Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(y \ge x\) और \(y \le -x+6\)/\(y \ge x\) and \(y \le -x+6\)
Explanation
Simple Explanation
बीच के क्षेत्र में (y) रेखा (y=x) से ऊपर और रेखा (y=-x+6) से नीचे है। ऐसी स्थिति में निचली और ऊपरी सीमा पहचानें। / In the between-region, (y) is above (y=x) and below (y=-x+6). Identify the lower and upper boundaries in such cases.
(x=2) को (x+y=9) में रखने पर (y=7), इसलिए ((2,7)) शीर्ष है। सीमा रेखाओं की जोड़ी से संभावित शीर्ष निकालें। / Putting (x=2) in (x+y=9) gives (y=7), so ((2,7)) is a vertex. Use pairs of boundary lines to find possible vertices.
B. मूल बिंदु सीमा पर है और समाधान में शामिल है/Origin is on boundary and included in solution
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0 \ge 0\) सत्य है और बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है। \(\ge\) में सीमा शामिल रहती है। / Substituting ((0,0)) gives \(0 \ge 0\), true, and equality means the point is on the boundary. The boundary is included for \(\ge\).
ठोस रेखा के लिए \(\le\) या \(\ge\) चाहिए और ((0,0)) पर \(0 \ge 9\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु शामिल नहीं होगा। / A solid line requires \(\le\) or \(\ge\), and at ((0,0)), \(0 \ge 9\) is false. Hence the origin is not included.
शीर्ष ((1,1)), ((5,1)), और ((1,5)) हैं, इसलिए कुल (3) हैं। सभी सीमा रेखाओं के वैध प्रतिच्छेद गिनें। / The vertices are ((1,1)), ((5,1)), and ((1,5)), so there are (3). Count valid intersections of all boundary lines.
अधिकतम (y) के लिए (x=0) रखें, तब (3y=12) और (y=4)। अक्ष-अवरोध अधिकतम सीमा समझने में मदद करते हैं। / For maximum (y), put (x=0), then (3y=12) and (y=4). Axis intercepts help identify maximum limits.
((2,3)) पर (x+2y=8), जो (10) से कम है और इसलिए रेखा के नीचे वाले अर्ध-समतल में है। नीचे की जांच (y) के छोटे मान से भी की जा सकती है। / At ((2,3)), (x+2y=8), which is less than (10), so it lies in the lower half-plane. Below can also be checked by smaller (y)-values.
(x-y=1) और (2x+y=8) जोड़ने पर (3x=9), इसलिए (x=3) और (y=2)। सीमा रेखाओं को समानता में बदलकर हल करें। / Adding (x-y=1) and (2x+y=8) gives (3x=9), so (x=3) and (y=2). Convert boundaries to equalities and solve.
एक ही समय में (y>4) और (y<1) संभव नहीं है। विरोधी समानांतर शर्तें रिक्त क्षेत्र देती हैं। / It is impossible to have (y>4) and (y<1) at the same time. Contradictory parallel conditions give an empty region.
\(x\)-अवरोध वह बिंदु है जहाँ रेखा \(x\)-अक्ष को काटती है, इसलिए वहाँ \(y=0\) होता है। रेखा \(x+4y=16\) में \(y=0\) रखने पर \(x=16\) मिलता है। अतः \(x\)-अवरोध \((16,0)\) है। \((0,4)\), \(y\)-अवरोध है, \(x\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(x\)-अवरोध के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / The \(x\)-intercept is the point where the line meets the \(x\)-axis, so \(y=0\) there. Substituting \(y=0\) in \(x+4y=16\) gives \(x=16\). Hence, the \(x\)-intercept is \((16,0)\). The point \((0,4)\) is the \(y\)-intercept, not the \(x\)-intercept. Exam tip: to find an \(x\)-intercept, always set \(y=0\).
