Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(6!) और \(5!=5\cdot4!\) रखने पर मान \( \frac{5}{7} \) आता है। गुणन में छोटे फैक्टोरियल काटना आसान होता है। / Using (6!) and \(5!=5\cdot4!\), the value becomes \( \frac{5}{7} \). In products, cancel smaller factorials carefully.
\(15!=15\cdot14\cdot13!\), इसलिए \( \frac{15\cdot14}{2}=105 \) है। पहले सामान्य भाग हटाएं। / \(15!=15\cdot14\cdot13!\), so \( \frac{15\cdot14}{2}=105 \). Remove the common part first.
((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), इसलिए उत्तर ((n+3)(n+2)) है। बड़ी फैक्टोरियल को छोटी फैक्टोरियल तक फैलाएं। / ((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), so the answer is ((n+3)(n+2)). Expand the larger factorial up to the smaller one.
(9!) को \(9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!\) लिखकर (4!) से भाग देने पर (126) मिलता है। यह संयोजन में आने वाला सामान्य रूप है। / Writing (9!) as \(9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!\) and dividing by (4!) gives (126). This is a common form in combinations.
यह (n(n-1)=90) देता है, इसलिए (n=10) है। लगातार दो संख्याओं का गुणनफल पहचानें। / It gives (n(n-1)=90), so (n=10). Identify the product of two consecutive numbers.
\(12!=12\cdot11\cdot10!\) और (3!=6), इसलिए मान (22) है। हर में मौजूद फैक्टोरियल को पहले काटें। / \(12!=12\cdot11\cdot10!\) and (3!=6), so the value is (22). Cancel the denominator factorial first.
\(7!+6!=7\cdot6!+6!=8\cdot6!\), इसलिए मान (8) है। जोड़ में भी सामान्य फैक्टोरियल निकालें। / \(7!+6!=7\cdot6!+6!=8\cdot6!\), so the value is (8). Take common factorials even in sums.
यह (n(n+1)=42) देता है, इसलिए (n=6) है। फैक्टोरियल अनुपात को लगातार गुणनफल में बदलें। / It gives (n(n+1)=42), so (n=6). Convert factorial ratios into consecutive products.
\(11!=11\cdot10\cdot9!\) और (2!=2), इसलिए मान (55) है। पहले विस्तार करके फिर कटौती करें। / \(11!=11\cdot10\cdot9!\) and (2!=2), so the value is (55). Expand first and then cancel.
\(8!=8\cdot7\cdot6!\), इसलिए मान (56) है। परीक्षा में समान फैक्टोरियल भाग पहले काटें। / Since \(8!=8\cdot7\cdot6!\), the value is (56). In exams, cancel the common factorial part first.
एक डिलीवरी कोड में पहले (3) स्थानों पर (8) उपलब्ध अक्षरों में से अलग-अलग अक्षर और अंतिम (3) स्थानों पर अंक (0) से (9) तक लिखे जाते हैं। यदि अंतिम (3) अंकों में ठीक (1) बार (0) आना चाहिए, तो कुल कोड कितने होंगे?
अक्षरों के लिए \(8\times7\times6\) तरीके हैं और (0) का स्थान (3) तरीकों से चुनेगा। बाकी दो अंकों के लिए \(9^2\) विकल्प हैं। / The letters can be chosen in \(8\times7\times6\) ways and the position of (0) can be chosen in (3) ways. The remaining two digits have \(9^2\) choices.
एक खेल टूर्नामेंट में (6) खिलाड़ियों में से स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक विजेता चुने जाने हैं। यदि खिलाड़ी (A) को कोई पदक नहीं मिलना चाहिए, तो कुल परिणाम कितने हैं?
खिलाड़ी (A) को हटाने पर (5) खिलाड़ी बचते हैं और पदक क्रम में अलग हैं। परिणाम \(5\times4\times3=60\) हैं। / After excluding player (A), (5) players remain and medals are ordered distinct positions. The outcomes are \(5\times4\times3=60\).
एक अंक दो बार आएगा और बाकी एक-एक बार आएंगे। दोहरने वाला अंक (4) तरीकों से और व्यवस्थाएं (5!/2!) तरीकों से हैं, कुल (240) है। / One digit appears twice and the others appear once each. The repeated digit has (4) choices and arrangements are (5!/2!), giving (240).
