g(a) before substituting values.
भागफल \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) शून्य तभी होगा जब अंश शून्य हो और हर शून्य न हो। यहाँ \(f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), इसलिए अंश के शून्यक \(x=2\) और \(x=3\) हैं। लेकिन \(x=2\) पर \(g(x)=0\), इसलिए वह मान परिभाषित नहीं है। अतः केवल \(x=3\) पर भागफल शून्य होगा। परीक्षा-टिप: किसी भिन्नात्मक फलन के शून्यक ज्ञात करते समय अंश के शून्यकों में से उन मानों को हटाएँ जो हर को शून्य करते हैं। / The quotient \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) is zero only when the numerator is zero and the denominator is non-zero. Here, \(f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), so the numerator is zero at \(x=2\) and \(x=3\). However, \(g(2)=0\), so the quotient is undefined at \(x=2\). Therefore, the only valid zero is \(x=3\). Exam tip: For the zeros of a quotient function, first find the zeros of the numerator and then exclude any value that makes the denominator zero.
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x\ge2\) और हर \(x-5\neq0\) चाहिए। इसलिए \( [2,\infty\)-{5} ) सही है। / For \(\sqrt{x-2}\), \(x\ge2\), and the denominator needs \(x-5\neq0\). Hence \( [2,\infty\)-{5} ) is correct.
फलनों का बीजीय संयोजन उनके मानों पर उसी क्रम में लागू होता है: \((f-g+h)(x)=f(x)-g(x)+h(x)=x^2-2x+1\)। अतः यह \((x-1)^2\) के बराबर है। विकल्प B में \(-2x\) का चिन्ह गलत होकर \(+2x\) हो गया है। परीक्षा में घटाए जा रहे पूरे फलन के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलना न भूलें। / Algebraic operations on functions are performed in the stated order: \((f-g+h)(x)=f(x)-g(x)+h(x)=x^2-2x+1\). Therefore, it simplifies to \((x-1)^2\). In option B, the sign of the middle term is incorrectly changed to \(+2x\). Exam tip: when subtracting a function, carefully retain the negative sign for all its terms.
\(f-g=\frac{4}{x}\) और (f+g=2), इसलिए \(f^2-g^2=\frac{8}{x}\)। पहचान (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) बहुत उपयोगी है। / Here \(f-g=\frac{4}{x}\) and (f+g=2), so \(f^2-g^2=\frac{8}{x}\). The identity (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) is very useful.
(f) के लिए (x>0) और (g) के लिए \(x\ge1\) चाहिए, अतः प्रतिच्छेद \( [1,\infty\) ) है। गुणन में भी दोनों फलनों का साझा डोमेन लें। / For (f), (x>0), and for (g), \(x\ge1\). Their intersection is \( [1,\infty\) ). For product also, take the common domain of both functions.
समीकरण (x-2-4-(|x|-2)=0) से \(x^2-|x|-2=0\) मिलता है। (t=|x|) रखने पर (t=2) नहीं, बल्कि सीधे केस से (x=-1,2) मिलते हैं। / The equation (x-2-4-(|x|-2)=0) gives \(x^2-|x|-2=0\). Solving by cases gives (x=-1,2).
\(f+g=2x^2+2q\), इसलिए (2q=10) और (q=5)। समान पदों के गुणांक मिलाना सबसे साफ तरीका है। / \(f+g=2x^2+2q\), so (2q=10) and (q=5). Comparing coefficients of like terms is the cleanest method.
