Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
बाहर की छायांकन दो अलग क्षेत्रों को दिखाती है और खुले वृत्त सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए (\(-\infty,-5\)\cup\(1,\infty\)) सही है। / Outward shading shows two separate regions and open circles exclude the endpoints. Hence (\(-\infty,-5\)\cup\(1,\infty\)) is correct.
B. \(x\le -7\) या \(x\ge 3\)/\(x\le -7\) or \(x\ge 3\)
Explanation
Simple Explanation
भरे वृत्त दोनों सीमाओं को शामिल करते हैं और बाहर की छायांकन दो बाहरी क्षेत्रों को दिखाती है। इसलिए बराबरी सहित या का प्रयोग होगा। / Closed circles include both endpoints and outward shading shows two outside regions. So inclusive inequalities with or are used.
पहले (3) से गुणा करें और फिर (1) जोड़ें तो \(-5\le x<13\) मिलता है। इसलिए अंतराल ([-5,13)) है। / First multiply by (3) and then add (1) to get \(-5\le x<13\). Therefore the interval is ([-5,13)).
दोनों अंतरालों में सामान्य भाग (0) से (8) तक है और दोनों मान शामिल हैं। इसलिए ([0,8]) सही है। / The common part of both intervals is from (0) to (8), and both values are included. Hence ([0,8]) is correct.
पहला अंतराल (2) से पहले खत्म होता है और दूसरा (2) के बाद शुरू होता है। इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं है। / The first interval ends before (2), and the second starts after (2). Therefore there is no common point.
असमानता \(1\le x<7\) में \(x\) का मान 1 के बराबर हो सकता है, क्योंकि \(\le\) चिह्न 1 को शामिल करता है। लेकिन \(x=7\) नहीं हो सकता, क्योंकि \(<7\) में 7 शामिल नहीं है। अतः पूर्णांक बिंदु \(1,2,3,4,5,6\) होंगे। विकल्प B में 1 छूट गया है और 7 को गलत रूप से शामिल किया गया है। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) वाले सिरे को शामिल करें, जबकि \(<\) या \(>\) वाले सिरे को शामिल न करें। / In \(1\le x<7\), \(x\) can equal 1 because the symbol \(\le\) includes 1. However, \(x=7\) is not allowed because \(<7\) excludes 7. Therefore, the integer points are \(1,2,3,4,5,6\). Option B wrongly omits 1 and includes 7. Exam tip: Include an endpoint with \(\le\) or \(\ge\), but exclude an endpoint with \(<\) or \(>\).
असमानता को हल करें: \(7-2x>1\Rightarrow -2x>-6\)। अब \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाएगा, इसलिए \(x<3\) मिलता है। अतः सही अंतराल \(( -\infty,3 )\) है और 3 शामिल नहीं होगा। \(( -\infty,3 ]\) गलत है क्योंकि वह \(x=3\) को शामिल करता है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Solve the inequality: \(7-2x>1\Rightarrow -2x>-6\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality sign, giving \(x<3\). Hence, the correct interval is \(( -\infty,3 )\), and 3 is not included. \(( -\infty,3 ]\) is incorrect because it includes \(x=3\). Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
हल करने पर \(-4x\ge -16\) और \(x\le 4\) मिलता है। बराबरी शामिल होने से (4) पर बंद सिरा होगा। / Solving gives \(-4x\ge -16\) and \(x\le 4\). Since equality is included, (4) is a closed endpoint.
असमानता \(2<3x-1\le 11\) में सभी भागों में 1 जोड़ने पर \(3<3x\le 12\) मिलता है। अब सभी भागों को 3 से भाग देने पर \(1<x\le 4\) प्राप्त होता है। इसलिए 1 शामिल नहीं है और 4 शामिल है, अतः सही अंतराल \((1,4]\) है। विकल्प B में 1 को शामिल किया गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: खुले सिरे के लिए \((\ )\) और शामिल सिरे के लिए \([\ ]\) का प्रयोग करें। / Adding 1 to all parts of \(2<3x-1\le 11\) gives \(3<3x\le 12\). Dividing all parts by 3 gives \(1<x\le 4\). Thus, 1 is not included whereas 4 is included, so the correct interval is \((1,4]\). Option B incorrectly includes 1. Exam tip: use parentheses \((\ )\) for an excluded endpoint and square brackets \([\ ]\) for an included endpoint.
प्रतिच्छेद में केवल वे संख्याएँ आती हैं जो दोनों अंतरालों में हों। \((-\infty,0]\) में 0 तक की सभी संख्याएँ हैं और \([-3,4)\) में -3 से 4 तक की संख्याएँ हैं। इसलिए उनका उभयनिष्ठ भाग \([-3,0]\) है। -3 और 0 दोनों दिए गए अंतरालों में शामिल हैं, इसलिए दोनों पर वर्ग कोष्ठक लगते हैं। परीक्षा टिप: प्रतिच्छेद ज्ञात करते समय केवल दोनों अंतरालों का साझा भाग लें और सिरों के कोष्ठक अलग-अलग जाँचें। / An intersection contains only the numbers common to both intervals. \((-\infty,0]\) contains all numbers up to and including 0, while \([-3,4)\) contains numbers from -3 up to 4. Their common part is therefore \([-3,0]\). Both -3 and 0 are included in both intervals, so square brackets are used at both ends. Exam tip: For an intersection, keep only the overlap and check endpoint inclusion separately.