एक फोटो-फिल्टर ऐप में (5) फ्रेम, (6) प्रभाव और (4) टेक्स्ट-स्टाइल हैं। यदि (2) प्रीमियम प्रभाव केवल (2) टेक्स्ट-स्टाइल के साथ उपलब्ध हैं और बाकी प्रभाव सभी (4) टेक्स्ट-स्टाइल के साथ उपलब्ध हैं, तो कुल संयोजन कितने हैं?
प्रीमियम प्रभावों से \(5\times2\times2=20\) और बाकी प्रभावों से \(5\times4\times4=80\) संयोजन हैं। कुल (100) है। / Premium effects give \(5\times2\times2=20\) combinations and the remaining effects give \(5\times4\times4=80\). The total is (100).
एक पासवर्ड में (3) छोटे अक्षर और (1) विशेष चिन्ह इसी क्रम में है। छोटे अक्षर दोहराए जा सकते हैं, पर विशेष चिन्ह (4) विकल्पों में से चुना जाता है। यदि पहला अक्षर स्वर नहीं हो सकता, तो कुल पासवर्ड कितने हैं?
पहले अक्षर के लिए (21) व्यंजन विकल्प हैं, अगले दो अक्षरों के लिए \(26^2\) विकल्प और विशेष चिन्ह के लिए (4) विकल्प हैं। कुल \(21\cdot26^2\cdot4\) है। / The first letter has (21) consonant choices, the next two letters have \(26^2\) choices, and the special symbol has (4) choices. The total is \(21\cdot26^2\cdot4\).
हजार स्थान पर (1) या (2) के (2) विकल्प हैं। बाकी (3) स्थानों के लिए \(5\times4\times3\) तरीके हैं, इसलिए कुल (120) है। / The thousands place has (2) choices: (1) or (2). The remaining (3) places have \(5\times4\times3\) ways, so the total is (120).
एक ट्रेन टिकट में (1) कोच प्रकार, (1) सीट प्रकार और (1) भोजन विकल्प चुनना है। विकल्प क्रमशः (4,3,5) हैं। यदि स्लीपर कोच में भोजन विकल्प केवल (2) हैं और बाकी (3) कोचों में सभी (5) विकल्प हैं, तो कुल टिकट संयोजन कितने हैं?
स्लीपर के लिए \(1\times3\times2=6\) और बाकी कोचों के लिए \(3\times3\times5=45\) तरीके हैं। कुल (51) है। / Sleeper gives \(1\times3\times2=6\) ways and the other coaches give \(3\times3\times5=45\) ways. The total is (51).
एक नाम-पट्टिका पर (2) अलग प्रतीक और (3) अलग अक्षर लगाने हैं। (5) प्रतीक और (8) अक्षर उपलब्ध हैं। यदि पहले दोनों स्थान प्रतीकों के और अगले तीन अक्षरों के हैं, तो कुल नाम-पट्टिकाएं कितनी हैं?
प्रतीकों के लिए \(5\times4\) और अक्षरों के लिए \(8\times7\times6\) तरीके हैं। कुल \(5\times4\times8\times7\times6=6720\) है। / Symbols can be arranged in \(5\times4\) ways and letters in \(8\times7\times6\) ways. The total is \(5\times4\times8\times7\times6=6720\).
एक (5)-स्टेप ऑनलाइन प्रक्रिया में प्रत्येक स्टेप पर (3) विकल्प हैं। लगातार कोई भी दो स्टेप समान विकल्प नहीं ले सकते और पहला विकल्प (1) तय है। कुल प्रक्रियाएं कितनी हैं?
पहला स्टेप तय है और अगले (4) स्टेपों में हर बार (2) विकल्प हैं। कुल \(2^4=16\) प्रक्रियाएं हैं। / The first step is fixed, and each of the next (4) steps has (2) choices. The total number of processes is \(2^4=16\).
पहला उत्तर असत्य तय है, इसलिए बाकी (5) में से (4) सत्य चुनने हैं। संख्या \(\binom{5}{4}=5\) है। / The first answer is fixed as false, so (4) true answers must be chosen from the remaining (5). The count is \(\binom{5}{4}=5\).
अंतिम अंक (3,5,7) में से (3) तरीकों से चुनेगा। बाकी स्थानों के लिए \(5\times4\times3\) तरीके हैं, कुल (180) है। / The last digit can be chosen from (3,5,7) in (3) ways. The remaining places have \(5\times4\times3\) ways, giving (180).
