Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The square root needs \(x+1\ge 0\) and the denominator needs \(x-2\ne 0\). Hence the domain is \([-1,\infty\)\setminus{2}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([-1,\infty\)\setminus{2}). The square root needs \(x+1\ge 0\) and the denominator needs \(x-2\ne 0\). Hence the domain is \([-1,\infty\)\setminus{2}).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल से \(x+1\ge 0\) और हर से \(x-2\ne 0\) चाहिए। इसलिए डोमेन \([-1,\infty\)\setminus{2}) है।
The square root needs \(5-x\ge 0\) and the denominator needs \(x+3\ne 0\). In exams take the intersection of both conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,5]\setminus{-3}\). The square root needs \(5-x\ge 0\) and the denominator needs \(x+3\ne 0\). In exams take the intersection of both conditions.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(5-x\ge 0\) और हर के लिए \(x+3\ne 0\) चाहिए। परीक्षा में दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लें।
The expression inside the square root must satisfy \(x^2-9\ge 0\). From \(x^2\ge 9\), we get the outer intervals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,-3]\cup[3,\infty\)). The expression inside the square root must satisfy \(x^2-9\ge 0\). From \(x^2\ge 9\), we get the outer intervals.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के अंदर \(x^2-9\ge 0\) होना चाहिए। \(x^2\ge 9\) से बाहरी अंतराल मिलते हैं।
The square root is in the denominator, so \(16-x^2>0\) is required. In exams do not include equality for a denominator square root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-4,4)). The square root is in the denominator, so \(16-x^2>0\) is required. In exams do not include equality for a denominator square root.
Step 3
Exam Tip
हर में वर्गमूल है इसलिए \(16-x^2>0\) चाहिए। परीक्षा में हर वाले वर्गमूल में बराबरी शामिल न करें।
The denominator is (x-2-16=(x-4)(x+4)), so \(x=\pm4\) are excluded. In exams apply restrictions from the original denominator before cancellation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{-4,4}\). The denominator is (x-2-16=(x-4)(x+4)), so \(x=\pm4\) are excluded. In exams apply restrictions from the original denominator before cancellation.
Step 3
Exam Tip
हर (x-2-16=(x-4)(x+4)) है इसलिए \(x=\pm4\) हटेंगे। परीक्षा में काटने से पहले मूल हर की रोक लगाएं।
The denominator (x-2-x-20=(x-5)(x+4)), so \(x\ne5\) and \(x\ne-4\). In exams factorize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{-4,5}\). The denominator (x-2-x-20=(x-5)(x+4)), so \(x\ne5\) and \(x\ne-4\). In exams factorize the denominator.
Step 3
Exam Tip
हर (x-2-x-20=(x-5)(x+4)) है इसलिए \(x\ne5\) और \(x\ne-4\)। परीक्षा में denominator को गुणनखंड करें।
The two conditions \(x-2\ge0\) and \(9-x\ge0\) together give \(2\le x\le9\). In exams take the common interval for two square roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([2,9]). The two conditions \(x-2\ge0\) and \(9-x\ge0\) together give \(2\le x\le9\). In exams take the common interval for two square roots.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तें \(x-2\ge0\) और \(9-x\ge0\) मिलकर \(2\le x\le9\) देती हैं। परीक्षा में दो वर्गमूल हों तो common interval लें।
The denominator (x-2-4x+5=(x-2)2+1) is never (0). In exams complete the square to check the minimum denominator value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\). The denominator (x-2-4x+5=(x-2)2+1) is never (0). In exams complete the square to check the minimum denominator value.
Step 3
Exam Tip
हर (x-2-4x+5=(x-2)2+1) कभी (0) नहीं होता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग बनाकर हर की न्यूनतम वैल्यू जांचें।
The square root needs \(15-5x\ge0\), giving \(x\le3\). In exams the inequality reverses when dividing by a negative coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,3]\). The square root needs \(15-5x\ge0\), giving \(x\le3\). In exams the inequality reverses when dividing by a negative coefficient.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(15-5x\ge0\) से \(x\le3\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय असमानता बदलती है।
The expression inside the square root must satisfy ((x+1)(x-5)\ge0). A sign table gives the correct outer intervals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,-1]\cup[5,\infty\)). The expression inside the square root must satisfy ((x+1)(x-5)\ge0). A sign table gives the correct outer intervals.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के अंदर ((x+1)(x-5)\ge0) होना चाहिए। संकेत तालिका से बाहरी अंतराल सही मिलते हैं।
(x-2+8x+18=(x+4)2+2), so the minimum is (2). In exams completing the square is useful for the range of a quadratic.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([2,\infty\)). (x-2+8x+18=(x+4)2+2), so the minimum is (2). In exams completing the square is useful for the range of a quadratic.
