Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (x) संख्या (8) से बड़ी है/(x) is greater than (8)
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) बताता है कि बाईं ओर का मान बड़ा है। परीक्षा में चिह्न की खुली तरफ बड़ी संख्या होती है। / The sign (>) means the value on the left is greater. In exams the open side of the sign faces the greater number.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए \(-3\le -3\) सत्य है। सीमा मान को हमेशा अलग से जाँचें। / The sign \(\le\) includes equality, so \(-3\le -3\) is true. Always check the boundary value separately.
\(5x-2\ge 13\) में चर की घात (1) है इसलिए यह रैखिक असमानता है। \(x^2\) या (xy) वाला रूप रैखिक नहीं माना जाता। / In \(5x-2\ge 13\), the variable has power (1), so it is a linear inequality. Forms with \(x^2\) or (xy) are not linear.
(4) संख्या (5) से छोटी है इसलिए \(x\ge 5\) को संतुष्ट नहीं करती। विकल्पों को सीधे असमानता में रखकर जाँचें। / The number (4) is less than (5), so it does not satisfy \(x\ge 5\). Check options by substituting them directly.
“से कम” का अर्थ < होता है, इसलिए “t, 11 से कम है” को \(t<11\) लिखा जाता है। विकल्प A में असमानता की दिशा उलटकर “t, 11 से अधिक है” दर्शाया गया है, जबकि विकल्प C और D क्रमशः “कम या बराबर” तथा “बराबर” बताते हैं। परीक्षा टिप: “less than” पढ़ते समय छोटे मान की ओर खुला भाग रखें। / “Less than” is represented by <, so “t is less than 11” is written as \(t<11\). Option A reverses the inequality and means “t is greater than 11,” while C and D mean “less than or equal to” and “equal to,” respectively. Exam tip: For “less than,” the variable must have the smaller value.
“9 से कम नहीं” का अर्थ है “9 या उससे अधिक”, इसलिए सही असमिका \(z\ge 9\) है। इसमें बराबरी की संभावना भी शामिल होती है, अर्थात \(z=9\) भी मान्य है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(z\le 9\) का अर्थ 9 से कम या बराबर होता है। परीक्षा-युक्ति: “कम नहीं” को “कम से कम” समझें और \(\ge\) का प्रयोग करें। / “Not less than 9” means “9 or more,” so the correct inequality is \(z\ge 9\). It includes equality, meaning \(z=9\) is also allowed. Option B is incorrect because \(z\le 9\) means less than or equal to 9. Exam tip: interpret “not less than” as “at least” and use \(\ge\).
समान संख्या जोड़ने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। दोनों पक्षों पर एक ही क्रिया करें। / Adding the same number does not change the direction of an inequality. Apply the same operation to both sides.
समान संख्या घटाने से चिह्न नहीं बदलता। घटाव में केवल मान बदलता है दिशा नहीं। / Subtracting the same number does not change the sign. In subtraction only the value changes, not the direction.
धनात्मक संख्या (6) से गुणा करने पर दिशा वही रहती है। केवल ऋणात्मक गुणा में चिह्न पलटता है। / Multiplication by the positive number (6) keeps the direction the same. The sign reverses only in negative multiplication.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। (-2) से गुणा करते समय दिशा बदलना जरूरी है। / Multiplying by a negative number reverses the inequality sign. While multiplying by (-2), changing the direction is necessary.
असमानता \(x+6<14\) में दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x<8\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता का चिन्ह गलत दिशा में है, जबकि 20 वाले विकल्पों में 6 को गलत तरीके से जोड़ा गया है। परीक्षा-टिप: धनात्मक संख्या जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Subtracting 6 from both sides of \(x+6<14\) gives \(x<8\). Option B reverses the inequality sign incorrectly, while the options containing 20 result from adding 6 instead of subtracting it. Exam tip: Adding or subtracting a number does not reverse the inequality sign.
