Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पूरे समीकरण को (9) से भाग देने पर (x-2-(r+s)x+rs=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाने से हल आसान होता है। / Dividing the whole equation by (9) gives (x-2-(r+s)x+rs=0). In exams, removing the common factor first makes solving easier.
\(\frac{9}{\sqrt{2}}\) को सरल करने पर \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\) मिलता है। परीक्षा में हर को परिमेय बनाना न भूलें। / \(\frac{9}{\sqrt{2}}\) simplifies to \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\). In exams, do not forget to rationalize the denominator.
पूरे समीकरण को (4) से भाग देने पर (x-2-(a+b)x+ab=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाना आसान रहता है। / Dividing the whole equation by (4) gives (x-2-(a+b)x+ab=0). In exams, removing the common factor first is easier.
समीकरण के दोनों पक्षों को 12 से भाग देने पर \(\frac{12x^2}{12}=\frac{108}{12}\), इसलिए \(x^2=9\) प्राप्त होता है। आगे हल करने पर \(x=\pm3\) मिलता है। परीक्षा में किसी पद का गुणांक हटाने के लिए दोनों पक्षों पर समान संक्रिया करना याद रखें। / Dividing both sides of the equation by 12 gives \(\frac{12x^2}{12}=\frac{108}{12}\), so \(x^2=9\). Solving further gives \(x=\pm3\). In an exam, remember to perform the same operation on both sides of an equation.
दोनों पक्षों को (10) से भाग देने पर \(x^2-9=0\) मिलता है। परीक्षा में पहले समीकरण को सरल करना समय बचाता है। / Dividing both sides by (10) gives \(x^2-9=0\). In exams, simplifying the equation first saves time.
समीकरण \(8x^2=72\) के दोनों पक्षों को 8 से भाग देने पर \(x^2=9\) प्राप्त होता है। इसके बाद वर्गमूल लेने पर \(x=\pm3\) मिलता है। विकल्प B में 72 को 8 से भाग नहीं दिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में पहले \(x^2\) के गुणांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों को उसी संख्या से भाग दें। / Dividing both sides of \(8x^2=72\) by 8 gives \(x^2=9\). Taking square roots then gives \(x=\pm3\). Option B is incorrect because 72 has not been divided by 8. In an exam, first remove the coefficient of \(x^2\) by performing the same operation on both sides.
समीकरण 6x² − 24 = 0 के प्रत्येक पद को 6 से भाग देने पर x² − 4 = 0 प्राप्त होता है, क्योंकि 24 ÷ 6 = 4। विकल्प D गलत है, क्योंकि उसमें केवल x² का गुणांक हटाया गया है, 24 को 6 से नहीं बाँटा गया। परीक्षा में पूरे समीकरण के प्रत्येक पद को समान गैर-शून्य संख्या से भाग देना याद रखें। / Dividing every term of 6x² − 24 = 0 by 6 gives x² − 4 = 0, since 24 ÷ 6 = 4. Option D is incorrect because it removes the coefficient from x² but does not divide 24 by 6. In an exam, divide every term of an equation by the same non-zero number.
दोनों पक्षों को (5) से भाग देने पर \(x^2=4\) मिलता है। परीक्षा में पहले गुणांक हटाकर वर्गमूल लें। / Dividing both sides by (5) gives \(x^2=4\). In exams, remove the coefficient first and then take square root.
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(x^2-4=0\) मिलता है। परीक्षा में समीकरण को पहले सरल करना समय बचाता है। / Dividing both sides by (2) gives \(x^2-4=0\). In exams, simplifying the equation first saves time.
पहला कदम वर्गों को विस्तृत करना है: \(3(x+1)^2=3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3\) और \(2(x-4)^2=2(x^2-8x+16)=2x^2-16x+32\)। जोड़ने पर मिलता है \(5x^2-10x+35=74\)। अब दोनों पक्षों को एक तरफ लाकर सरल करने पर \(5x^2-10x+35-74=0\) अर्थात् \(5x^2-10x-39=0\)। विकल्प B (\(+10x\)) सबसे नज़दीकी भ्रांतिदायक है — वहाँ परिचर का संकेत उल्टा है। परीक्षा टिप: पहले वर्गों को सही से फैलाएँ, समान पद मिलाएँ और फिर दायाँ पक्ष बाएँ ले आएँ; अंतिम स्थिर पद के लिए अंकगणित दोबारा जाँचें (यहाँ \(3+32-74=-39\))। / Expand the squares first: \(3(x+1)^2=3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3\) and \(2(x-4)^2=2(x^2-8x+16)=2x^2-16x+32\). Adding gives \(5x^2-10x+35=74\). Bring 74 to the left and simplify: \(5x^2-10x+35-74=0\), so \(5x^2-10x-39=0\). Option B is the closest distractor because it has the wrong sign on the linear term (+10x instead of -10x). Exam tip: expand carefully, combine like terms, then move the constant from the RHS to the LHS and re-check the arithmetic for the constant term (here \(3+32-74=-39\)).
