Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
अंतराल \((1,5]\) में 1 शामिल नहीं है और 5 शामिल है, जबकि \([5,9)\) में 5 शामिल है और 9 शामिल नहीं है। दोनों अंतराल 5 पर मिलते हैं, इसलिए इनके संघ में 1 से 9 के बीच की प्रत्येक संख्या आती है, पर 1 और 9 नहीं आते। अतः सरल अंतराल \((1,9)\) है। \([1,9)\) गलत है क्योंकि इसमें 1 शामिल हो जाता है। परीक्षा टिप: संघ में जुड़े हुए अंतरालों के साझा या स्पर्श बिंदु को ध्यान से जाँचें। / In \((1,5]\), 1 is excluded and 5 is included; in \([5,9)\), 5 is included and 9 is excluded. Since the intervals meet at 5, their union contains every number between 1 and 9, but excludes both endpoints. Hence, the simplified interval is \((1,9)\). \([1,9)\) is incorrect because it includes 1. Exam tip: For a union, check carefully whether adjoining intervals share or include the joining point.
(4) से गुणा करने पर \(-4\le x+2\le 12\) और फिर \(-6\le x\le 10\) मिलता है। दोनों सीमाएँ शामिल हैं। / Multiplying by (4) gives \(-4\le x+2\le 12\), then \(-6\le x\le 10\). Both endpoints are included.
A. (-2) से (6) तक छायांकन और (3) पर खाली वृत्त/Shading from (-2) to (6) with an open circle at (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\setminus{3}\) का अर्थ है (3) को हटाना। इसलिए बंद अंतराल में (3) पर खाली वृत्त दिखेगा। / The notation \(\setminus{3}\) means remove (3). So an open circle appears at (3) inside the closed interval.
यह दोनों ओर की सभी संख्याएँ लेता है लेकिन (2) को छोड़ देता है। संख्या रेखा पर (2) पर खाली वृत्त होगा। / It takes all numbers on both sides but leaves out (2). On the number line, (2) has an open circle.
A. 2 पर खुला वृत्त और दाईं ओर छायांकन/Open circle at 2 and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
\(3x-6>0\) में 6 जोड़ने पर \(3x>6\), अतः \(x>2\) मिलता है। ‘>’ में 2 शामिल नहीं होता, इसलिए खुला वृत्त और दाईं ओर छायांकन सही है। परीक्षा में पहले असमता हल करें, फिर सीमा-बिंदु जाँचें। / Adding 6 gives \(3x>6\), so \(x>2\). Since 2 is not included for a strict ‘>’ inequality, use an open circle and shade right. Exam tip: solve first, then check whether the boundary is included.
भरा हुआ बिंदु
-2 को हल में शामिल दिखाता है और दाईं ओर का छायांकन
x के
-2 से बड़े मानों को दर्शाता है। इसलिए \(x\ge-2\) सही है। \(x>-2\) में बिंदु खुला होता। परीक्षा में भरे बिंदु को ‘बराबर’ से जोड़ें। / A filled point means that
-2 is included, while shading to the right represents values greater than
-2. Hence \(x\ge-2\). In \(x>-2\), the endpoint would be open. Exam tip: filled endpoint always includes equality.
\(|x|\ge 2\) में \(x\le -2\) या \(x\ge 2\) होता है। बराबरी शामिल है इसलिए दोनों बाहरी सिरे बंद होंगे। / \(|x|\ge 2\) means \(x\le -2\) or \(x\ge 2\). Equality is included, so the outer endpoints are closed.
पहले अंतराल में (-2) शामिल है और दूसरा उसके तुरंत बाद शुरू होता है। मिलकर ([-8,5)) बनता है। / The first interval includes (-2), and the second starts just after it. Together they form ([-8,5)).
A. −2 पर खुला वृत्त और दाईं ओर छायांकित किरण/Open circle at −2 and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
असमिका \(x>-2\) में −2 शामिल नहीं है, इसलिए −2 पर खुला वृत्त बनाया जाता है। \(x\) के वे सभी मान −2 से बड़े हैं, इसलिए छायांकन दाईं ओर होगा। विकल्प B में भरा हुआ वृत्त −2 को शामिल करता है, जो \(x\geq -2\) के लिए होता है। परीक्षा टिप: ‘>’ या ‘<’ के लिए खुला वृत्त तथा ‘≥’ या ‘≤’ के लिए भरा हुआ वृत्त याद रखें। / In \(x>-2\), the value −2 is not included, so an open circle is used at −2. All values of \(x\) are greater than −2, so the shading extends to the right. Option B includes −2 with a filled circle; it represents \(x\geq -2\). Exam tip: use an open circle for ‘>’ or ‘<’, and a filled circle for ‘≥’ or ‘≤’.
