(x=3) का अर्थ है कि x का केवल एक मान 3 है। इसलिए संख्या रेखा पर 3 पर भरा बिंदु बनाया जाता है। खाली वृत्त सामान्यतः उन मानों के लिए होता है जो शामिल नहीं होते, जैसे x > 3 या x < 3 में सीमा बिंदु। किरणें असमिकाओं के अनेक हलों को दर्शाती हैं। परीक्षा टिप: '=' के लिए केवल संबंधित संख्या पर बिंदु लगाएँ। / (x=3) means that x has exactly one value, 3. Therefore, it is shown by a closed point at 3 on the number line. An open circle is usually used for an excluded boundary value, such as in x > 3 or x < 3. Rays represent inequalities with many solutions. Exam tip: for '=', mark only the stated number with a point.
(-6) शामिल है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (1) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक आएगा। कोष्ठक देखकर सीमा तय करें। / (-6) is included so a square bracket is used, and (1) is not included so a parenthesis is used. Read brackets to decide endpoints.
A. (4) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (4) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\([4,\infty\)) में (4) शामिल है और आगे सभी बड़ी संख्याएँ हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण सही है। / The interval \([4,\infty\)) includes (4) and all larger numbers. Hence a closed circle with a right ray is correct.
खाली वृत्त का अर्थ है कि उस बिंदु का मान हल में शामिल नहीं है। चूँकि छायांकन 2 और 6 के बीच है तथा दोनों सिरों पर खाली वृत्त हैं, इसलिए \(x\), 2 से बड़ा और 6 से छोटा होगा: \(2<x<6\)। विकल्प C और D में एक सिरा शामिल किया गया है, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: खाली वृत्त के लिए \(<\) या \(>\) तथा भरे वृत्त के लिए \(\le\) या \(\ge\) का प्रयोग करें। / An open circle means that endpoint is not included in the solution set. Since the shading lies between 2 and 6 and both endpoints are open, \(x\) must be greater than 2 and less than 6: \(2<x<6\). Options C and D include one endpoint, so they are incorrect. Exam tip: use \(<\) or \(>\) for an open circle, and \(\le\) or \(\ge\) for a filled circle.
B. (9) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (9) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त दाईं किरण के साथ बनेगा। / The sign \(\ge\) includes the boundary and greater numbers lie to the right. So a closed circle with a right ray is drawn.
चिह्न (<) छोटी संख्याओं को दिखाता है और छोटी संख्याएँ संख्या रेखा पर बाईं ओर होती हैं। दिशा पहचानना पहला कदम है। / The sign (<) shows smaller numbers, and smaller numbers are on the left of the number line. Identifying direction is the first step.
असमानता \(x>-7\) में केवल वे मान लिए जाते हैं जो \(-7\) से बड़े हैं; \(-7\) स्वयं इसमें शामिल नहीं है। इसलिए संख्या रेखा पर \(-7\) पर खाली वृत्त बनाया जाता है और रेखा दाईं ओर बढ़ती है। \(0\) और \(7\) समाधान क्षेत्र में हैं, इसलिए वे खुले सीमा-बिंदु नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(>\) या \(<\) के लिए सीमा पर खुला वृत्त, जबकि \(\ge\) या \(\le\) के लिए भरा वृत्त बनता है। / In \(x>-7\), the solution consists of values greater than \(-7\), but \(-7\) itself is not included. Therefore, an open circle is drawn at \(-7\), and the ray extends to the right. Although \(0\) and \(7\) satisfy the inequality, they are not boundary points. Exam tip: use an open circle for \(>\) or \(<\), and a closed circle for \(\ge\) or \(\le\).
अंतराल \([0,5]\) में वर्ग कोष्ठक 0 और 5, दोनों सिरों के शामिल होने को दर्शाते हैं। इसलिए \(x\) का मान 0 से कम नहीं और 5 से अधिक नहीं होगा, अर्थात \(0\le x\le 5\)। विकल्प C में 5 शामिल नहीं है, इसलिए वह \([0,5]\) के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्ग कोष्ठक के लिए \(\le\) और गोल कोष्ठक के लिए \(<\) याद रखें। / In the interval \([0,5]\), square brackets show that both endpoints, 0 and 5, are included. Hence, \(x\) is not less than 0 and not greater than 5, so \(0\le x\le 5\). In option C, 5 is excluded, so it does not represent \([0,5]\). Exam tip: use \(\le\) for square brackets and \(<\) for round brackets.
B. दोनों सिरों पर खाली वृत्त होंगे/Both endpoints have open circles
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक का अर्थ है कि सीमा संख्या शामिल नहीं है। इसलिए (-4) और (3) दोनों पर खाली वृत्त होंगे। / Parentheses mean that boundary numbers are not included. Thus both (-4) and (3) have open circles.