पहले वर्गों का विस्तार करें: \\( (2x-3)^2=4x^2-12x+9 \\) और \\( (x+5)^2=x^2+10x+25 \\)। अतः \\(5x^2-2x+34=34\\), इसलिए दोनों पक्षों से 34 घटाने पर \\(5x^2-2x=0\\) प्राप्त होता है। यही \\(ax^2+bx+c=0\\) के रूप में मानक रूप है, जहाँ \\(c=0\\)। परीक्षा-युक्ति: विस्तार के बाद सभी पदों को एक ही पक्ष में लाकर शून्य के बराबर करें। / Expand the squares: \\( (2x-3)^2=4x^2-12x+9 \\) and \\( (x+5)^2=x^2+10x+25 \\). This gives \\(5x^2-2x+34=34\\); subtracting 34 from both sides yields \\(5x^2-2x=0\\). This matches the standard quadratic form \\(ax^2+bx+c=0\\), with \\(c=0\\). Exam tip: after expansion, bring all terms to one side and equate the result to zero.
हर पद को (8) से भाग देने पर \(x^2-4x+3=0\) मिलता है। समान अशून्य गुणनखंड से भाग देने पर मूल नहीं बदलते। / Dividing every term by (8) gives \(x^2-4x+3=0\). Dividing by a common nonzero factor does not change the roots.
पहला चरण: \((x+4)^2 = x^2+8x+16\) और \(-3(x+4) = -3x-12\)। इन्हें और -10 को जोड़ने पर: \(x^2+8x+16-3x-12-10 = x^2+(8x-3x)+(16-12-10) = x^2+5x-6\)। इसलिए सही समीकरण \(x^2+5x-6=0\) है। नज़दीकी भ्रम (विकल्प C): \(x^2+5x+6=0\) में स्थिर पद का साइन गलत है — यह 16-12-10 के योग का गलत परिणाम है. परीक्षा टिप: पहले ब्रोकेट खोलकर समान पद \(x^2, x और स्थिर\) अलग-अलग जोड़ें, ताकि साइन की गलती न हो। / Expand terms: \((x+4)^2 = x^2+8x+16\) and \(-3(x+4) = -3x-12\). Adding these and \(-10\) gives \(x^2+8x+16-3x-12-10 = x^2+(8x-3x)+(16-12-10) = x^2+5x-6\). Thus the quadratic is \(x^2+5x-6=0\). Closest distractor (option C) has the constant term sign reversed — a typical error from mishandling the constant terms. Exam tip: always expand brackets first and then combine like terms separately to avoid sign mistakes.
हर पद को (6) से भाग देने पर \(x^2-3x+2=0\) मिलता है। समान अशून्य गुणनखंड से भाग देने पर मूल नहीं बदलते। / Dividing every term by (6) gives \(x^2-3x+2=0\). Dividing by a common nonzero factor does not change the roots.
पहले \((x-3)^2=x^2-6x+9\) और \(2(x-3)=2x-6\)। अब इन्हें मिलाकर और \(-8\) जोड़ने पर: \(x^2-6x+9+2x-6-8=x^2-4x-5\) मिलता है। अतः सही समीकरण \(x^2-4x-5=0\) है। विकल्प D (\(x^2-4x+5=0\)) सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प है क्योंकि वहां केवल स्थिर पद का चिन्ह उल्टा है; अन्य विकल्पों में रैखिक और स्थिर पद दोनों अलग हैं। परीक्षात्मक टिप: \ / Expand and combine like terms: \((x-3)^2=x^2-6x+9\) and \(2(x-3)=2x-6\). Adding and subtracting 8 gives \(x^2-6x+9+2x-6-8=x^2-4x-5\). Therefore \(x^2-4x-5=0\) is correct. Closest distractor D has the same linear term but wrong constant sign (+5 instead of -5). Exam tip: Always expand \((x-a)^2\) as \(x^2-2ax+a^2\) and then combine like terms carefully.
