Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(|B|=\frac{24}{4}=6\), इसलिए \(|B\times C|=6\cdot7=42\)। पहले अज्ञात समुच्चय की कार्डिनलिटी निकालें। / Since \(|B|=\frac{24}{4}=6\), \(|B\times C|=6\cdot7=42\). First find the unknown cardinality.
कुल (12) युग्म हैं, (2) युग्म रखने और (1) युग्म हटाने के बाद (9) स्वतंत्र युग्म बचते हैं। इसलिए संख्या \(2^9=512\) है। / There are (12) pairs, and after forcing (2) in and (1) out, (9) pairs remain free. Hence the number is \(2^9=512\).
\(|A\times B|=10\), इसलिए ठीक (5) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{10}{5}=252\) हैं। ठीक संख्या के लिए संयोजन लगाएँ। / \(|A\times B|=10\), so choosing exactly (5) pairs gives \(\binom{10}{5}=252\). Use combinations for exact-size subsets.
शर्त से ((8,3)) और ((5,4)) मिलते हैं, इसलिए (|R|=2)। समीकरण में (b) के संभावित मान व्यवस्थित रूप से जाँचें। / The condition gives ((8,3)) and ((5,4)), so (|R|=2). Check possible (b)-values systematically.
युग्म ((0,5),(3,4),(4,3),(5,0)) हैं, इसलिए संख्या (4) है। क्रमित युग्मों में उलटे युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((0,5),(3,4),(4,3),(5,0)), so the count is (4). Reversed ordered pairs are counted separately.
(a=1) पर (5), (a=2) पर (2), और (a=3) पर (1) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। समानता (a=b) को शामिल न करें। / For (a=1), there are (5) pairs; for (a=2), (2); and for (a=3), (1), totaling (8). Do not include (a=b).
दोनों शर्तें लगाने पर (8) युग्म मिलते हैं। पहले (a<b) से छाँटें और फिर अभाज्य योग जाँचें। / Applying both conditions gives (8) pairs. First filter by (a<b), then test prime sums.
पूरक में विषम योग वाले युग्म होंगे और उनकी संख्या \(2\cdot2+2\cdot2=8\) है। पूरक गिनती में विपरीत शर्त लिखें। / The complement contains pairs with odd sum, and the count is \(2\cdot2+2\cdot2=8\). For complements, write the opposite condition.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (5,5,2,0) मान मिलते हैं, कुल (12)। हर (a) पर सीमा अलग जाँचें। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (5,5,2,0), totaling (12). Check the boundary separately for each (a).
दोनों अवयवों की समता समान होनी चाहिए और (\gcd(a,b)=1) भी चाहिए, ऐसे (7) युग्म हैं। सम-सम युग्मों में \(\gcd\) जल्दी जाँचें। / The components must have the same parity and also (\gcd(a,b)=1), giving (7) pairs. Check \(\gcd\) carefully among same-parity pairs.
