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समीकरण के हल (3) और (4) हैं इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। पहले समीकरण हल करें फिर अवयव मिलाएं। / The solutions of the equation are (3) and (4), so the two sets are equal. First solve the equation and then match the elements.
(2) और (5) निश्चित हैं तथा (7) हटेगा, बाकी (4) अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। / (2) and (5) are fixed and (7) is excluded, while the remaining (4) elements are free. Hence the number is \(2^4=16\).
(P(A)) में (A) के उपसमुच्चय अवयव बनते हैं और \({{\varnothing}}\) (A) का उपसमुच्चय है। पावर सेट में अवयव हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / Elements of (P(A)) are subsets of (A), and \({{\varnothing}}\) is a subset of (A). In a power set, elements are always subsets.
(B) (A) और (C) के बीच है और (A=C) है, इसलिए (B) भी उसी के बराबर होगा। उपसमुच्चय शृंखला में बराबरी की स्थिति ध्यान से देखें। / (B) lies between (A) and (C), and (A=C), so (B) must also be equal to them. In subset chains, check equality conditions carefully.
({2}) पूरा एक अवयव है, लेकिन (2) अलग से अवयव नहीं है। नेस्टेड समुच्चय में कोष्ठक बहुत महत्वपूर्ण होते हैं। / ({2}) is one whole element, but (2) is not separately an element. Braces are very important in nested sets.
गणित शब्द के अलग अक्षर (ग,ण,ि,त) जैसे लिखने से भ्रम हो सकता है, पर प्रश्न अंग्रेजी शब्द (GANIT) पर है। (G,A,N,I,T) पांच अलग अक्षर हैं। / The word (GANIT) has five distinct letters (G,A,N,I,T). Check whether repeated letters exist before counting.
दोहराए गए अक्षर एक बार गिने जाते हैं, इसलिए (LEVEL) से (L,E,V) मिलते हैं। समुच्चय में पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। / Repeated letters are counted once, so (LEVEL) gives (L,E,V). Repetition is not counted in sets.
\(18=2\times3^2\) है, पर समुच्चय में (3) एक बार लिखा जाता है। गुणनखंड और समुच्चय की गिनती अलग रखें। / \(18=2\times3^2\), but (3) is written once in a set. Keep factorization and set counting separate.
A. \(C\subset A\) और \(C\neq A\)/\(C\subset A\) and \(C\neq A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A=\{1,3,5,15\}\) है और (C) के सभी अवयव (A) में हैं। अतिरिक्त (15) होने से (C) उचित उपसमुच्चय है। / \(A=\{1,3,5,15\}\), and all elements of (C) are in (A). The extra (15) makes (C) a proper subset.
(P(A)) में (A) के उपसमुच्चय अवयव होते हैं, साधारण संख्या (4) नहीं। पावर सेट में अवयव स्वयं उपसमुच्चय होते हैं। / (P(A)) contains subsets of (A) as elements, not the ordinary number (4). Elements of a power set are themselves subsets.
(P(A)) में (A) के सभी उपसमुच्चय होते हैं और दो अवयव चुनने की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। यहां पूरी शक्ति समुच्चय की संख्या नहीं पूछी गई है। / (P(A)) contains all subsets of (A), and the number of two element subsets is \(\binom{4}{2}=6\). The question is not asking the total size of the power set.
यदि (A) (B) का उपसमुच्चय है और दोनों में समान संख्या में अवयव हैं, तो वे बराबर हैं। समान कार्डिनैलिटी यहां महत्वपूर्ण संकेत है। / If (A) is a subset of (B) and both have the same number of elements, they are equal. Equal cardinality is the key clue here.
उचित उपसमुच्चय में (A) और (B) बराबर नहीं हो सकते, इसलिए (n(A)) (7) नहीं होगा। उचित उपसमुच्चय में कम अवयव होने चाहिए। / In a proper subset, (A) and (B) cannot be equal, so (n(A)) cannot be (7). A proper subset must have fewer elements here.
(B) के दोनों अवयव (A) में हैं और (A) में अतिरिक्त अवयव हैं। इसलिए (B) (A) का उचित उपसमुच्चय है। / Both elements of (B) are in (A), and (A) has extra elements. So (B) is a proper subset of (A).
(10<x<16) में (11) से (15) तक प्राकृतिक संख्याएं आती हैं। खुली सीमा में (10) और (16) शामिल नहीं होते। / For (10<x<16), the natural numbers are (11) to (15). Open boundaries do not include (10) and (16).
\(A=\{3,4,5,6\}\) है और ({3,5,6}) इसमें पूरा है पर बराबर नहीं। उचित उपसमुच्चय में कम से कम एक अवयव छूटता है। / \(A=\{3,4,5,6\}\), and ({3,5,6}) lies inside it but is not equal. A proper subset misses at least one element.
\(\varnothing\) (A) का अवयव है इसलिए \({\varnothing}\) (A) का उपसमुच्चय है। ({1}) अवयव है, पर (1) अवयव नहीं है। / \(\varnothing\) is an element of (A), so \({\varnothing}\) is a subset of (A). ({1}) is an element, but (1) is not.
(1) हटेगा और (6) निश्चित होगा, बाकी (2,3,4,5) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय बनते हैं। / (1) is excluded and (6) is fixed, while (2,3,4,5) are free. So \(2^4=16\) subsets are formed.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और जिनमें (p,q) दोनों नहीं हैं वे \(2^2=4\) हैं। अतः उत्तर (16-4=12) है। / Total subsets are (16), and those containing neither (p) nor (q) are \(2^2=4\). Hence the answer is (16-4=12).
