Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल \(3^6\) शब्द हैं, दो अक्षरों तक सीमित शब्द \(3\cdot2^6\) हैं और एक अक्षर वाले शब्द (3) बार वापस जोड़ते हैं। कुल (729-192+3=540) नहीं, सही गणना \(729-3\cdot2^6+3=540\) है। / Total words are \(3^6\), words missing at least one letter are handled by inclusion-exclusion. The correct count is \(729-3\cdot2^6+3=540\).
एक ऐप में उपयोगकर्ता को (3) सुरक्षा स्तरों में पास करना है। स्तरों में क्रमशः (2,4,5) विकल्प हैं। यदि दूसरे स्तर पर विशेष विकल्प चुनने पर तीसरे स्तर में (2) विकल्प कम हो जाते हैं, तो कुल मार्ग कितने हैं?
दूसरे स्तर का विशेष विकल्प \(2\times1\times3=6\) मार्ग देता है और बाकी (3) विकल्प \(2\times3\times5=30\) मार्ग देते हैं। कुल (36) है। / The special option at level two gives \(2\times1\times3=6\) paths and the other (3) choices give \(2\times3\times5=30\) paths. The total is (36).
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं और बाकी तीन स्थानों के लिए \(5^3\) विकल्प हैं। कुल \(4\times125=500\) है। / The first place has (4) choices and the remaining three places have \(5^3\) choices. The total is \(4\times125=500\).
एक डिब्बे पर (2) प्रतीक और (2) रंग क्रम सहित छापे जाते हैं। (6) प्रतीक और (5) रंग उपलब्ध हैं। दोनों प्रतीक अलग और दोनों रंग अलग होने चाहिए। कुल छपाई डिज़ाइन कितने हैं?
प्रतीकों के लिए \(6\times5\) और रंगों के लिए \(5\times4\) तरीके हैं। दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल (600) है। / Symbols can be chosen in \(6\times5\) ways and colors in \(5\times4\) ways. The choices are independent, so the total is (600).
सैकड़े के स्थान पर (4,5,6,7) के (4) विकल्प हैं। बाकी दोनों स्थानों के लिए \(7\times7\) तरीके हैं, कुल (196) है। / The hundreds place has (4) choices: (4,5,6,7). The remaining two places have \(7\times7\) ways, giving (196).
एक (5)-विकल्प वाले (6) प्रश्नों की परीक्षा में विद्यार्थी हर प्रश्न का उत्तर देता है। किसी भी लगातार दो प्रश्नों में वही विकल्प नहीं चुना जा सकता। उत्तर-पैटर्न कितने होंगे?
पहले प्रश्न के लिए (5) विकल्प और हर अगले प्रश्न के लिए पिछले से अलग (4) विकल्प हैं। लगातार प्रतिबंध में स्थान-दर-स्थान गिनती करें। / The first question has (5) choices and each next question has (4) choices different from the previous one. For consecutive restrictions, count position by position.
एक यात्रा योजना में (3) शहरों (A,B,C) की यात्रा करनी है। प्रत्येक शहर के लिए (2) होटल और (3) स्थानीय साधन उपलब्ध हैं। यदि शहरों का क्रम तय है, तो कुल योजनाएं कितनी हैं?
हर शहर के लिए \(2\times3=6\) विकल्प हैं। (3) स्वतंत्र शहरों के लिए \(6^3\) योजनाएं मिलती हैं। / Each city gives \(2\times3=6\) choices. For (3) independent cities, the number of plans is \(6^3\).
एक लाइब्रेरी शेल्फ में (5) गणित और (4) विज्ञान पुस्तकों में से एक-एक पुस्तक क्रम में रखनी है। यदि पहले स्थान पर गणित और दूसरे पर विज्ञान पुस्तक रखनी है, तो कितने क्रम बनेंगे?
पहले स्थान के लिए (5) और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं। निश्चित प्रकार के स्थानों में सीधा गुणन नियम लागू होता है। / There are (5) choices for the first place and (4) for the second. For fixed-type positions, apply the multiplication rule directly.
