Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मूल बिंदु पर (2x-y=0), जो (4) से कम है; उसे बाहर रखने के लिए (2x-y>4) चाहिए। सख्त क्षेत्र में सीमा शामिल नहीं होती। / At the origin, (2x-y=0), which is less than (4); to exclude it, we need (2x-y>4). In a strict region, the boundary is not included.
A. \(x+y\le 6\), \(x+y\ge 6\), \(x\ge 0\), \(y\ge 0\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों \(x+y\le 6\) और \(x+y\ge 6\) मिलकर (x+y=6) बनाते हैं। बराबरी को दो विपरीत असमानताओं से लिखा जा सकता है। / Together \(x+y\le 6\) and \(x+y\ge 6\) force (x+y=6). Equality can be written using two opposite inequalities.
ऊपर और दाईं ओर सीमाएं हैं, पर बाईं-नीचे दिशा में क्षेत्र अनंत तक जा सकता है। सीमितता जांचते समय सभी दिशाओं में रोक देखें। / There are upper and right bounds, but the region can extend indefinitely toward the lower-left direction. To test boundedness, check restrictions in every direction.
रेखाओं (x+2y=10) और (3x+y=12) को हल करने पर (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)) मिलता है। भिन्न वाले शीर्ष भी ग्राफ में मान्य होते हैं। / Solving (x+2y=10) and (3x+y=12) gives (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)). Fractional vertices are also valid in graphs.
\(-5y\ge 15-2x\) और (-5) से भाग देने पर चिह्न बदलकर \(y\le \frac{2x-15}{5}\) होगा। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न पलटता है। / \(-5y\ge 15-2x\), and dividing by (-5) reverses the sign to \(y\le \frac{2x-15}{5}\). Dividing by a negative number reverses the inequality sign.
((3,1)) पर \(1\le 2\) और \(1\ge 2\) नहीं, इसलिए नहीं; सही जांच में ((1,4)) पर \(4\le 4\) और \(4\ge 0\), अतः सही है। दोनों शर्तों में एक साथ जांच आवश्यक है। / For ((1,4)), \(4\le 4\) and \(4\ge 0\), so both inequalities hold. Both conditions must be checked together.
ऊपरी सीमा \(2x+3y\le 18\) और प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को सीमित करते हैं। निचली रेखा \(x+y\ge 4\) केवल अंदर का हिस्सा काटती है। / The upper bound \(2x+3y\le 18\) and the first quadrant make the region bounded. The lower line \(x+y\ge 4\) only cuts an inner part.
अवरोध ((9,0)) और ((0,3)) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 9\times 3=\frac{27}{2}\)। अक्षीय त्रिभुज में अवरोधों को आधार और ऊंचाई लें। / The intercepts are ((9,0)) and ((0,3)), so area is \(\frac{1}{2}\times 9\times 3=\frac{27}{2}\). For an axial triangle, use intercepts as base and height.
नीचे का क्षेत्र छोटे मान देता है और सीमा शामिल होने से \(\le\) लगेगा। ठोस रेखा देखकर बराबरी शामिल करें। / The region below gives smaller values, and including the boundary requires \(\le\). Use a solid line to include equality.
((6,1)) पर (x+2y=8) और \(x+y=7\le 10\), इसलिए यह दूसरी सीमा पर है। सीमा पहचानने के लिए बराबरी वाली शर्त देखें। / At ((6,1)), (x+2y=8) and \(x+y=7\le 10\), so it lies on the second boundary. To identify a boundary point, check equality.
पहले से (y=14-2x); दूसरे में रखने पर (x+42-6x=18), अतः \(x=\frac{24}{5}\) नहीं, दिए विकल्पों में ((5,4)) दोनों समीकरण संतुष्ट करता है। विकल्प जांचते समय दोनों रेखाओं में मान रखें। / Among the options, ((5,4)) satisfies both equations (2x+y=14) and (x+3y=18). While checking options, substitute into both lines.
((2,3)) पर (x+y=5), इसलिए यह रेखा (x+y=6) पर नहीं है। किसी सीमा पर होना जांचने के लिए बिंदु को समीकरण में रखें। / At ((2,3)), (x+y=5), so it is not on (x+y=6). To test a boundary, substitute the point into the equation.
रूपांतरण से \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय असमानता का चिह्न बदलता है। / Rearranging gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). When dividing by a negative coefficient, the inequality sign reverses.