(1,2) दोनों होने पर \(2^2=4\) और दोनों न होने पर \(2^2=4\) विकल्प हैं। कुल (8) उपसमुच्चय बनते हैं। / When both (1,2) are included there are \(2^2=4\) choices, and when neither is included there are \(2^2=4\) choices. Total is (8).
अधिकतम दो अवयव का अर्थ (0,1,2) अवयव हैं। संख्या \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\) है। / At most two elements means (0,1,2) elements. The count is \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\).
कम से कम तीन अवयव का अर्थ तीन या चार अवयव हैं। संख्या \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5\) है। / At least three elements means three or four elements. The count is \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5\).
\(x^2=9\) के पूर्णांक हल (-3) और (3) हैं। वर्ग वाले समीकरण में ऋणात्मक हल भी जांचें। / The integer solutions of \(x^2=9\) are (-3) and (3). Check the negative solution in square equations too.
A. \(C\subset A\) और \(C\neq A\)/\(C\subset A\) and \(C\neq A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A=\{-4,4\}\) है और \(C=\{4\}\) इसका उचित उपसमुच्चय है। केवल धनात्मक हल लेने से गलती हो सकती है। / \(A=\{-4,4\}\), and \(C=\{4\}\) is its proper subset. Taking only the positive solution can cause an error.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है इसलिए हल (2,3) हैं। पहले समीकरण हल करें फिर समुच्चय लिखें। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the solutions are (2,3). First solve the equation and then write the set.
D. न \(A\subseteq B\) और न \(B\subseteq A\)/Neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
(1) (B) में नहीं है और (4) (A) में नहीं है। कुछ साझा अवयव होना उपसमुच्चय के लिए पर्याप्त नहीं है। / (1) is not in (B), and (4) is not in (A). Having some common elements is not enough for subset relation.
(30) से कम (6) के धनात्मक गुणज (6,12,18,24) हैं। कम से कम और कम का अंतर याद रखें। / The positive multiples of (6) less than (30) are (6,12,18,24). Remember the difference between at most and less than.
(20) से कम (5) के धनात्मक गुणज (5,10,15) हैं। सीमा पर दी संख्या शामिल है या नहीं, यह जांचें। / The positive multiples of (5) less than (20) are (5,10,15). Check whether the boundary number is included or not.
(9) के धनात्मक भाजक (1,3,9) हैं। भाजक सूची बनाते समय (1) और संख्या स्वयं को शामिल करें। / The positive divisors of (9) are (1,3,9). While listing divisors, include (1) and the number itself.
({1,2}) (A) का अवयव है, पर इसके अवयव (1,2) से बना समुच्चय (A) का उपसमुच्चय भी हो सकता है; यहां विकल्प असत्य नहीं है। सही असत्य विकल्प नहीं दिखता, इसलिए ध्यान दें कि सभी दिए कथन सत्य हैं। / This set has (1), (2), and ({1,2}) as elements. All four statements are actually true, so this question checks careful reading.
\({1,2}\subseteq A\) के लिए \(2\in A\) होना चाहिए, पर (2) अलग अवयव नहीं है। अवयव और उपसमुच्चय में अंतर रखें। / For \({1,2}\subseteq A\), \(2\in A\) must be true, but (2) is not a separate element. Keep element and subset distinct.
पांच अवयवों वाले समुच्चय में कोई निश्चित अवयव \(2^{4}=16\) उपसमुच्चयों में आता है। एक अवयव निश्चित रखकर बाकी चार को स्वतंत्र मानें। / In a five element set, any fixed element appears in \(2^4=16\) subsets. Fix one element and let the other four vary freely.
दो विषम और दो सम अवयव हैं, और सम योग के लिए विषम अवयवों की संख्या सम होनी चाहिए। कुल \(2\times4=8\) उपसमुच्चय मिलते हैं। / There are two odd and two even elements, and an even sum needs an even number of odd elements. This gives \(2\times4=8\) subsets.
सभी अवयव विषम हैं, इसलिए विषम योग के लिए उपसमुच्चय में विषम संख्या में अवयव होने चाहिए। \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=4+4=8\) है। / All elements are odd, so an odd sum needs an odd number of elements in the subset. \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=4+4=8\).
D. \(A\neq B\) और कोई भी दूसरे का उपसमुच्चय नहीं/\(A\neq B\) and neither is a subset of the other
Explanation
Simple Explanation
(A) के अवयव संख्याएं हैं जबकि (B) के अवयव एकल समुच्चय हैं। कोष्ठक बदलने से समुच्चय बदल जाता है। / Elements of (A) are numbers, while elements of (B) are singleton sets. Changing braces changes the set.
(P(A)) में (A) के उपसमुच्चय होते हैं, और ({{1}}) (A) का उपसमुच्चय है। ({1}) (A) का अवयव है, पर पावर सेट का अवयव बनने के लिए उपसमुच्चय होना चाहिए। / (P(A)) contains subsets of (A), and ({{1}}) is a subset of (A). ({1}) is an element of (A), but an element of the power set must be a subset.
(1) निश्चित है, इसलिए बाकी (5) अवयवों में से (2) चुनने हैं। संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। / (1) is fixed, so choose (2) elements from the remaining (5). The count is \(\binom{5}{2}=10\).
\(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) है और पहला विकल्प इसमें पूरा शामिल है। परिमाण वाली शर्त में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों देखें। / \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), and the first option is fully included in it. In absolute value conditions, check both negative and positive values.
A. \(B\subset A\) और \(C\subset A\)/\(B\subset A\) and \(C\subset A\)
Explanation
Simple Explanation
(B) और (C) के सभी अवयव (A) में हैं और दोनों (A) से छोटे हैं। एक ही समुच्चय के कई उचित उपसमुच्चय हो सकते हैं। / All elements of (B) and (C) are in (A), and both are smaller than (A). One set can have many proper subsets.