Step 3
Exam Tip
(x-2+8x+18=(x+4)2+2), इसलिए न्यूनतम (2) है। परीक्षा में quadratic की रेंज के लिए पूर्ण वर्ग विधि उपयोगी है।
\(\sqrt{x+9}\ge0\), so \(\sqrt{x+9}-4\ge-4\). In exams apply the vertical shift to the basic square-root range.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([-4,\infty\)). \(\sqrt{x+9}\ge0\), so \(\sqrt{x+9}-4\ge-4\). In exams apply the vertical shift to the basic square-root range.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x+9}\ge0\), इसलिए \(\sqrt{x+9}-4\ge-4\)। परीक्षा में वर्गमूल की basic range पर vertical shift लगाएं।
\(\sqrt{x+2}\ge0\), so \(6-\sqrt{x+2}\le6\) and can decrease without bound. In exams a negative sign changes the direction of the range.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,6]\). \(\sqrt{x+2}\ge0\), so \(6-\sqrt{x+2}\le6\) and can decrease without bound. In exams a negative sign changes the direction of the range.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x+2}\ge0\), इसलिए \(6-\sqrt{x+2}\le6\) और नीचे अनंत तक जा सकता है। परीक्षा में negative sign रेंज की दिशा बदलता है।
The denominator \(x^2+9\) has minimum value (9), so the maximum output is \(\frac{1}{9}\). (0) is only a limiting value, not an attained value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( \(0,\frac{1}{9}]\). The denominator \(x^2+9\) has minimum value (9), so the maximum output is \(\frac{1}{9}\). (0) is only a limiting value, not an attained value.
Step 3
Exam Tip
हर \(x^2+9\) की न्यूनतम वैल्यू (9) है, इसलिए अधिकतम आउटपुट \(\frac{1}{9}\) है। (0) केवल सीमा है, प्राप्त वैल्यू नहीं।
The interval ([-4,1]) contains (0), so the minimum is (0) and the maximum is (16). In exams check the vertex along with endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([0,16]). The interval ([-4,1]) contains (0), so the minimum is (0) and the maximum is (16). In exams check the vertex along with endpoints.
Step 3
Exam Tip
अंतराल ([-4,1]) में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम (0) और अधिकतम (16) है। परीक्षा में endpoints के साथ vertex भी जांचें।
The function is decreasing, so at (x=1) it gives (2) and as \(x\to6\) it approaches (-8), not included. In exams reverse endpoint order for a decreasing function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-8,2]). The function is decreasing, so at (x=1) it gives (2) and as \(x\to6\) it approaches (-8), not included. In exams reverse endpoint order for a decreasing function.
Step 3
Exam Tip
फलन घटता है, इसलिए (x=1) पर (2) और \(x\to6\) पर (-8) मिलता है पर शामिल नहीं होता। परीक्षा में decreasing function में endpoints का क्रम बदलें।
The domain contains (0), so the minimum is (0) and the largest modulus is (7). In exams check whether the interval contains (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([0,7]). The domain contains (0), so the minimum is (0) and the largest modulus is (7). In exams check whether the interval contains (0).
Step 3
Exam Tip
डोमेन में (0) शामिल है, इसलिए minimum (0) है और सबसे बड़ा मापांक (7) है। परीक्षा में interval में (0) है या नहीं देखें।
On the positive interval, \(\frac{1}{x+1}\) decreases. At (x=1) and (x=3), values are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{1}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([\frac{1}{4},\frac{1}{2}]\). On the positive interval, \(\frac{1}{x+1}\) decreases. At (x=1) and (x=3), values are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{1}{4}\).
Step 3
Exam Tip
धनात्मक अंतराल पर \(\frac{1}{x+1}\) घटता है। (x=1) और (x=3) से \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{4}\) मिलते हैं।
\(\frac{1}{x+6}\) can never be (0). In exams a horizontal shift does not change the excluded range value of a reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{0}\). \(\frac{1}{x+6}\) can never be (0). In exams a horizontal shift does not change the excluded range value of a reciprocal.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{x+6}\) कभी (0) नहीं हो सकता। परीक्षा में horizontal shift से reciprocal की excluded range value नहीं बदलती।
\(\frac{5}{x-2}\) is never (0), so output (1) is not obtained. In exams a vertical shift changes the excluded value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{1}\). \(\frac{5}{x-2}\) is never (0), so output (1) is not obtained. In exams a vertical shift changes the excluded value.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{5}{x-2}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (1) आउटपुट नहीं मिलता। परीक्षा में vertical shift से excluded value बदलती है।
(f(x)=1-\frac{4}{x-2+4}), so (0) is attained but (1) is not. In exams writing such rational expressions in (1-) form is useful.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([0,1)). (f(x)=1-\frac{4}{x-2+4}), so (0) is attained but (1) is not. In exams writing such rational expressions in (1-) form is useful.
