Practice focused topic-wise MCQs with answers and explanations for quick revision and exam preparation.
Difficulty select karke sirf is topic ke focused MCQs practice karein. Score, timer aur explanations student-friendly flow me milenge.
Showing 201-210 of 594 questions.
If (n=4), what is the value of (\frac{(n+2)!}{n!})?
C. (30)
(n=4) रखने पर \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\)। पहले चर का मान रखकर फैक्टोरियल अनुपात सरल करें। / Putting (n=4), \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\). Substitute the variable first and simplify the factorial ratio.
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What is the value of \(\frac{8!-7!}{6!}\)?
D. 49
\(8!=8\times7!\) लिखने पर, \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\) प्राप्त होता है। अब \(7!=7\times6!\), इसलिए \(\frac{7\times7!}{6!}=\frac{7\times7\times6!}{6!}=49\)। अतः सही उत्तर 49 है। 56 तब मिलता है जब \(7!\) को \(7\times6!\) के रूप में सही ढंग से प्रतिस्थापित नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में निकालें। / Writing \(8!=8\times7!\), we get \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\). Since \(7!=7\times6!\), \(\frac{7\times7!}{6!}=\frac{7\times7\times6!}{6!}=49\). Therefore, 49 is correct. The value 56 may result from failing to express \(7!\) correctly as \(7\times6!\). Exam tip: in factorial expressions, first factor out the smaller factorial common to the terms.
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If \(\frac{n!}{(n-2)!}=56\), what is the value of (n)?
B. \(8\)
फैक्टोरियल की परिभाषा से \(n!=n(n-1)(n-2)!\)। इसलिए \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=56\)। अब \(8\times7=56\), अतः \(n=8\) है। \(n=7\) निकट विकल्प है, लेकिन तब \(7\times6=42\) मिलेगा। फैक्टोरियल में \(n\) को धनात्मक पूर्णांक माना जाता है, इसलिए ऋणात्मक हल मान्य नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाइए। / Using the factorial definition, \(n!=n(n-1)(n-2)!\). Therefore, \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=56\). Since \(8\times7=56\), \(n=8\). The close distractor \(7\) gives \(7\times6=42\), not 56. In factorial notation, \(n\) is taken as a positive integer, so a negative algebraic root is not valid. Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling.
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What is the value of \(\frac{6!+5!}{4!}\)?
D. 35
\(6!=6\times5\times4!\) और \(5!=5\times4!\)। अतः \(\frac{6!+5!}{4!}=\frac{(6\times5\times4!)+(5\times4!)}{4!}=30+5=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। 30 केवल \(6!\) वाले पद से मिलता है; \(5!\) वाला पद भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे समान फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4!\) and \(5!=5\times4!\), \(\frac{6!+5!}{4!}=\frac{(6\times5\times4!)+(5\times4!)}{4!}=30+5=35\). Hence, 35 is correct. The value 30 comes from considering only the \(6!\) term; the \(5!\) term must also be included. Exam tip: Rewrite larger factorials as multiples of a common smaller factorial before simplifying.
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What is the value of \(\frac{9!}{6!}-\frac{7!}{5!}\)?
A. (462)
\(\frac{9!}{6!}=504\) और \(\frac{7!}{5!}=42\), इसलिए अंतर (462) है। दोनों अनुपात अलग-अलग सरल करें। / \(\frac{9!}{6!}=504\) and \(\frac{7!}{5!}=42\), so the difference is (462). Simplify both ratios separately.
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What is the simplified form of (\frac{(n+3)!}{(n+1)!}+\frac{(n+2)!}{n!})?
B. (2(n+2)2)
पहला पद ((n+3)(n+2)) और दूसरा ((n+2)(n+1)) है। समान ((n+2)) लेने पर (2(n+2)2) मिलता है। / The first term is ((n+3)(n+2)) and the second is ((n+2)(n+1)). Taking common ((n+2)) gives (2(n+2)2).
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If \(\frac{(n+2)!}{n!}=42\), what is the value of (n)?
C. \(5\)
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\) होने से \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) मिलता है। अतः \((n+2)(n+1)=42\)। क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल \(42\) देने वाली जोड़ी \(6\) और \(7\) है, इसलिए \(n+1=6\) तथा \(n=5\)। \(n=4\) लेने पर गुणनफल \(5\times6=30\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान \(n!\) को काटने से पहले बड़े फैक्टोरियल को विस्तार से लिखें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), we get \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Hence, \((n+2)(n+1)=42\). The consecutive positive integers whose product is \(42\) are \(6\) and \(7\), so \(n+1=6\) and \(n=5\). If \(n=4\), the product would be \(5\times6=30\), so it is not correct. Exam tip: Before cancelling a factorial in a fraction, expand the larger factorial up to the common factorial term.
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What is the value of \(\frac{12!}{10!,2!}+\frac{8!}{6!,2!}\)?
D. 94
यहाँ प्रत्येक हर में अल्पविराम का अर्थ गुणन है। अतः \(\frac{12!}{10!\,2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) और \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2}=28\)। इसलिए योग \(66+28=94\) है। विकल्प 90 तब मिल सकता है जब गुणनफल या जोड़ में गलती हो। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को पहले सामान्य पदों तक काटकर सरल करें। / Here, the comma in each denominator indicates multiplication. Thus, \(\frac{12!}{10!\,2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) and \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2}=28\). Therefore, the sum is \(66+28=94\). Option 90 can result from an error in multiplication or addition. Exam tip: Cancel common factorial terms first to simplify quickly.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+1)!-n!}{(n-1)!}\)?
A. \(n^2\)
\((n+1)!=(n+1)n!\) लिखने पर अंश \((n+1)n!-n!=n![(n+1)-1]=n\cdot n!\) हो जाता है। अब \(n!=n(n-1)!\), इसलिए \(\frac{n\cdot n!}{(n-1)!}=n\cdot n=n^2\)। अतः सही उत्तर \(n^2\) है। \(n(n+1)\) तब मिलता यदि \(n!\) घटाने की क्रिया को गलत ढंग से छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखें। / Using \((n+1)!=(n+1)n!\), the numerator becomes \((n+1)n!-n!=n![(n+1)-1]=n\cdot n!\). Since \(n!=n(n-1)!\), \(\frac{n\cdot n!}{(n-1)!}=n\cdot n=n^2\). Hence, the correct answer is \(n^2\). The expression \(n(n+1)\) would result from incorrectly ignoring the subtraction of \(n!\). Exam tip: In factorial expressions, first rewrite the larger factorial in terms of the smaller one.
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What is the value of \(\frac{7!}{4!,3!}\times3!\)?
C. 210
यहाँ हर में \(4!\) और \(3!\) का गुणन अभिप्रेत है। अतः \(\frac{7!}{4!\,3!}\times3!=\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\)। इसलिए सही विकल्प \(210\) है। \(140\) जैसा उत्तर \(3!\) को सही ढंग से निरस्त न करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: समान गुणनखंड ऊपर और नीचे हों, तो पहले उन्हें निरस्त करके गणना सरल बनाइए। / Here, the denominator is intended to mean the product \(4!\,3!\). Thus, \(\frac{7!}{4!\,3!}\times3!=\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\). Therefore, \(210\) is the correct option. An answer such as \(140\) may result from not cancelling \(3!\) correctly. Exam tip: Cancel common factors in the numerator and denominator before expanding factorials.
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