Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल (10!) व्यवस्थाओं में तीन निश्चित प्रतिनिधियों के (3!) सापेक्ष क्रम समान रूप से संभव हैं। इसलिए केवल एक क्रम लिया जाएगा। / Among total (10!) arrangements, the (3!) relative orders of the three particular delegates are equally likely. Hence only one order is counted.
विषम स्थानों (1,3,5) में (4) विषम अंकों में से (3) क्रम सहित रखें। फिर बचे अंकों से सम स्थानों को भरें। / Place (3) of the (4) odd digits in positions (1,3,5) in order. Then fill the even positions from the remaining digits.
पहले ऐसे (5) अंकों के समूह चुनें जिनका योग (9) से विभाज्य हो, फिर (5!) क्रम लगाएँ। विभाज्यता के प्रश्न में अंकों के योग से शुरुआत करें। / First choose (5)-digit sets whose sum is divisible by (9), then arrange each set in (5!) ways. Start divisibility problems with the digit sum.
दो निश्चित अक्षरों के स्थान ((1,4)) या ((2,5)) हो सकते हैं और उनका आपसी क्रम (2!) तरीकों से होगा। शेष (3) अक्षर (3!) तरीकों से सजेंगे। / The two particular letters can occupy positions ((1,4)) or ((2,5)), and their internal order has (2!) ways. The remaining (3) letters are arranged in (3!) ways.
अलग पुरस्कारों के लिए क्रमशः (7,6,5) विकल्प हैं। अलग पुरस्कारों में क्रम का महत्व होता है। / The distinct prizes have (7,6,5) choices respectively. Order matters when prizes are different.
(A) के साथ (C,D,E,F) में से (3) अक्षर चुनें और (4!) क्रम लगाएँ। शामिल और बाहर वाली शर्तों को पहले लागू करें। / Choose (3) letters from (C,D,E,F) along with (A), then arrange the (4) letters in (4!) ways. Apply inclusion and exclusion restrictions first.
पहले गणित की पुस्तकें (4!) तरीकों से रखें और बने (5) खाली स्थानों में (3) अंग्रेजी पुस्तकें क्रम सहित रखें। अलग-अलग रखने में खाली स्थान विधि उपयोगी है। / First arrange the mathematics books in (4!) ways, then place the (3) English books in (5) gaps with order. The gap method is useful for separation restrictions.
कुल (6) अक्षर हैं और (O) दो बार आया है, इसलिए संख्या \(\frac{6!}{2!}\) होगी। समान अक्षरों पर विभाजन करना न भूलें। / There are (6) letters with (O) repeated twice, so the count is \(\frac{6!}{2!}\). Do not forget to divide by repeated letters.
एक पुस्तक शेल्फ में (4) अलग गणित, (3) अलग रसायन और (2) अलग जीवविज्ञान की पुस्तकें हैं। यदि हर विषय की पुस्तकें साथ-साथ रखनी हों तो कुल व्यवस्थाएँ कितनी होंगी?
तीन विषयों के ब्लॉक (3!) तरीकों से और ब्लॉकों के भीतर पुस्तकें (4!3!2!) तरीकों से सजेंगी। साथ रखने में ब्लॉक विधि लगाएँ। / The three subject blocks can be arranged in (3!) ways and books inside blocks in (4!3!2!) ways. Use the block method for together conditions.
कुल \(^{9}P_{4}\) से उन व्यवस्थाओं को घटाएँ जिनमें दोनों निश्चित व्यक्ति साथ हों। साथ आने पर उन्हें ब्लॉक मानें। / Subtract arrangements where the two particular persons are together from \(^{9}P_{4}\). Treat the pair as a block when they are together.
अंतिम दो अंकों से (4) से विभाज्यता जाँचें और हर सही जोड़े के लिए बाकी (3) स्थान भरें। अंत के दो स्थान पहले तय करें। / Check divisibility by (4) using the last two digits and fill the remaining (3) places for each valid ending pair. Fix the last two places first.
