Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मूल-बिंदु \,\((0,0)\) को असमानता में रखने पर \(0+0\leq 7\), अर्थात् \(0\leq 7\), प्राप्त होता है और यह सत्य है। इसलिए समाधान क्षेत्र उस ओर होगा जिसमें मूल-बिंदु स्थित है। विकल्प B असमानता का चिह्न उलट देता है। परीक्षा-युक्ति: रेखीय असमानता के ग्राफ में किसी परीक्षण-बिंदु को सीमा-रेखा पर नहीं, बल्कि उसके किसी एक ओर चुनें। / Substituting the origin \,\((0,0)\) into the inequality gives \(0+0\leq 7\), or \(0\leq 7\), which is true. Therefore, the solution region lies on the side containing the origin. Option B incorrectly reverses the inequality sign. Exam tip: In graphing a linear inequality, choose a test point that does not lie on the boundary line.
A. (y)-अक्ष के दाईं ओर का क्षेत्र, जिसमें (y)-अक्ष भी शामिल है/The region to the right of the (y)-axis, including the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x \ge 0\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक शून्य या धनात्मक है। इसलिए यह \(y\)-अक्ष के दाईं ओर का पूरा क्षेत्र दर्शाती है और \(x=0\) होने के कारण \(y\)-अक्ष को भी शामिल करती है। इसके विपरीत, \(x \le 0\) \(y\)-अक्ष के बाईं ओर का क्षेत्र देता है। परीक्षा-युक्ति: \(x\) का चिह्न क्षेत्र की क्षैतिज दिशा और \(y\) का चिह्न ऊर्ध्वाधर दिशा निर्धारित करता है। / The inequality \(x \ge 0\) means that the \(x\)-coordinate of every point is zero or positive. Hence, it represents the entire region to the right of the \(y\)-axis and includes the \(y\)-axis because \(x=0\) is allowed. In contrast, \(x \le 0\) represents the region to the left of the \(y\)-axis. Exam tip: an inequality involving \(x\) determines the horizontal side, while one involving \(y\) determines the vertical side.
\(y\geq 0\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक शून्य या धनात्मक है। इसलिए इसमें x-अक्ष पर स्थित बिंदु और उसके ऊपर के सभी बिंदु शामिल होते हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि वह \(y<0\) वाले क्षेत्र को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y\) का चिन्ह क्षेत्र की ऊँचाई बताता है—\(y\geq 0\) x-अक्ष पर या उसके ऊपर होता है। / The inequality \(y\geq 0\) means that the y-coordinate of every point is zero or positive. Therefore, it includes the points on the x-axis as well as all points above it. Option C represents the region where \(y<0\), so it is incorrect. Exam tip: The sign of y indicates vertical position—\(y\geq 0\) lies on or above the x-axis.
A. पहला चतुर्थांश, अक्षों सहित/First quadrant, including the axes
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) का अर्थ है कि बिंदु y-अक्ष के दाईं ओर या y-अक्ष पर होगा, जबकि \(y\geq 0\) का अर्थ है कि वह x-अक्ष के ऊपर या x-अक्ष पर होगा। इसलिए दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र पहला चतुर्थांश है, जिसमें दोनों अक्ष और मूलबिंदु भी शामिल हैं। परीक्षा में \(\geq\) देखकर सीमा-रेखाओं को शामिल करना न भूलें। / The inequality \(x\geq 0\) places a point on or to the right of the y-axis, while \(y\geq 0\) places it on or above the x-axis. Hence, the common region is the first quadrant, including both axes and the origin. Exam tip: the symbol \(\geq\) means that the boundary lines are included.
समीकरण (x=4) में प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 4 होता है, जबकि y का मान कोई भी हो सकता है। इसलिए यह y-अक्ष के समानांतर बनने वाली लंबवत रेखा है। क्षैतिज रेखा के लिए सामान्यतः (y=c) का रूप होता है। परीक्षा-युक्ति: (x=c) को लंबवत और (y=c) को क्षैतिज रेखा के रूप में याद रखें। / In the equation (x=4), the x-coordinate is fixed at 4, while y can take any value. Therefore, its graph is a vertical line parallel to the y-axis. A horizontal line generally has the form (y=c). Exam tip: remember that (x=c) represents a vertical line, whereas (y=c) represents a horizontal line.