असमानता \(x-5\ge 1\) में दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(x\ge 1+5=6\) प्राप्त होता है। जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B में चिह्न की दिशा गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Adding 5 to both sides of \(x-5\ge 1\) gives \(x\ge 1+5=6\). The inequality sign does not change when the same number is added or subtracted from both sides. Therefore, option A is correct; option B reverses the sign incorrectly. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(3x<21\) में दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से भाग देने पर \(x<7\) प्राप्त होता है। धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में चिह्न बदलने का नियम केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर लागू होता है। / Dividing both sides of \(3x<21\) by the positive number 3 gives \(x<7\). The inequality sign remains unchanged when multiplying or dividing by a positive number. Remember that the sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को (-5) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है: x\le \frac{15}{-5}=-3। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में चिह्न उलटने की प्रक्रिया नहीं अपनाई गई है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Dividing both sides by (-5) reverses the inequality sign: x\le \frac{15}{-5}=-3. Therefore, option B is correct. Option A is wrong because it does not reverse the sign after division by a negative number. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
(x=4) रखने पर \(2\cdot4+3=11\) और \(11\le 11\) सत्य है। बराबरी वाला चिह्न सीमा मान को स्वीकार करता है। / For (x=4), \(2\cdot4+3=11\), and \(11\le 11\) is true. A sign with equality accepts the boundary value.
(x=4) रखने पर \(4\cdot4-2=14\) और (14>10) सत्य है। सख्त असमानता में सीमा मान नहीं चलता। / For (x=4), \(4\cdot4-2=14\), and (14>10) is true. A strict inequality does not include the boundary value.
B. (-1) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/Closed circle at (-1) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए (-1) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा बनेगी। / The sign \(\ge\) includes the boundary, and greater numbers are to the right. So use a closed circle at (-1) and shade right.
अंतराल \((-�infty,9]\) में 9 के बाद का वर्ग कोष्ठक बताता है कि 9 इस अंतराल में शामिल है। बाईं ओर \(-\infty\) होने का अर्थ है कि 9 से छोटे सभी वास्तविक मान भी शामिल हैं। इसलिए असमानता \(x\le 9\) है। परीक्षा-युक्ति: गोल कोष्ठक अंत-बिंदु को बाहर और वर्ग कोष्ठक अंत-बिंदु को शामिल दर्शाता है। / In the interval \((-�infty,9]\), the square bracket at 9 shows that 9 is included. The left endpoint \(-\infty\) indicates that all real numbers less than 9 are included. Therefore, the inequality is \(x\le 9\). Exam tip: a round bracket excludes an endpoint, while a square bracket includes it.
गोल कोष्ठक बताता है कि (4) शामिल नहीं है और मान दाईं ओर हैं। इसलिए (x>4) सही है। / The parenthesis shows that (4) is not included, and the values lie to the right. Therefore (x>4) is correct.
(6) संख्या (5) से बड़ी है इसलिए शामिल नहीं है। \(\le\) सीमा को शामिल करता है लेकिन उसके बाहर के मान नहीं। / The number (6) is greater than (5), so it is not included. The sign \(\le\) includes boundaries but not outside values.
\(r\le 0\) में (0) और उससे छोटी संख्याएँ शामिल हैं। बराबरी वाले चिह्न में सीमा मान भी हल होता है। / In \(r\le 0\), (0) and smaller numbers are included. With an equality sign, the boundary value is also a solution.
‘कम से कम \(33\)’ का अर्थ \(33\) या \(33\) से अधिक होता है, इसलिए सही असमानता \(m\ge 33\) है। विकल्प A में \(33\) शामिल नहीं है, जबकि विकल्प C और D \(33\) से कम या उसके बराबर अंक दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कम से कम’ के लिए \(\ge\) और ‘अधिकतम’ के लिए \(\le\) चिन्ह याद रखें। / ‘At least \(33\)’ means \(33\) or more, so the correct inequality is \(m\ge 33\). Option A excludes exactly \(33\), while options C and D represent marks less than or equal to \(33\). Exam tip: associate ‘at least’ with \(\ge\) and ‘at most’ with \(\le\).