पद अलग-अलग हैं इसलिए \(7 \times 6 \times 5\) तरीके होंगे। पदों में क्रम महत्वपूर्ण हो तो संयोजन नहीं लगाएँ। / The posts are distinct, so the number of ways is \(7 \times 6 \times 5\). Use arrangements, not combinations, when positions are different.
पहले (2) और (4) सहित (4) अंक चुनें और उनके आधे क्रमों में (4), (2) के बाएँ होगा। सममिति का उपयोग ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है। / Choose (4) digits including (2) and (4), and in half of their arrangements (4) is left of (2). Symmetry saves time here.
कुल (6!) क्रमों से उन क्रमों को घटाएँ जिनमें (A,I) साथ हों। साथ-साथ वाली शर्त में ब्लॉक बनाना उपयोगी है। / Subtract arrangements where (A,I) are together from total (6!). Treat together letters as one block for such conditions.
किसी विद्यालय के प्रवेश कूट में पहले (2) अलग अक्षर और फिर (3) अलग अंक लिखे जाते हैं। यदि अक्षर (A,B,C,D,E) से और अंक (1,2,3,4,5,6) से चुने जाएँ तो कुल कितने कूट बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(5 \times 4\) और अंकों के लिए \(6 \times 5 \times 4\) तरीके हैं। स्वतंत्र चरणों को गुणा करना मौलिक सिद्धांत है। / Letters can be chosen in \(5 \times 4\) ways and digits in \(6 \times 5 \times 4\) ways. Multiply independent stages by the fundamental principle.
इकाई स्थान (0) होने पर \(5 \times 4 \times 3 \times 2\) और इकाई (5) होने पर पहले स्थान के लिए (4) विकल्प मिलते हैं। दोनों मामलों को जोड़ना मुख्य कदम है। / If the units digit is (0), there are \(5 \times 4 \times 3 \times 2\) ways; if it is (5), the first digit has (4) choices. Add the two cases carefully.
इकाई स्थान पर (2) या (4) के लिए (2) विकल्प हैं और बाकी स्थानों के लिए \(4 \times 3 \times 2\) तरीके हैं। परीक्षा में अंतिम स्थान की शर्त पहले लगाएँ। / There are (2) choices for the units digit and \(4 \times 3 \times 2\) ways for the remaining places. In exams apply the last digit condition first.
एक सुरक्षा प्रश्न में (5) संकेत-चित्रों में से (3) क्रम से चुने जाते हैं। कोई चित्र दोहराया नहीं जाता और तारा चित्र चुना जाए तो वह दूसरे स्थान पर होना चाहिए। कुल उत्तर कितने होंगे?
तारा न चुने जाने पर \(4 \times 3 \times 2\) उत्तर हैं। तारा चुने जाने पर दूसरा स्थान निश्चित और बाकी \(4 \times 3\) विकल्प हैं। / If star is not chosen, there are \(4 \times 3 \times 2\) answers. If star is chosen, the second position is fixed and the other two positions have \(4 \times 3\) choices.
एक डिब्बे में (4) लाल, (3) नीली और (2) हरी गेंदें अलग-अलग हैं। क्रम सहित (3) गेंदें निकाली जाती हैं। पहली गेंद लाल नहीं और तीसरी गेंद हरी होनी चाहिए। बिना वापसी के कुल तरीके कितने हैं?
तीसरी गेंद के हरे होने को तय करके पहले स्थान की वैधता अलग देखें। पहली हरी या नीली होने पर बीच के विकल्प अलग होते हैं। / Fix the third ball as green and count first-place validity separately. The middle choices differ when the first ball is green or blue.
एक प्रतियोगिता में (8) छात्रों में से प्रथम, द्वितीय और तृतीय पुरस्कार दिए जाते हैं। दो विशेष छात्र दोनों पुरस्कार-सूची में साथ नहीं आ सकते। कुल पुरस्कार-वितरण कितने होंगे?
कुल \(8 \times 7 \times 6\) वितरण हैं। दोनों विशेष छात्र आने पर तीसरा स्थान (6) छात्रों में से और क्रम (3!) होगा। / Total assignments are \(8 \times 7 \times 6\). If both special students appear, choose the third from (6) students and arrange the (3) winners.
