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असमानता की सीमा रेखा पाने के लिए असमानता के चिह्न \(\geq\) को बराबर के चिह्न \(=\) से बदलते हैं। इसलिए सीमा रेखा \(2x-y=4\) है। \(2x-y>4\) एक असमानता है, रेखा का समीकरण नहीं। परीक्षा टिप: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा रेखा ठोस रेखा होती है। / To obtain the boundary line of an inequality, replace the inequality sign \(\geq\) with the equality sign \(=\). Hence, the boundary line is \(2x-y=4\). The expression \(2x-y>4\) is still an inequality, not an equation of a line. Exam tip: For \(\geq\) or \(\leq\), the boundary line is drawn as a solid line.
चिन्ह \(\leq\) में बराबरी भी शामिल होती है। रेखा \(x+y=7\) पर स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए \(x+y\) का मान 7 होता है, इसलिए ये सभी बिंदु असमता \(x+y\leq 7\) को संतुष्ट करते हैं। अतः सीमा रेखा हल-क्षेत्र में शामिल होती है और उसे ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। केवल एक बिंदु या केवल मूल बिंदु शामिल होना गलत है। परीक्षा टिप: \(\leq\) या \(\geq\) हो तो सीमा रेखा हमेशा शामिल होती है। / The symbol \(\leq\) includes equality. At every point on the line \(x+y=7\), the value of \(x+y\) is 7, so all such points satisfy \(x+y\leq 7\). Therefore, the boundary line is included in the solution region and is drawn as a solid line. It is not limited to one point or to the origin. Exam tip: A boundary is included whenever the inequality has \(\leq\) or \(\geq\).
असमानता (x-y<1) एक कठोर असमानता है, इसलिए इसमें बराबरी का मामला शामिल नहीं होता। इसकी सीमा रेखा x-y=1 होगी, लेकिन इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए x-y=1 होता है, जो 1 से छोटा नहीं है। अतः सीमा रेखा हल में शामिल नहीं होगी और ग्राफ में इसे सामान्यतः टूटी हुई रेखा से दिखाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: < या > के लिए टूटी रेखा, जबकि ≤ या ≥ के लिए ठोस रेखा बनती है। / The inequality (x-y<1) is strict, so equality is not included. Its boundary line is x-y=1; every point on this line gives x-y=1, which is not less than 1. Therefore, the boundary line is excluded from the solution and is usually drawn as a dashed line. Exam tip: use a dashed line for < or >, and a solid line for ≤ or ≥.
(y=0) रखने पर (x=3), और (x=0) रखने पर (y=2) मिलता है। अवरोध ग्राफ खींचने में मदद करते हैं। / Putting (y=0) gives (x=3), and putting (x=0) gives (y=2). Intercepts help in drawing the graph.
बिंदु \((5,0)\) रखने पर \(4x+y=4(5)+0=20\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(20>16\), इसलिए यह बिंदु \(4x+y\leq16\) असमानता को संतुष्ट नहीं करता और हल क्षेत्र में नहीं है। यह सीमा पर भी नहीं है, क्योंकि सीमा के लिए \(4x+y=16\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखकर तुलना करें। / Substituting \((5,0)\) gives \(4x+y=4(5)+0=20\). Since \(20>16\), the point does not satisfy \(4x+y\leq16\), so it is not in the solution region. It is not on the boundary either, because boundary points satisfy \(4x+y=16\). Exam tip: Test a point by substituting its \(x\)- and \(y\)-coordinates into the inequality.
(2+2(3)=8), इसलिए बिंदु सीमा रेखा पर है और हल में शामिल है। \(\geq\) में सीमा रेखा भी आती है। / (2+2(3)=8), so the point is on the boundary line and included. The sign \(\geq\) includes the boundary line.
B. रेखा के ऊपर और रेखा सहित/above the line including the line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(y\geq x-1\) में \(y\) का मान रेखा \(y=x-1\) पर या उससे अधिक होना चाहिए। इसलिए रेखा के ऊपर वाला अर्ध-तल छायांकित होता है। \(\geq\) में बराबरी शामिल है, अतः सीमा रेखा ठोस खींची जाती है। रेखा के नीचे का क्षेत्र \(y<x-1\) दर्शाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(y\geq\) या \(y>\) के लिए सामान्यतः रेखा के ऊपर का क्षेत्र चुनें। / In \(y\geq x-1\), the value of \(y\) must be equal to or greater than the value on the line \(y=x-1\). Hence, the half-plane above the line is shaded. Since \(\geq\) includes equality, the boundary line is drawn solid. The region below the line represents \(y<x-1\), so it is not correct. Exam tip: for \(y\geq\) or \(y>\), generally choose the region above the line.
बिंदु \((1,3)\) के लिए \(x=1\) और \(y=3\) रखने पर \(3\leq -2(1)+6\), अर्थात \(3\leq 4\) मिलता है, जो सत्य है। इसलिए बिंदु असमानता के हल क्षेत्र में है। यह बिंदु सीमा रेखा पर नहीं है, क्योंकि \(3\neq 4\)। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की स्थिति जाँचने के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखकर कथन सत्य या असत्य जाँचें। / For the point \((1,3)\), substitute \(x=1\) and \(y=3\): \(3\leq -2(1)+6\), i.e. \(3\leq 4\), which is true. Hence, the point lies in the solution region of the inequality. It is not on the boundary line because \(3\neq 4\). Exam tip: To test a point, substitute its \(x\)- and \(y\)-coordinates in the inequality and check whether the statement is true.
B. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(x+y=0+0=0\) मिलता है। यह \(x+y=0\) सीमा रेखा पर स्थित है। क्योंकि असमानता में \(\geq\) है, समानता वाली सीमा रेखा भी हल-क्षेत्र में शामिल होती है। इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर भी है और हल में भी शामिल है। परीक्षा टिप: \(\geq\) या \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(x+y=0+0=0\). Hence, it lies on the boundary line \(x+y=0\). Since the inequality uses \(\geq\), the boundary line where equality holds is included in the solution region. Therefore, the origin is on the boundary and is also part of the solution. Exam tip: For \(\geq\) or \(\leq\), the boundary line is included.
समीकरण \(x-2y=4\) में \(y=0\) रखने पर \(x=4\), इसलिए बिंदु \((4,0)\) मिलता है। इसी प्रकार \(x=0\) रखने पर \(-2y=4\), अतः \(y=-2\) और बिंदु \((0,-2)\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। अन्य विकल्पों के बिंदु समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: रेखा बनाने के लिए समीकरण में क्रमशः \(x=0\) और \(y=0\) रखकर दोनों अक्ष-अवरोध ज्ञात करें। / For the equation \(x-2y=4\), putting \(y=0\) gives \(x=4\), so \((4,0)\) lies on the line. Putting \(x=0\) gives \(-2y=4\), hence \(y=-2\), so \((0,-2)\) also lies on it. Therefore, option A is correct. The points in the other options do not satisfy the equation. Exam tip: To obtain two convenient points for a line, set \(x=0\) and \(y=0\) successively to find the intercepts.