पहले अंक के लिए (9), बीच के (4) स्थानों के लिए \(10^4\), और अंतिम समान जोड़ी के लिए (10) तरीके हैं। कुल \(9\times10^4\times10=900000\) है। / There are (9) choices for the first digit, \(10^4\) for the middle (4) positions, and (10) for the equal last pair. The total is \(9\times10^4\times10=900000\).
पहले और अंतिम अक्षर के लिए (4) विकल्प हैं। दूसरे और तीसरे के लिए क्रमशः (3) और (3) विकल्प हैं, इसलिए \(4\times3\times3=36\) है। / There are (4) choices for the first and last letter. The second and third positions have (3) and (3) choices respectively, so the total is (36).
एक क्विज में (8) बहुविकल्पीय प्रश्न हैं और प्रत्येक में (4) विकल्प हैं। विद्यार्थी को ठीक (3) प्रश्नों में विकल्प (A) चुनना है। उत्तर-पत्र कितने प्रकार से भर सकता है?
पहले (A) वाले (3) प्रश्न \(\binom{8}{3}\) तरीकों से चुनें, फिर बाकी (5) प्रश्नों में (3) गैर-(A) विकल्प हैं। कुल \(\binom{8}{3}3^5\) है। / Choose the (3) questions with (A) in \(\binom{8}{3}\) ways, then each of the remaining (5) questions has (3) non-(A) choices. The total is \(\binom{8}{3}3^5\).
एक टीम जर्सी पर (2) रंगों की धारियां और (1) लोगो रंग चुनना है। (7) रंग उपलब्ध हैं। दोनों धारियों के रंग अलग हों और लोगो का रंग दोनों धारियों से अलग हो, तो कुल डिज़ाइन कितने हैं?
धारियां क्रम में मानी गई हैं, इसलिए \(7\times6\) तरीके हैं और लोगो के लिए (5) विकल्प हैं। कुल \(7\times6\times5=210\) है। / Stripes are considered ordered, so there are \(7\times6\) ways and (5) choices for the logo. The total is \(7\times6\times5=210\).
एक कार्ड पर (1) से (9) तक के अंकों से (4)-अंकीय संख्या बनानी है। अंक दोहराए नहीं जा सकते और संख्या (5) से बड़ी शुरुआत वाली होनी चाहिए। कितनी संख्याएं बनेंगी?
पहले अंक के लिए (6,7,8,9) यानी (4) विकल्प हैं। शेष स्थानों के लिए \(8\times7\times6\) तरीके हैं, इसलिए कुल (1344) है। / The first digit has (4) choices: (6,7,8,9). The remaining places have \(8\times7\times6\) ways, so the total is (1344).
किसी एक अक्षर की पुनरावृत्ति होगी, इसलिए दोहराए जाने वाला अक्षर (4) तरीकों से चुनेगा और स्थान (5!/2!) तरीकों से। कुल \(4\times60=240\) है। / One letter must repeat, so the repeated letter can be chosen in (4) ways and the positions arranged in (5!/2!) ways. The total is \(4\times60=240\).
एक (3)-स्तरीय सुरक्षा प्रणाली में पहली अवस्था में (4) विकल्प, दूसरी में (5) विकल्प और तीसरी में (6) विकल्प हैं। पर यदि पहली अवस्था का विकल्प (A) चुना जाता है, तो तीसरी अवस्था में केवल (2) विकल्प रहते हैं। कुल सुरक्षित मार्ग कितने हैं?
पहला विकल्प (A) होने पर \(1\times5\times2=10\) और बाकी (3) विकल्पों पर \(3\times5\times6=90\) मार्ग हैं। कुल (100) मार्ग हैं। / If the first option is (A), paths are \(1\times5\times2=10\); for the other (3) options, paths are \(3\times5\times6=90\). The total is (100).
