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A. शीर्ष ((4,-2)) और न्यूनतम (-2)/vertex ((4,-2)) and minimum (-2)
Step 1
Concept
The minimum of (|x-4|) is (0) at (x=4), so (y=-2). In exams, set the inside of the modulus to (0) to find the vertex.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शीर्ष ((4,-2)) और न्यूनतम (-2) / vertex ((4,-2)) and minimum (-2). The minimum of (|x-4|) is (0) at (x=4), so (y=-2). In exams, set the inside of the modulus to (0) to find the vertex.
Step 3
Exam Tip
(|x-4|) का न्यूनतम (0) (x=4) पर होता है इसलिए (y=-2)। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखकर शीर्ष निकालें।
The denominator ((x-2)2) becomes zero at (x=2), and the outside (3) gives horizontal asymptote (y=3). In exams, exclude the value that makes a squared denominator zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=2) और (y=3) / (x=2) and (y=3). The denominator ((x-2)2) becomes zero at (x=2), and the outside (3) gives horizontal asymptote (y=3). In exams, exclude the value that makes a squared denominator zero.
Step 3
Exam Tip
हर ((x-2)2) (x=2) पर शून्य होता है और बाहरी (3) से क्षैतिज आसमापी (y=3) मिलता है। परीक्षा में वर्ग वाले हर में भी शून्य बनाने वाला मान हटाएं।
The parabola opens downward and the vertex (y)-value is (-1). In exams, the vertex of a downward parabola gives the maximum.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( -1 ). The parabola opens downward and the vertex (y)-value is (-1). In exams, the vertex of a downward parabola gives the maximum.
Step 3
Exam Tip
परवलय नीचे खुलता है और शीर्ष का (y)-मान (-1) है। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय का शीर्ष अधिकतम होता है।
For the square root, \(2x-5\ge0\), so \(x\ge\frac{5}{2}\). In exams, keep the expression inside the square root non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\left[\frac{5}{2},\infty\right\)). For the square root, \(2x-5\ge0\), so \(x\ge\frac{5}{2}\). In exams, keep the expression inside the square root non-negative.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(2x-5\ge0\) इसलिए \(x\ge\frac{5}{2}\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि अनऋणात्मक रखें।
The denominator (x+2) is zero at (x=-2), and the outside (3) gives horizontal asymptote (y=3). In exams, check both denominator and vertical shift.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=-2) और (y=3) / (x=-2) and (y=3). The denominator (x+2) is zero at (x=-2), and the outside (3) gives horizontal asymptote (y=3). In exams, check both denominator and vertical shift.
Step 3
Exam Tip
हर (x+2) शून्य होने पर (x=-2) है और बाहरी (3) से क्षैतिज आसमापी (y=3) है। परीक्षा में हर और ऊर्ध्व विस्थापन दोनों जांचें।
Since (x-2-8x+12=(x-2)(x-6)), the values are (x=2) and (x=6). In exams, set (y=0) for (x)-intercepts.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((2,0)) और ((6,0)) / ((2,0)) and ((6,0)). Since (x-2-8x+12=(x-2)(x-6)), the values are (x=2) and (x=6). In exams, set (y=0) for (x)-intercepts.
Step 3
Exam Tip
(x-2-8x+12=(x-2)(x-6)) इसलिए (x=2) और (x=6) हैं। परीक्षा में (x)-अवरोध के लिए (y=0) रखें।
Since \(\sqrt{x+4}\ge0\), \(5-\sqrt{x+4}\le5\). In exams, a negative square-root term makes the graph go downward.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,5]\). Since \(\sqrt{x+4}\ge0\), \(5-\sqrt{x+4}\le5\). In exams, a negative square-root term makes the graph go downward.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x+4}\ge0\) इसलिए \(5-\sqrt{x+4}\le5\)। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल के कारण ग्राफ नीचे जाता है।
Equating gives \(x^2-1=2x+2\), that is \(x^2-2x-3=0\). In exams, set the two (y)-values equal for intersections.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=-1) और (x=3) / (x=-1) and (x=3). Equating gives \(x^2-1=2x+2\), that is \(x^2-2x-3=0\). In exams, set the two (y)-values equal for intersections.
Step 3
Exam Tip
समान करने पर \(x^2-1=2x+2\) यानी \(x^2-2x-3=0\) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद के लिए दोनों (y)-मान बराबर करें।
The denominator (x-4) becomes zero at (x=4). In exams, find the vertical asymptote of a reciprocal graph from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=4). The denominator (x-4) becomes zero at (x=4). In exams, find the vertical asymptote of a reciprocal graph from the denominator.