“20 किलोग्राम से अधिक नहीं” का अर्थ है कि भार 20 किलोग्राम से कम या उसके बराबर हो सकता है। इसलिए असमानता \(w\le 20\) होगी। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें 20 किलोग्राम का भार शामिल नहीं है, जबकि “अधिक नहीं” में बराबरी शामिल होती है। परीक्षा-युक्ति: “अधिकतम”, “से अधिक नहीं” और “at most” के लिए \(\le\) का प्रयोग करें। / “Not more than 20 kilograms” means that the weight can be less than or equal to 20 kilograms. Therefore, the inequality is \(w\le 20\). Option A is incorrect because it excludes a weight of exactly 20 kilograms, whereas “not more than” includes equality. Exam tip: Use \(\le\) for phrases such as “at most” and “not more than.”
‘से कम’ का अर्थ 250 से strictly छोटा होता है, इसलिए सही असमानता \(p<250\) है। विकल्प B \(p\le250\) में 250 के बराबर कीमत भी शामिल है, जो प्रश्न में नहीं कहा गया है। परीक्षा में ‘से कम’ के लिए \(<\) और ‘से कम या बराबर’ के लिए \(\le\) चिन्ह याद रखें। / ‘Less than’ means strictly smaller than 250, so the correct inequality is \(p<250\). Option B, \(p\le250\), also includes a price equal to 250, which is not stated in the question. In exams, remember that ‘less than’ uses \(<\), while ‘less than or equal to’ uses \(\le\).
“16 वर्ष से कम नहीं” का अर्थ है “कम-से-कम 16 वर्ष”, इसलिए आयु 16 के बराबर या उससे अधिक हो सकती है: \(a\ge 16\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(a>16\) में 16 वर्ष की आयु को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा में “कम नहीं” या “at least” पढ़ते ही \(\ge\) का प्रयोग करें। / “Not less than 16 years” means “at least 16 years,” so the age may be equal to 16 or greater: \(a\ge 16\). Option D is incorrect because \(a>16\) excludes the age of exactly 16 years. In an exam, translate “not less than” or “at least” as \(\ge\).
दिए गए मान x=7 को विकल्प C में रखने पर 7>4 मिलता है, जो सत्य है। विकल्प A में 7<5 और विकल्प B में 7\le6 असत्य हैं; विकल्प D एक असमानता नहीं बल्कि समीकरण है और 7=5 भी असत्य है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में दिए गए मान को प्रत्येक विकल्प में रखकर जाँचें। / Substituting x=7 into option C gives 7>4, which is true. Options A and B give 7<5 and 7\le6, both false; option D is an equation rather than an inequality, and 7=5 is also false. In such questions, substitute the given value into each option and verify it.
असमानता \(x+2\ge 9\) में दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(x\ge 7\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा अनावश्यक रूप से बदल दी गई है। परीक्षा में ध्यान रखें कि जोड़ने या घटाने पर दिशा नहीं बदलती; दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। / Subtracting 2 from both sides of \(x+2\ge 9\) gives \(x\ge 7\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign. Remember that adding or subtracting a number does not change the direction of an inequality; it changes only when multiplying or dividing by a negative number.
(8-x<3) से (-x<-5) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर (x>5)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटता है। / From (8-x<3), we get (-x<-5), and dividing by a negative gives (x>5). The sign reverses when removing (-x).
पहले (4) घटाएँ फिर (6) से भाग दें तो \(x\le 3\)। दो चरणों वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First subtract (4), then divide by (6), giving \(x\le 3\). Keep the order correct in two-step questions.
\(10-2x\ge 4\) से \(-2x\ge -6\) और (-2) से भाग देने पर \(x\le 3\)। ऋणात्मक भाग में दिशा बदलती है। / From \(10-2x\ge 4\), we get \(-2x\ge -6\), and division by (-2) gives \(x\le 3\). Negative division changes the direction.