पहले दो अंकों में कम से कम एक (5) के लिए \(10^2-9^2=19\) तरीके हैं और बाकी दो अंकों के लिए (100) तरीके हैं। अक्षरों के साथ कुल \(26\times25\times19\times100\) है। / For at least one (5) in the first two digits, there are \(10^2-9^2=19\) ways and (100) ways for the remaining two digits. With letters, the total is \(26\times25\times19\times100\).
एक छात्र को (4) अध्यायों में से हर अध्याय से (1) प्रश्न चुनना है। अध्यायों में प्रश्नों की संख्या क्रमशः (5,6,7,8) है। यदि दूसरे अध्याय का चुना प्रश्न कठिन नहीं होना चाहिए और उसमें (2) कठिन प्रश्न हैं, तो कुल चयन कितने हैं?
दूसरे अध्याय से (6-2=4) विकल्प मिलते हैं। कुल चयन \(5\times4\times7\times8=1120\) हैं। / The second chapter gives (6-2=4) choices. The total selections are \(5\times4\times7\times8=1120\).
एक तिजोरी कोड में (2) अक्षर और (3) अंक हैं। अक्षर दोहराए नहीं जा सकते और अंकों का योग सम होना चाहिए। अक्षरों के लिए (26) विकल्प हैं। ऐसे कोड कितने हैं?
(3) अंकों में सम योग के लिए (500) क्रमित त्रय होते हैं क्योंकि कुल (1000) में आधे सम योग देते हैं। अक्षरों के लिए \(26\times25\) से गुणा करें। / For (3) digits, (500) ordered triples have even sum because half of all (1000) triples give even sum. Multiply by \(26\times25\) for letters.
पहले तीन अंकों के लिए \(9\times9\times8\) तरीके हैं और अंतिम तीन के लिए \(10^3\) तरीके हैं। कुल \(9\times9\times8\times1000=648000\) है। / The first three digits can be chosen in \(9\times9\times8\) ways and the last three in \(10^3\) ways. The total is \(9\times9\times8\times1000=648000\).
एक ऑनलाइन फॉर्म में उपयोगकर्ता (2) वैकल्पिक भाषाओं में से कोई (1), (4) थीमों में से कोई (1) और (3) सुरक्षा प्रश्नों में से कोई (2) प्रश्न क्रम सहित चुनता है। कुल चयन कितने हैं?
भाषा और थीम के लिए \(2\times4\), और क्रम सहित सुरक्षा प्रश्नों के लिए \(3\times2\) तरीके हैं। कुल \(2\times4\times3\times2=48\) है। / Languages and themes give \(2\times4\), and ordered security questions give \(3\times2\) ways. The total is \(2\times4\times3\times2=48\).
कक्षा प्रतिनिधि चुनते समय (4) लड़के और (5) लड़कियां उपलब्ध हैं। एक अध्यक्ष और एक सचिव चुना जाना है, और दोनों पद अलग व्यक्तियों को मिलने चाहिए। यदि अध्यक्ष लड़की होनी चाहिए, तो कितने तरीके हैं?
अध्यक्ष के लिए (5) विकल्प हैं और सचिव के लिए शेष (8) विकल्प हैं। पद अलग हों तो क्रम महत्वपूर्ण होता है। / There are (5) choices for president and (8) remaining choices for secretary. When posts are different, order matters.
एक पुस्तक कोड में (3) अलग-अलग व्यंजन और (2) अलग-अलग अंक हैं। कोड का पहला चिन्ह व्यंजन और अंतिम चिन्ह अंक है। अंग्रेजी में (21) व्यंजन माने जाएं। कुल कोड कितने बनेंगे?
क्रम पहले से तय है, इसलिए (21,20,19,10,9) विकल्प क्रमशः मिलते हैं। अलग-अलग की शर्त में हर चयन के बाद विकल्प घटते हैं। / The order is fixed, so the choices are (21,20,19,10,9) respectively. With distinctness, choices decrease after each selection.