हर पद को (3) से भाग देने पर \(x^2-4x+4=0\) मिलता है। समान गुणनखंड से भाग देने पर मूल नहीं बदलते। / Dividing every term by (3) gives \(x^2-4x+4=0\). Dividing by a common nonzero factor does not change the roots.
((x+2)2=x-2+4x+4) है, इसलिए सरल रूप \(x^2+3x-4=0\) है। कोष्ठक खोलते समय हर पद लिखें। / ((x+2)2=x-2+4x+4), so the simplified form is \(x^2+3x-4=0\). Write every term while opening brackets.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\) है। परीक्षा में मूलों को जोड़ने से पहले समान मूल बनाएं। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\). In exams make radicals like terms before adding.
समान (x) पद कट जाते हैं और मान \(2\sqrt{2}\) बचता है। परीक्षा में बीजीय सरलीकरण में संख्या के प्रकार से भ्रमित न हों। / The like (x) terms cancel and the value left is \(2\sqrt{2}\). In exams do not be confused by the type of number during algebraic simplification.
सरलीकरण के बाद हर में (7) बचता है, इसलिए दशमलव अनवसानी आवर्ती होगा। परीक्षा में केवल मूल हर देखकर निर्णय न लें। / After simplification, (7) remains in the denominator, so the decimal is non-terminating recurring. In exams do not decide only from the original denominator.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\) है। परीक्षा में समान करणी काट सकते हैं। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\). In exams common radical factors can be cancelled.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए अंतर \(\sqrt{3}\) है। परीक्षा में पहले सरलीकरण करें। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so the difference is \(\sqrt{3}\). Simplify first in exams.
A. \(3\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{2}\), irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\) इसलिए \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और किसी गैर‑शून्य परिमेय संख्या (जैसे 3) से गुणा करने पर संख्या अपरिमेय रहती है, अतः \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। विकल्प (D) \(2\sqrt{2}\) गलत है क्योंकि वह गलत जोड़ से मिला हुआ परिणाम है; विकल्प (C) और (B) भी गलत हैं क्योंकि अलग‑अलग घातमूलों को सीधे जोड़कर \(\sqrt{10}\) या 10 नहीं बना सकते। परीक्षा टिप: समान प्रकार के घातमूल (like radicals) पहले पहचानें और फिर जोड़ें। / Since \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\), we have \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Because \(\sqrt{2}\) is irrational and multiplying an irrational number by a nonzero rational (like 3) yields an irrational number, \(3\sqrt{2}\) is irrational. Option D (\(2\sqrt{2}\)) is the nearest distractor but is a wrong simplification; options C and B are incorrect because you cannot combine different radicals by placing them under one square root (\(\sqrt{2}+\sqrt{8}\neq\sqrt{10}\)) or obtain 10 by simple addition. Exam tip: always combine like radicals first and do not try to add under a single radical unless algebraically valid.
सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\) है। हर को सरल करते समय पूरा पद विभाजित करें। / By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\). Divide the whole expression carefully while simplifying.
किसी द्विघात बहुपद ax-2+bx+c के शून्यकों का गुणनफल \/\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\/\) होता है। यहाँ a=\sqrt{3} और c=2\sqrt{3} हैं, अतः \(\alpha\beta=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\)। विकल्प B (\(\sqrt{3}\)) गलत है — यह तब होगा जब c या a को गलत मान लिया जाए या द्विघात का गुणनफल निकालते समय वर्गमूल को गलत तरीके से संक्षेपित किया जाए। परिक्षा-टिप: हमेशा सीधे \(\frac{c}{a}\) का उपयोग करें और वर्गमूलों को सरल करते समय समान कारकों को काटें। / For a quadratic ax-2+bx+c the product of zeroes is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here a=\(\sqrt{3}\) and c=\(2\sqrt{3}\), so \(\alpha\beta=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\). Option B (\(\sqrt{3}\)) is incorrect — it results from mishandling the radical cancellation or using wrong coefficients. Exam tip: Use \(\frac{c}{a}\) directly and cancel common radical factors carefully to avoid mistakes.