B. समाधान \(-2\) के बाईं ओर स्थित हैं और \(-2\) शामिल नहीं है/The solutions lie to the left of \(-2\), and \(-2\) is not included
Explanation
Simple Explanation
\(x<-2\) का अर्थ है कि \(x\), \(-2\) से छोटी कोई भी वास्तविक संख्या है। संख्या रेखा पर ऐसी संख्याएँ \(-2\) के बाईं ओर होती हैं। चूँकि असमानता में '<' है, इसलिए \(-2\) स्वयं समाधान नहीं है और वहाँ खुला वृत्त बनाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: '<' या '>' होने पर सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / The inequality \(x<-2\) means that \(x\) can be any real number smaller than \(-2\). On a number line, smaller numbers lie to the left of \(-2\). Since the sign is '<', \(-2\) itself is not included, so an open circle is used. Exam tip: with '<' or '>', the boundary point is excluded.
\(x\ge 2\) का अर्थ है कि \(x\) का मान 2 या 2 से बड़ा हो सकता है। इसलिए 2 समाधान समुच्चय में शामिल होगा और उसके लिए वर्ग कोष्ठक \([\) लगाया जाएगा; मान दाईं ओर अनंत तक जाएंगे। अतः सही अंतराल \([2,\infty)\) है। विकल्प A में 2 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x>2\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) या \(\le\) होने पर संबंधित सीमांत बिंदु पर वर्ग कोष्ठक लगाएँ, जबकि \(\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगता है। / The inequality \(x\ge 2\) means that \(x\) can be 2 or any value greater than 2. Thus, 2 is included in the solution set, so a square bracket is used at 2, and the values extend to the right up to infinity. Therefore, the correct interval is \([2,\infty)\). Option A excludes 2 and represents \(x>2\). Exam tip: Use a square bracket for an included endpoint, but always use a round bracket with \(\infty\).
A. (x) (3) से बड़ा और (8) से छोटा या बराबर है/(x) is greater than (3) and less than or equal to (8)
Explanation
Simple Explanation
\(3<x\le 8\) में (3) शामिल नहीं है पर (8) शामिल है। संयुक्त असमानता को दोनों तरफ से पढ़ें। / In \(3<x\le 8\), (3) is not included but (8) is included. Read a compound inequality from both sides.
प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं और (5) शामिल है। इसलिए \(x\in{1,2,3,4,5}\) सही है। / Natural numbers are taken from (1), and (5) is included. Therefore \(x\in{1,2,3,4,5}\) is correct.
“अधिकतम \(30\)” का अर्थ है कि मान \(30\) के बराबर या उससे कम हो सकता है। इसलिए सही असमानता \(n\le 30\) है। विकल्प B, \(n<30\), में \(n=30\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: “at most” के लिए \(\le\) और “at least” के लिए \(\ge\) चिन्ह चुनें। / “At most \(30\)” means that the value can be \(30\) or any number less than \(30\). Therefore, \(n\le 30\) is correct. Option B, \(n<30\), excludes the value \(n=30\). Exam tip: use \(\le\) for “at most” and \(\ge\) for “at least.”
“12 से अधिक” का अर्थ है कि \(s\) का मान 12 से बड़ा हो और 12 के बराबर न हो, इसलिए सही असमानता \(s>12\) है। विकल्प D \(s\ge 12\) में 12 के बराबर होने की संभावना भी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: “से अधिक” के लिए \(>\), जबकि “से अधिक या बराबर” के लिए \(\ge\) प्रयोग करें। / “Greater than 12” means that \(s\) must be larger than 12 and cannot equal 12, so \(s>12\) is correct. Option D, \(s\ge 12\), also includes the value 12. Exam tip: use \(>\) for “more than” and \(\ge\) for “more than or equal to.”