Step 3
Exam Tip
हर (x-4) शून्य होने पर (x=4) मिलता है। परीक्षा में पारस्परिक ग्राफ का लंबवत आसमापी हर से निकालें।
In this interval, (2x) starts in ([3,4)) and also reaches values giving (4) after \(2x\ge4\). In exams, split the inside interval into subintervals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3) और (4) / (3) and (4). In this interval, (2x) starts in ([3,4)) and also reaches values giving (4) after \(2x\ge4\). In exams, split the inside interval into subintervals.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में \(2x\in[3,4\)) से शुरू होकर (4) के बाद मान (4) भी आता है क्योंकि (2x<4) नहीं रहता। परीक्षा में अंदर के अंतराल को उपखंडों में बांटें।
A. केंद्र ((0,0)) और त्रिज्या (4) वाला वृत्त/circle with centre ((0,0)) and radius (4)
Step 1
Concept
Squaring gives \(x^2+y^2=16\) with \(y\ge0\). In exams, identify \(\sqrt{r^2-x^2}\) as an upper semicircle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केंद्र ((0,0)) और त्रिज्या (4) वाला वृत्त / circle with centre ((0,0)) and radius (4). Squaring gives \(x^2+y^2=16\) with \(y\ge0\). In exams, identify \(\sqrt{r^2-x^2}\) as an upper semicircle.
Step 3
Exam Tip
वर्ग करने पर \(x^2+y^2=16\) और \(y\ge0\) मिलता है। परीक्षा में \(\sqrt{r^2-x^2}\) को ऊपरी अर्धवृत्त पहचानें।
The minimum of \(\sqrt{x-2}\) is (0) at (x=2), so (y=4). In exams, a negative square-root graph has maximum at the starting point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((2,4)). The minimum of \(\sqrt{x-2}\) is (0) at (x=2), so (y=4). In exams, a negative square-root graph has maximum at the starting point.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x-2}\) का न्यूनतम (0) (x=2) पर है इसलिए (y=4)। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल ग्राफ का अधिकतम आरंभिक बिंदु पर होता है।
The degrees of numerator and denominator are equal, so the ratio of leading coefficients is \(\frac{5}{2}\). In exams, use the ratio of leading coefficients for equal degrees.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y=\frac{5}{2}\). The degrees of numerator and denominator are equal, so the ratio of leading coefficients is \(\frac{5}{2}\). In exams, use the ratio of leading coefficients for equal degrees.
Step 3
Exam Tip
अंश और हर की घात समान है इसलिए अग्र गुणांकों का अनुपात \(\frac{5}{2}\) है। परीक्षा में समान घातों पर अग्र गुणांक का अनुपात लें।
The distance between (7) and (2) is (5), so the minimum sum is (5). In exams, remember the minimum of (|x-a|+|x-b|) is (|a-b|).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5). The distance between (7) and (2) is (5), so the minimum sum is (5). In exams, remember the minimum of (|x-a|+|x-b|) is (|a-b|).
Step 3
Exam Tip
दो बिंदुओं (7) और (2) के बीच दूरी (5) है इसलिए योग का न्यूनतम (5) है। परीक्षा में (|x-a|+|x-b|) का न्यूनतम (|a-b|) याद रखें।
The minimum of (|x-2|) is (0) at (x=2), so (y=9) is maximum. In exams, a modulus graph with a negative multiplier has maximum at the vertex.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अधिकतम (9) जब (x=2) / maximum (9) when (x=2). The minimum of (|x-2|) is (0) at (x=2), so (y=9) is maximum. In exams, a modulus graph with a negative multiplier has maximum at the vertex.
Step 3
Exam Tip
(|x-2|) का न्यूनतम (0) (x=2) पर है इसलिए (y=9) अधिकतम है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणक वाले मापांक में शीर्ष अधिकतम होता है।
The denominator (|x-1|) becomes zero at (x=1), so (1) is excluded. In exams, remove values that make the denominator zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{1}\). The denominator (|x-1|) becomes zero at (x=1), so (1) is excluded. In exams, remove values that make the denominator zero.
Step 3
Exam Tip
हर (|x-1|) (x=1) पर शून्य हो जाता है इसलिए (1) हटता है। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाला मान प्रांत से निकालें।
\(\lfloor1.7\rfloor=1\) and \(\lfloor-1.7\rfloor=-2\), so the value is (-1). In exams, avoid mistakes with greatest integers of negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( -1 ). \(\lfloor1.7\rfloor=1\) and \(\lfloor-1.7\rfloor=-2\), so the value is (-1). In exams, avoid mistakes with greatest integers of negative numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\lfloor1.7\rfloor=1\) और \(\lfloor-1.7\rfloor=-2\) इसलिए मान (-1) है। परीक्षा में ऋणात्मक महत्तम पूर्णांक में गलती न करें।
For (1<x<4), (\operatorname{sgn}(x-1)=1) and (\operatorname{sgn}(x-4)=-1). In exams, check the sign of each signum term separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ( 2 ). For (1<x<4), (\operatorname{sgn}(x-1)=1) and (\operatorname{sgn}(x-4)=-1). In exams, check the sign of each signum term separately.