समीकरण \(y=-3\) में प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक \(-3\) समान रहता है, जबकि \(x\) का मान कोई भी हो सकता है। इसलिए यह \(x\)-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा होती है। लंबवत रेखा में \(x\)-निर्देशांक स्थिर रहता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=c\) का आलेख हमेशा क्षैतिज और \(x=c\) का आलेख हमेशा लंबवत रेखा होता है। / In the equation \(y=-3\), the \(y\)-coordinate remains fixed at \(-3\), while \(x\) can take any real value. Therefore, its graph is a horizontal line parallel to the \(x\)-axis. A vertical line has a constant \(x\)-coordinate, so option A is incorrect. Exam tip: \(y=c\) represents a horizontal line, whereas \(x=c\) represents a vertical line.
B. रेखा के नीचे, सीमा रेखा सहित/Below the line, including the boundary line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(y\leq x+1\) का अर्थ है कि \(y\) का मान रेखा \(y=x+1\) के मान से कम या उसके बराबर है। इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के नीचे होता है और \(\leq\) के कारण सीमा रेखा भी इसमें शामिल होती है, जिसे ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। परीक्षा में \(\leq\) या \(\geq\) देखकर सीमा रेखा को शामिल करना याद रखें। / The inequality \(y\leq x+1\) means that the value of \(y\) is less than or equal to the corresponding value on the line \(y=x+1\). Therefore, the solution region lies below the line, and the boundary line is included because of \(\leq\); it is drawn as a solid line. In an exam, remember that \(\leq\) and \(\geq\) include the boundary.
सीमा रेखा \(y=2x-1\) है। असमानता \(y>2x-1\) में \(y\) का मान सीमा रेखा के संगत मान से अधिक होना चाहिए, इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के ऊपर होगा। चूँकि असमानता में \(>\) है, सीमा रेखा स्वयं हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होगी। परीक्षा में दिशा जाँचने के लिए किसी बिंदु, जैसे \((0,0)\), को असमानता में रखकर भी सत्यापन किया जा सकता है। / The boundary line is \(y=2x-1\). In \(y>2x-1\), the value of \(y\) must be greater than the corresponding value on the boundary line, so the solution region lies above the line. Since the inequality is strict (\(>\)), the boundary line itself is not included. As an exam tip, you can verify the shaded side by testing a point such as \((0,0)\) in the inequality.
बिंदु (4, 0) के लिए \(4+0=4\) और बिंदु (0, 4) के लिए \(0+4=4\), इसलिए दोनों बिंदु रेखा पर स्थित हैं। विकल्प B में (1, 1) के लिए योग 2 है, इसलिए वह रेखा पर नहीं है। रेखा बनाने की परीक्षा-युक्ति: समीकरण में \(x=0\) और \(y=0\) रखकर क्रमशः अक्ष-अंतःखंड प्राप्त करें। / For (4, 0), \(4+0=4\), and for (0, 4), \(0+4=4\); hence both points lie on the line. In option B, the point (1, 1) gives a sum of 2, so it does not lie on the line. Exam tip: Put \(x=0\) and \(y=0\) in the equation to obtain the two intercepts quickly.
x-अंतःखंड पर बिंदु x-अक्ष पर होता है, इसलिए वहाँ \(y=0\) रखते हैं। तब \(2x+0=6\), अर्थात् \(x=3\)। इसलिए x-अंतःखंड का x-निर्देशांक 3 है; पूरा अंतःखंड \((3,0)\) होगा। परीक्षा टिप: x-अंतःखंड निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At the x-intercept, the point lies on the x-axis, so \(y=0\). Substituting gives \(2x+0=6\), hence \(x=3\). Therefore, the x-coordinate is 3, and the complete intercept is \((3,0)\). Exam tip: To find an x-intercept, set \(y=0\).