असमानता x + 9 > 9 में दोनों पक्षों से 9 घटाने पर x > 0 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर x > 0 है। विकल्प B में असमानता की दिशा और हल दोनों गलत हैं, जबकि 18 वाले विकल्पों में 9 घटाने के बजाय अनावश्यक रूप से संख्याएँ जोड़ी गई हैं। परीक्षा में किसी धनात्मक या ऋणात्मक संख्या को दोनों पक्षों से घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting 9 from both sides of x + 9 > 9 gives x > 0. Therefore, x > 0 is the correct solution. Option B reverses the meaning of the inequality, while the options involving 18 result from incorrectly combining the constants. Exam tip: adding or subtracting the same number on both sides does not reverse the inequality sign.
दोनों ओर (4) से गुणा करने पर \(x\le 12\) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by (4) gives \(x\le 12\). Positive multiplication does not reverse the sign.
दोनों ओर (-3) से गुणा करने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x>-6)। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by (-3) reverses the sign, so (x>-6). Negative multiplication changes the direction.
दोनों ओर (4) से भाग देने पर (3<x) यानी (x>3) मिलता है। रूप बदलते समय दिशा का अर्थ जाँचें। / Dividing both sides by (4) gives (3<x), that is (x>3). When rewriting, check the meaning of the direction.
कम से कम (20) का अर्थ \(n\ge 20\) और अधिकतम (45) का अर्थ \(n\le 45\) है। दोनों को मिलाकर \(20\le n\le 45\) मिलता है। / At least (20) means \(n\ge 20\), and at most (45) means \(n\le 45\). Combining both gives \(20\le n\le 45\).
पहले दोनों ओर (7) जोड़ें तो (5x<25) मिलता है फिर (5) से भाग दें। धनात्मक भाग में चिह्न नहीं बदलता। / First add (7) to both sides to get (5x<25), then divide by (5). Division by a positive number does not change the sign.
पहले (2) से भाग देने पर \(x+3\ge 7\) और फिर \(x\ge 4\) मिलता है। कोष्ठक वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First divide by (2) to get \(x+3\ge 7\), then \(x\ge 4\). Keep the order correct in bracket questions.
संभव पूर्णांक (2,3,4,5,6) हैं इसलिए कुल (5) मान हैं। सख्त चिह्न वाले किनारे को शामिल न करें। / The possible integers are (2,3,4,5,6), so there are (5) values. Do not include the endpoint with a strict sign.
\(x^2-4<0\) में चर की घात (2) है इसलिए यह रैखिक नहीं है। रैखिक रूप में चर की घात (1) होती है। / In \(x^2-4<0\), the variable has power (2), so it is not linear. In a linear form, the variable has power (1).
([-4) बताता है कि (-4) शामिल है और (2)) बताता है कि (2) शामिल नहीं है। इसलिए \(-4\le x<2\) सही है। / The symbol ([-4) shows that (-4) is included and (2)) shows that (2) is not included. Therefore \(-4\le x<2\) is correct.
कम से कम (18) का अर्थ (18) या उससे अधिक है इसलिए \(2x\ge 18\)। शब्द कम से कम को \(\ge\) से जोड़ें। / At least (18) means (18) or more, so \(2x\ge 18\). Connect the phrase at least with \(\ge\).
दोनों ओर (5) से गुणा करने पर (x>-5) मिलता है। धनात्मक गुणा में असमानता की दिशा नहीं बदलती। / Multiplying both sides by (5) gives (x>-5). Positive multiplication does not change the inequality direction.
\(4-x\le 0\) से \(-x\le -4\) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 4\)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटें। / From \(4-x\le 0\), we get \(-x\le -4\), and dividing by a negative gives \(x\ge 4\). Reverse the sign when removing (-x).
ऋणात्मक संख्या (-3) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। इसलिए \(-3x\ge -6\) सही है। / Multiplying by the negative number (-3) reverses the inequality sign. Therefore \(-3x\ge -6\) is correct.