एक डिजिटल घड़ी ऐप में उपयोगकर्ता (7) फॉन्ट और (6) रंगों में से चुनता है। यदि (2) विशेष फॉन्ट केवल (3) रंगों के साथ उपलब्ध हैं और बाकी फॉन्ट सभी रंगों के साथ उपलब्ध हैं, तो कुल संयोजन कितने हैं?
विशेष फॉन्ट से \(2\times3=6\) और बाकी फॉन्ट से \(5\times6=30\) संयोजन हैं। कुल (36) है। / Special fonts give \(2\times3=6\) combinations and the remaining fonts give \(5\times6=30\). The total is (36).
कुल \(5^5\) संकेतों से (P) या (Q) न आने वाले संकेत हटाएं। संख्या \(5^5-2\cdot4^5+3^5=1406\) है। / Subtract signals missing (P) or missing (Q) from all \(5^5\) signals. The count is \(5^5-2\cdot4^5+3^5=1406\).
एक प्रश्नपत्र में (3) खंड हैं। विद्यार्थी को पहले खंड से (2) प्रश्न क्रम सहित, दूसरे से (1) प्रश्न और तीसरे से (1) प्रश्न चुनना है। खंडों में प्रश्नों की संख्या (5,6,4) है। कुल तरीके कितने हैं?
पहले खंड से क्रम सहित \(5\times4\) तरीके हैं। कुल \(5\times4\times6\times4=480\) है। / The first section gives \(5\times4\) ordered choices. The total is \(5\times4\times6\times4=480\).
पहले समान जोड़े के लिए (9) विकल्प हैं और अंतिम (4) अलग अंकों के लिए \(10\times9\times8\times7\) तरीके हैं। कुल \(9\times10\times9\times8\times7=45360\) है। / The first equal pair has (9) choices, and the last (4) distinct digits have \(10\times9\times8\times7\) ways. The total is \(9\times10\times9\times8\times7=45360\).
एक कोर्स पंजीकरण में छात्र (3) मुख्य विषयों में से (1), (4) वैकल्पिक विषयों में से (2) क्रम सहित और (2) क्लबों में से (1) चुनता है। कुल पंजीकरण कितने हैं?
मुख्य विषय के (3), क्रम सहित वैकल्पिक विषयों के \(4\times3\), और क्लब के (2) विकल्प हैं। कुल \(3\times4\times3\times2=72\) है। / There are (3) choices for the core subject, \(4\times3\) ordered choices for electives, and (2) choices for the club. The total is \(3\times4\times3\times2=72\).
पहली पट्टी के लिए (8) विकल्प और अगली दोनों पट्टियों के लिए (7) विकल्प हैं। कुल \(8\times7\times7=392\) नहीं, क्योंकि तीसरी पट्टी दूसरी से अलग होकर पहली जैसी हो सकती है, इसलिए सही (392) है। / The first strip has (8) choices and each of the next two strips has (7) choices. The third may match the first but not the second, so the correct count is \(8\times7\times7=392\).
(6) के स्थान \(\binom{4}{2}\) तरीकों से चुनें और बाकी (2) स्थानों पर \(5^2\) विकल्प हैं। कुल \(\binom{4}{2}5^2=150\) है। / Choose the positions of (6) in \(\binom{4}{2}\) ways, and the remaining (2) positions have \(5^2\) choices. The total is \(\binom{4}{2}5^2=150\).
यदि पहला अंक (7) है तो \(9^4\) तरीके हैं और यदि (7) बाकी (4) स्थानों में है तो \(4\times8\times9^3\) तरीके हैं। कुल (6561+23328=29889) नहीं, सही कुल \(9^4+4\cdot8\cdot9^3=29889\) है। / If the first digit is (7), there are \(9^4\) ways; if (7) is in one of the other (4) places, there are \(4\times8\times9^3\) ways. The total is \(9^4+4\cdot8\cdot9^3=29889\).
एक परीक्षा पोर्टल में (4) खंड हैं। पहले (3) खंडों में क्रमशः (5,4,6) प्रश्न हैं और चौथे खंड में (3) कठिन तथा (2) आसान प्रश्न हैं। यदि हर खंड से (1) प्रश्न चुनना है और चौथे से आसान प्रश्न ही चुनना है, तो कुल चयन कितने हैं?
चौथे खंड से केवल (2) विकल्प हैं। कुल चयन \(5\times4\times6\times2=240\) होंगे। / Only (2) choices are available from the fourth section. The total selections are \(5\times4\times6\times2=240\).