Step 3
Exam Tip
(1<x<4) पर (\operatorname{sgn}(x-1)=1) और (\operatorname{sgn}(x-4)=-1) है। परीक्षा में हर साइनम पद का चिह्न अलग जांचें।
The denominator (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) is zero at (x=1) and (x=3). In exams, find vertical asymptotes from the zeroes of the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=1) और (x=3) / (x=1) and (x=3). The denominator (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) is zero at (x=1) and (x=3). In exams, find vertical asymptotes from the zeroes of the denominator.
Step 3
Exam Tip
हर (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) शून्य होने पर (x=1) और (x=3) हैं। परीक्षा में हर के शून्यों से लंबवत आसमापी खोजें।
A. प्रांत \([3,\infty\)) और परिसर (\(-\infty,2]\)/domain \([3,\infty\)) and range (\(-\infty,2]\)
Step 1
Concept
From \(x-3\ge0\), the domain is \([3,\infty\)), and the negative sign gives \(y\le2\). In exams, check both the square root and the outside negative sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रांत \([3,\infty\)) और परिसर (\(-\infty,2]\) / domain \([3,\infty\)) and range (\(-\infty,2]\). From \(x-3\ge0\), the domain is \([3,\infty\)), and the negative sign gives \(y\le2\). In exams, check both the square root and the outside negative sign.
Step 3
Exam Tip
\(x-3\ge0\) से प्रांत \([3,\infty\)) है और ऋण चिह्न से \(y\le2\)। परीक्षा में वर्गमूल और बाहरी ऋण दोनों का प्रभाव देखें।
\(|x^2-9|=0\) when \(x^2-9=0\), so \(x=\pm3\). In exams, modulus is zero only when the inside expression is zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-3,0)) और ((3,0)) / ((-3,0)) and ((3,0)). \(|x^2-9|=0\) when \(x^2-9=0\), so \(x=\pm3\). In exams, modulus is zero only when the inside expression is zero.
Step 3
Exam Tip
\(|x^2-9|=0\) तब \(x^2-9=0\) होता है इसलिए \(x=\pm3\)। परीक्षा में मापांक शून्य तभी होता है जब अंदर की राशि शून्य हो।
The denominator (x-5=0) gives (x=5), and the ratio of leading coefficients is (3). In exams, find the two asymptotes using different rules.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=5) और (y=3) / (x=5) and (y=3). The denominator (x-5=0) gives (x=5), and the ratio of leading coefficients is (3). In exams, find the two asymptotes using different rules.
Step 3
Exam Tip
हर (x-5=0) से (x=5) और समान घातों के अग्र गुणांकों का अनुपात (3) है। परीक्षा में दोनों आसमापी अलग नियम से निकालें।
The modulus graph has vertex at (x=-4), and after that it increases. In exams, remember the right arm of a (V)-graph is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([-4,\infty\)). The modulus graph has vertex at (x=-4), and after that it increases. In exams, remember the right arm of a (V)-graph is increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक ग्राफ का शीर्ष (x=-4) है और उसके बाद ग्राफ बढ़ता है। परीक्षा में (V)-ग्राफ का दायां भाग बढ़ता हुआ याद रखें।
In \(\sqrt{x+1}=x-1\), \(x\ge1\), and at (x=3) both sides are (2). In exams, the right side must be non-negative before squaring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (x=3). In \(\sqrt{x+1}=x-1\), \(x\ge1\), and at (x=3) both sides are (2). In exams, the right side must be non-negative before squaring.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x+1}=x-1\) में \(x\ge1\) और (x=3) रखने पर दोनों (2) हैं। परीक्षा में वर्ग करने से पहले दाईं ओर अनऋणात्मक होनी चाहिए।
The denominator \(x^2+4\) has minimum (4) at (x=0), so the maximum is \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). In exams, a smaller denominator makes the fraction larger.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{2}\). The denominator \(x^2+4\) has minimum (4) at (x=0), so the maximum is \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). In exams, a smaller denominator makes the fraction larger.