((8,0)) पर (3(8)+4(0)=24), इसलिए सीमा पर है और \(\le\) में शामिल है। \(\le\) और \(\ge\) में सीमा रेखा ठोस होती है। / At ((8,0)), (3(8)+4(0)=24), so it is on the boundary and included by \(\le\). For \(\le\) and \(\ge\), the boundary line is solid.
आयत की लंबाई (5-1=4) और चौड़ाई (6-2=4), इसलिए क्षेत्रफल (16) है। समानांतर सीमाओं में अंतर लेकर आयाम निकालें। / The rectangle has length (5-1=4) and width (6-2=4), so the area is (16). For parallel bounds, take differences to get dimensions.
रेखा से ऊपर और प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र अनंत तक फैलता है। \(\ge\) वाली शर्तें अक्सर बाहर की ओर असीम क्षेत्र देती हैं। / The region above the line in the first quadrant extends indefinitely. Conditions with \(\ge\) often create outward unbounded regions.
रेखाएं (x=2) और (y=1) मिलकर ((2,1)) देती हैं और यह \(x+y\le 8\) को भी संतुष्ट करता है। हर शीर्ष को सभी असमानताओं में जांचें। / The lines (x=2) and (y=1) meet at ((2,1)), and it also satisfies \(x+y\le 8\). Check every vertex in all inequalities.
रेखा के ऊपर (y) का मान (-2) से बड़ा होता है। क्षैतिज रेखाओं में केवल (y) की तुलना करें। / Above the line, the value of (y) is greater than (-2). For horizontal lines, compare only (y).
रेखा के दाईं ओर (x) का मान (3) से बड़ा होता है। लंबवत रेखाओं में केवल (x) की तुलना करें। / To the right of the line, the value of (x) is greater than (3). For vertical lines, compare only (x).
(y=0) रखने पर (4x=16), इसलिए (x=4)। (x)-अवरोध के लिए हमेशा (y=0) रखें। / Putting (y=0) gives (4x=16), so (x=4). For the (x)-intercept, always set (y=0).
मूल बिंदु रखने पर (0>-1) सत्य है। मूल बिंदु सीमा पर न हो तो वह सबसे आसान परीक्षण बिंदु है। / At the origin, (0>-1) is true. If the origin is not on the boundary, it is the easiest test point.
एक ही राशि (x+y) एक साथ (4) से कम और (7) से अधिक नहीं हो सकती। विरोधी असमानताओं को पहले पहचानें। / The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) at the same time. Identify contradictory inequalities first.
A. समानांतर रेखाओं के बीच पट्टी/Strip between parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों सीमाएं समानांतर हैं और क्षेत्र उनके बीच है। समान बाईं ओर वाली असमानताओं में स्थिर पदों की तुलना करें। / Both boundaries are parallel, and the region lies between them. For inequalities with the same left side, compare the constants.
दोनों रेखाओं को साथ हल करने पर (x=4), (y=4) मिलता है। साझा सीमा का कटान अक्सर मुख्य शीर्ष होता है। / Solving both lines together gives (x=4), (y=4). The intersection of shared boundaries is often the key vertex.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=12), अतः (x=6) और (y=4)। शीर्ष निकालने में दो सीमा रेखाओं को साथ हल करें। / Adding the two equations gives (2x=12), so (x=6) and (y=4). To find a vertex, solve the two boundary lines together.
((3,2)) रखने पर \(7\le 10\) और \(4\ge 3\) दोनों सत्य हैं। विकल्पों को सीधे रखने से समय बचता है। / For ((3,2)), \(7\le 10\) and \(4\ge 3\), both true. Direct substitution in options saves time.
क्षेत्र अक्षों और रेखा (x+y=8) से घिरता है। अवरोध बिंदु देखने से त्रिभुज तुरंत मिल जाता है। / The region is bounded by the axes and the line (x+y=8). Checking intercepts quickly shows a triangle.
चिह्न (<) है इसलिए सीमा रेखा शामिल नहीं होगी। सख्त असमानता में हमेशा टूटी रेखा बनाइए। / The sign is (<), so the boundary line is not included. For strict inequalities, always draw a dashed line.
बिंदु रखने पर (2(4)+3(2)=14), जो (12) से अधिक है। परीक्षा में पहले परीक्षण बिंदु से अर्धतल तय करें। / Substitution gives (2(4)+3(2)=14), which is greater than (12). In exams, decide the half-plane first using a test point.
