Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिए गए अंतराल में \(-1\) शामिल है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है। इसलिए पूर्णांक हल \(-1,0,1,2,3\) हैं। इनकी कुल संख्या \(5\) है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) वाले छोर को गिनें और \(<\) वाले छोर को न गिनें। / The interval includes \(-1\) because of \(\leq\), but excludes \(4\) because of \(<\). Thus the integer solutions are \(-1,0,1,2,3\), giving a total of \(5\) solutions. Exam tip: include an endpoint marked by \(\leq\) and exclude one marked by \(<\).
B. \(-2\) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at \(-2\) and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
\(3x+4\ge -2\) में दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(3x\ge -6\) मिलता है। 3 से भाग देने पर \(x\ge -2\) प्राप्त होता है। \(\ge\) का अर्थ है कि \(-2\) भी हल में शामिल है, इसलिए वहाँ भरा वृत्त बनेगा और \(-2\) से बड़े मानों के लिए दाईं ओर छायांकन होगा। खाली वृत्त केवल \(>\) या \(<\) में बनता है। परीक्षा टिप: पहले असमानता को \(x\) के रूप में लिखें, फिर चिह्न देखकर वृत्त और दिशा चुनें। / Subtracting 4 from both sides of \(3x+4\ge -2\) gives \(3x\ge -6\). Dividing by 3 gives \(x\ge -2\). Since \(\ge\) includes \(-2\), the point \(-2\) is shown with a closed circle, and values greater than \(-2\) are shaded to the right. An open circle is used for strict inequalities such as \(>\) or \(<\). Exam tip: First write the inequality in terms of \(x\), then use the sign to choose the circle and direction.
हल करने पर \(-3x\le 6\) और फिर \(x\ge -2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देते समय चिह्न बदलना न भूलें। / Solving gives \(-3x\le 6\) and then \(x\ge -2\). Remember to reverse the sign when dividing by a negative.
\(5x-1\le14\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(5x\le15\) मिलता है। 5 से भाग देने पर \(x\le3\) प्राप्त होता है। इसलिए 3 तथा उससे छोटे सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं, जिसका अंतराल \((-\infty,3]\) है। विकल्प A में 3 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x<3\) के लिए होता। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) होने पर सीमांत बिंदु को वर्ग कोष्ठक से शामिल करते हैं। / Adding 1 to both sides of \(5x-1\le14\) gives \(5x\le15\). Dividing by 5 gives \(x\le3\). Hence, all real numbers less than or equal to 3 are included, represented by \((-\infty,3]\). Option A excludes 3, so it represents \(x<3\). Exam tip: Use a square bracket at an endpoint when \(\le\) or \(\ge\) includes that endpoint.
खुला सिरा सीमा को बाहर रखता है और बंद सिरा सीमा को शामिल करता है। इसलिए \(-1<x\le 6\) सही है। / An open endpoint excludes the boundary and a closed endpoint includes it. Hence \(-1<x\le 6\) is correct.
वर्ग कोष्ठक (-4) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक (3) को बाहर रखता है। इसलिए \(-4\le x<3\) होगा। / The square bracket includes (-4) and the parenthesis excludes (3). Therefore the form is \(-4\le x<3\).
सभी भागों को (2) से भाग देने पर \(-3\le x<5\) मिलता है। इसलिए बायाँ सिरा बंद और दायाँ सिरा खुला है। / Dividing all parts by (2) gives \(-3\le x<5\). Hence the left endpoint is closed and the right endpoint is open.
पहला भाग (-2) को शामिल करता है और दूसरा भाग (4) को बाहर रखता है। अलग भागों के लिए \(\cup\) का प्रयोग करें। / The first part includes (-2) and the second part excludes (4). Use \(\cup\) for separate parts.
B. 5 पर बंद वृत्त और दाईं ओर छायांकन/Closed circle at 5 with shading to the right
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x-2}{3}\ge 1\) में 3 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(x-2\ge 3\)। अतः \(x\ge 5\)। 5 भी हल में शामिल है, इसलिए 5 पर बंद वृत्त बनेगा और 5 से बड़े मानों के लिए दाईं ओर छायांकन होगा। विकल्प A में खुला वृत्त होता, जो \(x>5\) के लिए होता। परीक्षा टिप: \(\ge\) या \(\le\) में सीमा बिंदु पर हमेशा बंद वृत्त बनता है। / In \(\frac{x-2}{3}\ge 1\), 3 is positive, so multiplying both sides by 3 does not reverse the inequality: \(x-2\ge 3\). Thus, \(x\ge 5\). Since 5 is included in the solution, the number line has a closed circle at 5 and shading to the right for values greater than 5. Option A would represent \(x>5\) because it uses an open circle. Exam tip: Use a closed circle for \(\ge\) or \(\le\).
\(\frac{2x+1}{5}<3\) में 5 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2x+1<15\)। अतः \(2x<14\), इसलिए \(x<7\)। क्योंकि असमानता कठोर है, \(7\) इसमें शामिल नहीं होगा; सही अंतराल \(( -\infty,7)\) है। \(( -\infty,7]\) गलत है क्योंकि उसमें \(7\) भी शामिल है। परीक्षा टिप: \(<\) या \(>\) के लिए खुले कोष्ठक और \(\leq\) या \(\geq\) के लिए बंद कोष्ठक लगते हैं। / In \(\frac{2x+1}{5}<3\), 5 is positive, so multiplying both sides by 5 does not reverse the inequality: \(2x+1<15\). Thus, \(2x<14\), giving \(x<7\). Since the inequality is strict, 7 is not included; the correct interval is \(( -\infty,7)\). The interval \(( -\infty,7]\) is incorrect because it includes 7. Exam tip: use a round bracket for \(<\) or \(>\), and a square bracket for \(\leq\) or \(\geq\).
