Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-9) रखने पर \(x^2+9x+20=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-9) gives (x^2+9x+20=0).\)
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए ((-2k)2-100=0) मिलता है। इससे \(k^2=25\) और \(k=\pm5\) है। / For equal roots, (D=0), so ((-2k)2-100=0). This gives \(k^2=25\) and \(k=\pm5\).
A. \(k\leq -4\) या \(k\geq 4\)/\(k\leq -4\) or \(k\geq 4\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) चाहिए। यहाँ \(4k^2-64\geq0\), इसलिए \(k\leq-4\) या \(k\geq4\)। / For real roots, \(D\geq0\) is needed. Here \(4k^2-64\geq0\), so \(k\leq-4\) or \(k\geq4\).
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{10}{3}}{\frac{7}{3}}=\frac{10}{7}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{10}{3}}{\frac{7}{3}}=\frac{10}{7}\).
यदि मूल \(\alpha,\beta\) हैं, तो (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta)। यहाँ (\left\(-\frac{8}{3}\right\)2-2\cdot\frac{4}{3}=\frac{40}{9})। / If the roots are \(\alpha,\beta\), then (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here (\left\(-\frac{8}{3}\right\)2-2\cdot\frac{4}{3}=\frac{40}{9}).
(\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4) होता है। यहाँ (10+2(-7)+4=0)। / (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4). Here (10+2(-7)+4=0).
(r+2r=9) से (r=3) मिलता है, इसलिए मूल (3) और (6) हैं। स्थिर पद मूलों का गुणनफल (18) होगा। / From (r+2r=9), we get (r=3), so the roots are (3) and (6). The constant term will be the product of roots (18).
गुणनफल (4m) है और एक मूल (4) है। इसलिए दूसरा मूल \(\frac{4m}{4}=m\) है। / The product of roots is (4m) and one root is (4). Hence the other root is \(\frac{4m}{4}=m\).
मूल (2) और \(\frac{5}{2}\) हैं। उनका अंतर \(\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}\) है। / The roots are (2) and \(\frac{5}{2}\). Their difference is \(\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}\).
दोनों मूल (-7) हैं, इसलिए योग (-14) है। यहाँ मूलों का योग (-b) है, अतः (b=14)। / Both roots are (-7), so their sum is (-14). Here the sum of roots is (-b), so (b=14).
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=-7\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=12\) है। इसलिए योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक है। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=-7\) and the product is \(\frac{c}{a}=12\). So the sum is negative and the product is positive.
यदि मूलों का योग (13) और गुणनफल (40) है, तो समीकरण \(x^2-13x+40=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (13) and product is (40), the equation is \(x^2-13x+40=0\). Remember the monic form formula.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ मान \(\frac{7}{12}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the value is \(\frac{7}{12}\).
(x-2+16x+64=(x+8)2), इसलिए दोनों मूल (-8) हैं। दोनों मूल बराबर और ऋणात्मक हैं। / (x-2+16x+64=(x+8)2), so both roots are (-8). Both roots are equal and negative.
यह ((3x+2k)2=0) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए दोनों मूल समान वास्तविक होते हैं। / It can be written as ((3x+2k)2=0). Therefore both roots are equal and real.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (25) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (25), so it is not possible.
समान मूलों के लिए \(p^2-64=0\) से \(p=\pm8\) मिलता है। धनात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}>0\), इसलिए (p=-8)। / For equal roots, \(p^2-64=0\) gives \(p=\pm8\). For equal positive roots, \(-\frac{p}{2}>0\), so (p=-8).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-81) रखने पर \(x^2-81=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-81) gives (x^2-81=0).\)
गुणनफल (4) और योग \(-\frac{k}{3}\) है। (4=-2\left\(-\frac{k}{3}\right\)) से (k=6) मिलता है। / The product is (4) and the sum is \(-\frac{k}{3}\). From (4=-2\left\(-\frac{k}{3}\right\)), we get (k=6).
मूलों का योग (3) और गुणनफल (-10) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=27+90=117)। / The sum of roots is (3) and the product is (-10). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=27+90=117).
मूलों का योग (5) है, इसलिए (b=-5), और गुणनफल (-24) है, इसलिए (c=-24)। अतः (b+c=-29)। / The sum of roots is (5), so (b=-5), and the product is (-24), so (c=-24). Therefore (b+c=-29).
मूलों का योग (5) और गुणनफल (2) है। इसलिए \(\alpha+\beta+2\alpha\beta=5+4=9\)। / The sum of roots is (5) and the product is (2). Therefore \(\alpha+\beta+2\alpha\beta=5+4=9\).
(\(\alpha-4\)\(\beta-4\)=\alpha\beta-4\(\alpha+\beta\)+16) है। यहाँ (20-36+16=0)। / (\(\alpha-4\)\(\beta-4\)=\alpha\beta-4\(\alpha+\beta\)+16). Here (20-36+16=0).
यहाँ \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-21\) है। इसलिए (\alpha\beta+2\alpha+2\beta=-21+2(4)=-13)। / Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-21\). Thus (\alpha\beta+2\alpha+2\beta=-21+2(4)=-13).
समीकरण ((x-a)2-16=0) है, इसलिए मूल (a+4) और (a-4) हैं। उनका अंतर (8) है। / The equation is ((x-a)2-16=0), so the roots are (a+4) and (a-4). Their difference is (8).
मूलों का योग (3+p) है और समीकरण में योग (-p) होता है। इसलिए (3+p=-p), जिससे \(p=-\frac{3}{2}\) मिलता है। / The sum of roots is (3+p), and in the equation the sum is (-p). Thus (3+p=-p), giving \(p=-\frac{3}{2}\).