यदि हम \(\sqrt{6}+2\) का वर्ग लें तो \((\sqrt{6}+2)^2=6+4+4\sqrt{6}=10+4\sqrt{6}\)। क्योंकि \(\sqrt{96}=\sqrt{16\cdot6}=4\sqrt{6}\), अतः \((\sqrt{6}+2)^2=10+\sqrt{96}\) और इसलिए \(\sqrt{10+\sqrt{96}}=\sqrt{6}+2\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \((2-\sqrt{6})^2=10-\sqrt{96}\) होगा (क्रॉस-टर्म का चिह्न विपरीत)। विकल्प C का वर्ग \((\sqrt{8}+\sqrt{2})^2=8+2+2\sqrt{16}=18\) है, जो मेल नहीं खाता। विकल्प D स्पष्ट रूप से बहुत बड़ा है और उसका वर्ग मूल अभिव्यक्ति से मेल नहीं खाता। परीक्षण सुझाव: अगर अंदर का सदिश रूप \(a+2\sqrt{b}+b\) जैसा दिखे तो उसे \(\sqrt{b}+\sqrt{a}\) के रूप में परखें — क्रॉस-टर्म से मिलान करें। / Square \(\sqrt{6}+2\): \((\sqrt{6}+2)^2=6+4+4\sqrt{6}=10+4\sqrt{6}\). Since \(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), we get \((\sqrt{6}+2)^2=10+\sqrt{96}\), so \(\sqrt{10+\sqrt{96}}=\sqrt{6}+2\). Option B gives the wrong sign in the cross-term (\((2-\sqrt{6})^2=10-\sqrt{96}\)). Option C squares to 18, not the given expression. Option D is not equal to the required simplified value. Exam tip: look for representation \(\sqrt{m}+\sqrt{n}\) so that \((\sqrt{m}+\sqrt{n})^2=m+n+2\sqrt{mn}\) matches the given form; match the cross-term to identify m and n.
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) और \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\) है। इसलिए \(4\sqrt{7}+4\sqrt{7}-5\sqrt{7}=3\sqrt{7}\) है। / \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) and \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\). Thus \(4\sqrt{7}+4\sqrt{7}-5\sqrt{7}=3\sqrt{7}\).
पहले \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) लिखें। तब \((\sqrt{20}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}\)। इसका वर्ग \((\sqrt{5})^2=5\) होता है। वैकल्पिक रूप से बाइनोम का सूत्र \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\) लागू करें: \(20+5-2\sqrt{20}\sqrt{5}=25-20=5\)। विकल्प B (15) इसीलिए गलत है क्योंकि उसने मध्यवर्ती पद \(-2ab\) को हटाकर सिर्फ \(20-5\) कर लिया। विकल्प C \(\sqrt{15}\) यह मानकर हुआ कि \((\sqrt{20}-\sqrt{5})^2=\sqrt{20-5}\), जो गलत है। परीक्षा-सुझाव: सर्वदा पहले सरड्स को सरल करें (जैसे \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)) और बाइनोम का नियम याद रखें। / Write \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). Then \((\sqrt{20}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}\), and its square is \((\sqrt{5})^2=5\). Using the binomial formula \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\) gives \(20+5-2\sqrt{20}\sqrt{5}=25-20=5\). Option B (15) arises from wrongly doing \(20-5\) and ignoring the middle term; option C (\(\sqrt{15}\)) mistakes squaring for taking a square root of the difference. Exam tip: simplify surds first, then apply the formula for \((a-b)^2\).
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) इसलिए \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) होता है। असमान जड़ \(\sqrt{5}\) अलग रहती है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\). The unlike root \(\sqrt{5}\) remains separate.
हर वर्गमूल को अपने सरल स्वरूप में लिखें: \sqrt{12}=2\sqrt{3}, \sqrt{27}=3\sqrt{3}, \sqrt{75}=5\sqrt{3}, \sqrt{48}=4\sqrt{3}. इन्हें जोड़ने/घटाने पर 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3} मिलता है। विकल्प B या C तब गलत होते हैं जब किसी पद को गलत तरीके से घटा या जोड़ लिया गया हो; विकल्प D \(\sqrt{66}\) इस तरह के पदों का परिणाम नहीं हो सकता क्योंकि विभिन्न गुणकों वाले समान आधार वाले वर्गमूलों को पहले गुणक रूप में लाकर जोड़ा जाता है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक \sqrt{n} में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें फिर समान तरह के पद जोड़ें। / Write each radical in simplest form: \sqrt{12}=2\sqrt{3}, \sqrt{27}=3\sqrt{3}, \sqrt{75}=5\sqrt{3}, \sqrt{48}=4\sqrt{3}. Adding and subtracting gives 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}, so A is correct. Options B and C reflect common arithmetic mistakes in combining coefficients; option D \(\sqrt{66}\) is not possible here because you must combine like radicals (same radicand) after simplifying. Exam tip: factor out perfect square factors first, then combine like radical terms by adding their coefficients.