Step 3
Exam Tip
हर \(x^2+4\) का न्यूनतम (4) (x=0) पर है इसलिए अधिकतम \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में हर छोटा होने पर भिन्न बड़ा होता है।
From (0=-|x+3|+5), (|x+3|=5), so (x=-8) or (x=2). In exams, add the distance in both directions after modulus.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((-8,0)) और ((2,0)) / ((-8,0)) and ((2,0)). From (0=-|x+3|+5), (|x+3|=5), so (x=-8) or (x=2). In exams, add the distance in both directions after modulus.
Step 3
Exam Tip
(0=-|x+3|+5) से (|x+3|=5) इसलिए (x=-8) या (x=2)। परीक्षा में मापांक के बाद दोनों दिशाओं में दूरी जोड़ें।
Reflection in the (x)-axis gives (y=-|x|), and shifting (2) up gives (y=-|x|+2). In exams, write reflection and shift separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (y=-|x|+2). Reflection in the (x)-axis gives (y=-|x|), and shifting (2) up gives (y=-|x|+2). In exams, write reflection and shift separately.
Step 3
Exam Tip
(x)-अक्ष में परावर्तन से (y=-|x|) और (2) ऊपर से (y=-|x|+2) मिलता है। परीक्षा में परावर्तन और विस्थापन को अलग लिखें।
In \(y=-\frac{1}{x}\), (x) and (y) have opposite signs. In exams, connect the negative reciprocal graph with the second and fourth quadrants.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y=-\frac{1}{x}\). In \(y=-\frac{1}{x}\), (x) and (y) have opposite signs. In exams, connect the negative reciprocal graph with the second and fourth quadrants.
Step 3
Exam Tip
\(y=-\frac{1}{x}\) में (x) और (y) के चिह्न विपरीत होते हैं। परीक्षा में ऋणात्मक पारस्परिक ग्राफ को दूसरे और चौथे चतुर्थांश से जोड़ें।
Between (2) and (8), the total distance from both points remains constant (6). In exams, interpret the sum of two moduli as distance.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([2,8]). Between (2) and (8), the total distance from both points remains constant (6). In exams, interpret the sum of two moduli as distance.
Step 3
Exam Tip
(2) और (8) के बीच दोनों बिंदुओं से कुल दूरी स्थिर (6) रहती है। परीक्षा में दो मापांकों के योग को दूरी की तरह समझें।
A. बाएं से मान (-2) के पास और बिंदु पर मान (-1)/left value near (-2) and value (-1) at the point
Step 1
Concept
On ([-2,-1)), the value is (-2), but \(\lfloor-1\rfloor=-1\). In exams, watch open and closed points on a step graph.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बाएं से मान (-2) के पास और बिंदु पर मान (-1) / left value near (-2) and value (-1) at the point. On ([-2,-1)), the value is (-2), but \(\lfloor-1\rfloor=-1\). In exams, watch open and closed points on a step graph.
Step 3
Exam Tip
([-2,-1)) पर मान (-2) है लेकिन \(\lfloor-1\rfloor=-1\)। परीक्षा में सीढ़ीनुमा ग्राफ के खुले और बंद बिंदु देखें।
In (|x-2|), points equally distant from (x=2) give the same (y). In exams, the symmetry line of a (|x-a|) graph is (x=a).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=2). In (|x-2|), points equally distant from (x=2) give the same (y). In exams, the symmetry line of a (|x-a|) graph is (x=a).
Step 3
Exam Tip
(|x-2|) में (x=2) से समान दूरी वाले मान समान (y) देते हैं। परीक्षा में (|x-a|) वाले ग्राफ की सममिति रेखा (x=a) होती है।
From (|x+2|+1=6), (|x+2|=5), so (x=-7) or (x=3). In exams, set the (y)-values equal for intersection with a horizontal line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=-7) और (x=3) / (x=-7) and (x=3). From (|x+2|+1=6), (|x+2|=5), so (x=-7) or (x=3). In exams, set the (y)-values equal for intersection with a horizontal line.
Step 3
Exam Tip
(|x+2|+1=6) से (|x+2|=5) इसलिए (x=-7) या (x=3)। परीक्षा में क्षैतिज रेखा से प्रतिच्छेद के लिए (y)-मान बराबर करें।
Between (-3) and (1), the total distance has minimum (4), and it increases outside. In exams, use the distance idea for sums of moduli.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([4,\infty\)). Between (-3) and (1), the total distance has minimum (4), and it increases outside. In exams, use the distance idea for sums of moduli.
Step 3
Exam Tip
(-3) और (1) के बीच कुल दूरी न्यूनतम (4) है और बाहर बढ़ती है। परीक्षा में दूरी वाले मापांक योग से न्यूनतम दूरी निकालें।