\(x\le 4\) में (4) शामिल है इसलिए (4) पर वर्ग कोष्ठक आएगा। छोटी संख्याएँ \(-\infty\) की ओर जाती हैं। / In \(x\le 4\), (4) is included so a square bracket is used at (4). Smaller numbers extend toward \(-\infty\).
भरा वृत्त (-5) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\ge -5\) सही है। / The closed circle includes (-5), and the right side has greater numbers. Therefore \(x\ge -5\) is correct.
(1) शामिल नहीं है और (8) शामिल है। इसलिए बायाँ सिरा खुला और दायाँ सिरा बंद होगा। / (1) is not included and (8) is included. So the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
([-3,2)) में (-3) शामिल है पर (2) शामिल नहीं है। खुला सिरा उसी संख्या पर बनेगा जो शामिल नहीं है। / In ([-3,2)), (-3) is included but (2) is not. The open endpoint is placed at the number not included.
खाली वृत्त सीमा को हटाता है और बाईं किरण छोटी संख्याएँ दिखाती है। इसलिए असमता (x<6) है। / The open circle excludes the boundary and the left ray shows smaller numbers. Hence the inequality is (x<6).
B. (0) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (0) and ray right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) में (0) शामिल है और उससे बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण बनती है। / The sign \(\ge\) includes (0), and greater numbers are to the right. So it is a closed circle with a right ray.
(x<5) में (5) शामिल नहीं है इसलिए (5) पर गोल कोष्ठक आता है। अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाएँ। / In (x<5), (5) is not included so a parenthesis is used at (5). Always use a parenthesis with infinity.
B. (2) पर खाली वृत्त और (7) पर भरा वृत्त/Open circle at (2) and closed circle at (7)
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक वाली सीमा शामिल नहीं होती और वर्ग कोष्ठक वाली सीमा शामिल होती है। इसलिए (2) खुला और (7) बंद होगा। / A parenthesis endpoint is not included and a square bracket endpoint is included. Therefore (2) is open and (7) is closed.
दोनों भरे वृत्त बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। बीच का भाग संयुक्त असमता देता है। / Both closed circles show that both endpoints are included. The shaded middle part gives a compound inequality.
B. (-2) पर भरा वृत्त और बाईं ओर छायांकन/Closed circle at (-2) and shading left
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\le\) में (-2) शामिल है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। सीमा शामिल हो तो भरा वृत्त बनाइए। / The sign \(\le\) includes (-2) and smaller numbers lie to the left. Use a closed circle when the endpoint is included.
A. (3) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (3) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में सीमा संख्या शामिल नहीं होती इसलिए खाली वृत्त बनता है। परीक्षा में दिशा हमेशा बड़ी संख्याओं की ओर देखें। / The sign (>) does not include the boundary so an open circle is used. In exams check the direction toward greater numbers.
दोनों भाग हल करने पर \(x\le 11\) और \(x>1\) मिलता है। इसलिए संयुक्त हल \(1<x\le 11\) है। / Solving both parts gives \(x\le 11\) and \(x>1\). Therefore the combined solution is \(1<x\le 11\).
हर हटाने पर \(4x-22\le 1\) मिलता है, इसलिए \(x\le \frac{23}{4}\)। भिन्नों वाली असमानता में पहले लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें। / Clearing denominators gives \(4x-22\le 1\), so \(x\le \frac{23}{4}\). In fractional inequalities, multiply by the LCM first.
हरों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करें; इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा। तब \(24x+24-2(2x-3)<3(5x+6)\), अर्थात \(20x+30<15x+18\)। इससे \(5x<-12\), अतः \(x<-\frac{12}{5}\)। क्योंकि मूल असमानता सख्त है, \(x=-\frac{12}{5}\) हल में शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न उलटता है। / Multiply both sides by the positive number 6 to clear the denominators, so the inequality sign remains unchanged: \(24x+24-2(2x-3)<3(5x+6)\). This simplifies to \(20x+30<15x+18\), giving \(5x<-12\), and hence \(x<-\frac{12}{5}\). Since the original inequality is strict, \(x=-\frac{12}{5}\) is not included. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर \(8-(3x-1)\ge 2(x+5)\) मिलता है। अर्थात \(9-3x\ge 2x+10\), इसलिए \(-1\ge 5x\)। 5 से भाग देने पर \(x\le -\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(-\frac{1}{5}\) को शामिल नहीं किया गया है, जबकि मूल असमानता में \(\ge\) है। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of the inequality by the positive number 4 gives \(8-(3x-1)\ge 2(x+5)\). Thus, \(9-3x\ge 2x+10\), so \(-1\ge 5x\). Dividing by 5 gives \(x\le -\frac{1}{5}\). Option B excludes \(-\frac{1}{5}\), but the original inequality contains \(\ge\). Exam tip: the inequality sign does not reverse when multiplying or dividing by a positive number.