किसी प्रतियोगिता में प्रतिभागी को (5) प्रश्नों में से प्रत्येक पर सही या गलत लिखना है। कम से कम (1) उत्तर सही होना चाहिए। संभावित उत्तर-पैटर्न कितने हैं?
कुल पैटर्न \(2^5\) हैं और सभी गलत वाला (1) पैटर्न हटेगा। कम से कम के लिए अक्सर पूरक विधि तेज होती है। / Total patterns are \(2^5\), and the one pattern with all false is removed. For at least conditions, the complement method is often faster.
अंतिम अंक (0) हो तो \(9\times8\times7\) तरीके और अंतिम अंक (2,4,6,8) हो तो \(4\times8\times8\times7\) तरीके हैं। कुल (504+1792=2296) है। / If the last digit is (0), there are \(9\times8\times7\) ways; if it is (2,4,6,8), there are \(4\times8\times8\times7\) ways. The total is (504+1792=2296).
एक छात्र (6) दिनों की पढ़ाई योजना बनाता है। हर दिन गणित, भौतिकी या रसायन में से एक विषय पढ़ता है, पर लगातार दो दिन वही विषय नहीं पढ़ता। योजनाओं की संख्या कितनी है?
पहले दिन (3) विकल्प हैं और अगले प्रत्येक दिन पिछले से अलग (2) विकल्प हैं। लगातार शर्त में पहले स्थान के बाद विकल्प घट जाते हैं। / The first day has (3) choices and each later day has (2) choices different from the previous day. With consecutive restrictions, choices reduce after the first position.
एक परीक्षा कोड में (2) बड़े अक्षर, (1) छोटा अक्षर और (2) अंक इसी क्रम में हैं। बड़े अक्षर अलग होने चाहिए, छोटे अक्षर पर कोई रोक नहीं है और अंक दोहराए जा सकते हैं। कुल कोड कितने होंगे?
बड़े अक्षरों के लिए \(26\times25\), छोटे अक्षर के लिए (26), और अंकों के लिए \(10^2\) तरीके हैं। क्रम तय हो तो प्रत्येक स्थान की स्वतंत्र पसंद गुणा होती है। / There are \(26\times25\) ways for uppercase letters, (26) for the lowercase letter, and \(10^2\) for digits. When positions are fixed, multiply independent choices.
एक रेस्टोरेंट में (3) प्रकार की रोटी, (5) सब्जियां और (4) मिठाइयां हैं। ग्राहक या तो एक पूरी थाली चुनता है या केवल एक मिठाई चुनता है। कुल विकल्प कितने हैं?
पूरी थाली के लिए \(3\times5\times4=60\) तरीके हैं और केवल मिठाई के लिए (4) तरीके हैं। जब विकल्प या से जुड़े हों, तो जोड़ नियम लगाएं। / A full plate can be chosen in \(3\times5\times4=60\) ways and only dessert in (4) ways. When choices are connected by either-or, use the addition rule.
पहला स्थान सम या विषम होने के अनुसार मामले बनते हैं: \(4\binom{4}{1}5\cdot5^3+5\binom{4}{2}5^2\cdot5^2=34000\)। ऐसी शर्तों में केस बनाना सबसे सुरक्षित है। / Split cases according to whether the first position is even or odd: \(4\binom{4}{1}5\cdot5^3+5\binom{4}{2}5^2\cdot5^2=34000\). Case division is safest for such restrictions.
अक्षरों के लिए \(26^4\) तरीके हैं और अंकों के लिए \(9\times9\) तरीके हैं। प्रतिबंध पहले अंक पर है, इसलिए उसे अलग से गिनें। / There are \(26^4\) ways for the letters and \(9\times9\) ways for the digits. Count the restricted first digit separately.
स्वरों के लिए \(5\times4\) और अंकों के लिए \(10\times9\times8\) तरीके हैं। परीक्षा में हर स्वतंत्र चरण को गुणा करें। / Vowels can be chosen in \(5\times4\) ways and digits in \(10\times9\times8\) ways. In exams, multiply the choices of independent stages.