Step 3
Exam Tip
(f(x)=1-\frac{4}{x-2+4}), इसलिए (0) मिलता है पर (1) नहीं मिलता। परीक्षा में ऐसे rational expressions को (1-) रूप में लिखना उपयोगी है।
\(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\). At (x=0), the minimum \(\frac{2}{5}\) is attained and (1) is not attained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([\frac{2}{5},1\)). \(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\). At (x=0), the minimum \(\frac{2}{5}\) is attained and (1) is not attained.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\) है। (x=0) पर न्यूनतम \(\frac{2}{5}\) मिलता है और (1) नहीं मिलता।
The denominator (|x-3|+1) has minimum value (1) and can grow without bound. Hence the output is greater than (0) and up to (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( (0,1]). The denominator (|x-3|+1) has minimum value (1) and can grow without bound. Hence the output is greater than (0) and up to (1).
Step 3
Exam Tip
हर (|x-3|+1) की न्यूनतम वैल्यू (1) है और यह अनंत तक जा सकता है। इसलिए output (0) से बड़ा और (1) तक है।
The polynomial \(x^2+8\) is defined for every real (x). In exams polynomial functions usually have domain \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (f(x)=x-2+8). The polynomial \(x^2+8\) is defined for every real (x). In exams polynomial functions usually have domain \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद \(x^2+8\) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। परीक्षा में polynomial functions का डोमेन सामान्यतः \(\mathbb{R}\) होता है।
\(\frac{2}{x}\) is never (0), so output (-3) cannot occur. In exams identify the vertical shift of a reciprocal function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (f(x)=\frac{2}{x}+(-3)). \(\frac{2}{x}\) is never (0), so output (-3) cannot occur. In exams identify the vertical shift of a reciprocal function.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{2}{x}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (-3) output नहीं मिल सकता। परीक्षा में reciprocal function की vertical shift पहचानें।
A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([4,\infty\))/Domain \(\mathbb{R}\) and range \([4,\infty\))
Step 1
Concept
Since \(x^2+16\ge16\), the square root is at least (4). The inside expression is defined for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([4,\infty\)) / Domain \(\mathbb{R}\) and range \([4,\infty\)). Since \(x^2+16\ge16\), the square root is at least (4). The inside expression is defined for every real (x).
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(x^2+16\ge16\), इसलिए वर्गमूल कम से कम (4) है। अंदर की राशि हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है।
A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-2,2}\) है/Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-2,2}\)
Step 1
Concept
The denominator \(x^2-4\) becomes (0) when (x=-2) or (x=2). In exams remove zero values of the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-2,2}\) है / Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-2,2}\). The denominator \(x^2-4\) becomes (0) when (x=-2) or (x=2). In exams remove zero values of the denominator.
Step 3
Exam Tip
हर \(x^2-4\) तब (0) होगा जब (x=-2) या (x=2)। परीक्षा में denominator की zero values हटाएं।
A. रेंज \([7,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([7,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
In the given notation, the second set is the codomain \(\mathbb{R}\), while actual outputs are \([7,\infty\)). In exams keep range and codomain separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. रेंज \([7,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है / Range is \([7,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\). In the given notation, the second set is the codomain \(\mathbb{R}\), while actual outputs are \([7,\infty\)). In exams keep range and codomain separate.
Step 3
Exam Tip
दिए गए notation में दूसरा समुच्चय codomain \(\mathbb{R}\) है, जबकि वास्तविक outputs \([7,\infty\)) हैं। परीक्षा में range और codomain अलग रखें।
For the given inputs, (f(2)=1), (f(5)=2), (f(10)=3), and (f(17)=4). In exams use only the given inputs in a finite domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({1,2,3,4}). For the given inputs, (f(2)=1), (f(5)=2), (f(10)=3), and (f(17)=4). In exams use only the given inputs in a finite domain.
Step 3
Exam Tip
दिए गए inputs पर (f(2)=1), (f(5)=2), (f(10)=3), और (f(17)=4) हैं। परीक्षा में finite domain में केवल दिए गए inputs लें।
The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x+3}{x-1}\ge0\) and \(x\ne1\). A sign table gives ((-\infty,-3]\cup\(1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-\infty,-3]\cup\(1,\infty\)). The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x+3}{x-1}\ge0\) and \(x\ne1\). A sign table gives ((-\infty,-3]\cup\(1,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x+3}{x-1}\ge0\) और \(x\ne1\) चाहिए। संकेत तालिका से ((-\infty,-3]\cup\(1,\infty\)) मिलता है।