युग्म असमानता को दो भागों में हल करें। \(-5<2-\frac{x}{3}\) से \(-7<-\frac{x}{3}\) मिलता है; \(-3\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<21\)। दूसरे भाग \(2-\frac{x}{3}\le4\) से \(-\frac{x}{3}\le2\) और \(x\ge-6\) मिलता है। दोनों शर्तों का उभयनिष्ठ हल \(-6\le x<21\) है। विकल्प C में दोनों सिरों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Solve the compound inequality in two parts. From \(-5<2-\frac{x}{3}\), we get \(-7<-\frac{x}{3}\); multiplying by \(-3\) reverses the inequality, giving \(x<21\). From \(2-\frac{x}{3}\le4\), we get \(-\frac{x}{3}\le2\), hence \(x\ge-6\). Their common solution is \(-6\le x<21\). Option C has the endpoint signs reversed. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 6 लेकर असमानता को 6 से गुणा करने पर \(3(x-1)+2(x-2)+(x-3)\ge 24\) मिलता है। सरल करने पर \(6x-10\ge 24\), अर्थात \(6x\ge 34\) और इसलिए \(x\ge \frac{17}{3}\)। विकल्प \(x>\frac{17}{3}\) गलत है क्योंकि समानता के समय \(x=\frac{17}{3}\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: \(\ge\) या \(\le\) वाली असमानता में सीमा मान को शामिल करना न भूलें। / Using the LCM of the denominators, 6, multiply the inequality by 6 to get \(3(x-1)+2(x-2)+(x-3)\ge 24\). This simplifies to \(6x-10\ge 24\), so \(6x\ge 34\), giving \(x\ge \frac{17}{3}\). The option \(x>\frac{17}{3}\) is incorrect because the boundary value \(x=\frac{17}{3}\) also satisfies the inequality. Exam tip: Include the boundary value when the inequality sign is \(\ge\) or \(\le\).
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3(1-x)-2(4-3x)=3-3x-8+6x=3x-5\) मिलता है। अतः \(3x-5>5x-10\), यानी \(5>2x\)। 2 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x<\frac{5}{2}\) प्राप्त होता है। \(x\le \frac{5}{2}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय \(-2\) को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। / Simplifying the left-hand side gives \(3(1-x)-2(4-3x)=3-3x-8+6x=3x-5\). Thus, \(3x-5>5x-10\), which gives \(5>2x\). Since 2 is positive, dividing both sides by 2 does not reverse the inequality sign, so \(x<\frac{5}{2}\). The option \(x\le \frac{5}{2}\) is incorrect because equality is not included in the original inequality. Exam tip: while expanding brackets, multiply \(-2\) by every term in the second bracket.
7 और 3 दोनों धनात्मक हैं, इसलिए असमानता का चिह्न बदले बिना दोनों पक्षों को 21 से गुणा किया जा सकता है: \(3(2x+1)\ge 7(x-5)\)। अतः \(6x+3\ge 7x-35\), जिससे \(38\ge x\), अर्थात \(x\le 38\) मिलता है। \(x<38\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(x=38\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए 38 भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Since 7 and 3 are positive, multiply both sides by 21 without reversing the inequality sign: \(3(2x+1)\ge 7(x-5)\). Thus, \(6x+3\ge 7x-35\), which gives \(38\ge x\), or \(x\le 38\). The close distractor \(x<38\) is incorrect because at \(x=38\), both sides are equal, so 38 is included. Exam tip: An inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले, \(7-4x<3(2-x)\) से \(7-4x<6-3x\), अतः \(x>1\) प्राप्त होता है। दूसरे भाग, \(3(2-x)\le12\), से \(6-3x\le12\), इसलिए \(x\ge-2\) मिलता है। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(x>1\) है, इसलिए विकल्प D सही है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक संख्या से भाग देने या गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / From the first part, \(7-4x<3(2-x)\) becomes \(7-4x<6-3x\), which gives \(x>1\). The second part, \(3(2-x)\le12\), becomes \(6-3x\le12\), giving \(x\ge-2\). The intersection of these two conditions is \(x>1\), so option D is correct. Remember to reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
पहली असमानता से \(x\ge 4\) और दूसरी से (x<3) मिलता है। दोनों शर्तें साथ में पूरी नहीं हो सकतीं। / The first inequality gives \(x\ge 4\), and the second gives (x<3). Both conditions cannot hold together.