एक बैग कोड में (2) रंग और (1) आकार है। (5) रंगों में से रंग क्रम सहित चुने जाते हैं और दोहराए नहीं जाते। (4) आकार हैं। यदि हरा रंग चुना गया तो आकार गोल नहीं हो सकता। कुल कोड कितने होंगे?
कुल रंग-क्रम \(5 \times 4\) हैं। जिनमें हरा है वे (8) क्रम हैं और उनमें एक आकार घटता है। / Total ordered color choices are \(5 \times 4\). The (8) orders containing green lose one shape choice each.
हजारों स्थान (1,2,3) में से होगा और इकाई स्थान (1,3,5) में से विषम होगा। हजारों अंक विषम होने और न होने के मामले अलग करें। / The thousands digit is from (1,2,3), and the units digit is odd from (1,3,5). Separate cases according to whether the thousands digit is odd.
एक ऑनलाइन टेस्ट में (6) सही-गलत प्रश्न हैं। उत्तर-पत्र में ठीक (4) उत्तर सही होने चाहिए और पहले प्रश्न का उत्तर सही होना चाहिए। कुल उत्तर-पत्र कितने होंगे?
एक दुकान में (4) प्रकार के पेन, (5) प्रकार की कॉपी और (3) प्रकार के कवर हैं। छात्र कम से कम एक वस्तु और अधिकतम एक वस्तु हर प्रकार से चुनता है। यदि पेन चुना गया तो कवर भी चुनना जरूरी है, तो कुल चयन कितने होंगे?
कॉपी के लिए (6) विकल्प हैं और कवर के लिए (4) विकल्प हैं। पेन न चुनने और पेन चुनने के वैध मामलों को अलग जोड़ें। / Notebook has (6) choices and cover has (4) choices including none. Add valid cases separately for no pen and for choosing a pen.
एक शब्दकोश क्रमांक में (3) स्थान हैं। हर स्थान पर (7) अक्षरों में से कोई भी आ सकता है। यदि कम से कम दो स्थानों पर एक ही अक्षर होना चाहिए, तो कुल क्रमांक कितने होंगे?
कुल \(7^3\) क्रमांक हैं। सभी अक्षर अलग होने वाले \(7 \times 6 \times 5\) क्रमांक घटाएँ। / Total indices are \(7^3\). Subtract the indices with all letters distinct, \(7 \times 6 \times 5\).
पहली-आखिरी विषय व्यवस्था दो प्रकार की है। गिनती (\(5 \times 4+4 \times 5\) \times 7!) होगी। / There are two subject patterns for the first and last positions. The count is (\(5 \times 4+4 \times 5\) \times 7!).
कुल (5P4) कोड (120) हैं। (P,Q) साथ होने पर ब्लॉक गिनकर (48) निषिद्ध कोड मिलते हैं। / Total (5P4) codes are (120). When (P,Q) are together, block counting gives (48) forbidden codes.
एक प्रश्न बैंक में (5) बीजगणित, (4) ज्यामिति और (3) गणना प्रश्न हैं। ठीक (3) प्रश्नों का सेट बनाना है जिसमें कम से कम एक बीजगणित और कम से कम एक ज्यामिति प्रश्न हो। कुल सेट कितने हैं?
पहले अंक के (5) विषम विकल्प और अंतिम के (5) सम विकल्प हैं। बीच के चार स्थान शेष (8) अंकों से क्रम में भरते हैं। / The first digit has (5) odd choices and the last has (5) even choices. The middle four positions are filled from the remaining (8) digits in order.
एक परीक्षा सीट कोड में पंक्ति (1) से (12), स्तंभ (1) से (8), और खंड (A,B,C) है। यदि खंड (C) में केवल सम पंक्ति संख्या मान्य है, तो कुल सीट कोड कितने होंगे?
खंड (A,B) के लिए \(2 \times 12 \times 8\) विकल्प हैं। खंड (C) के लिए \(6 \times 8\) विकल्प जोड़ें। / Blocks (A,B) give \(2 \times 12 \times 8\) choices. Block (C) adds \(6 \times 8\) choices.
