Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
( -10 ) बाहर है और ( -4 ) अंदर है। छोटे से बड़े क्रम में अंतराल लिखना जरूरी है। / ( -10 ) is excluded and ( -4 ) is included. It is important to write intervals from smaller to larger values.
A. (3) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छायांकन/Open dot at (3) with shading to the right
Explanation
Simple Explanation
असमानता को हल करने पर 2x - 7 > -1 मिलता है, इसलिए 2x > 6 और x > 3। अतः सीमा बिंदु 3 होगा। चूँकि असमानता का चिह्न > है, 3 को हलों में शामिल नहीं किया जाता, इसलिए वहाँ खुला बिंदु बनेगा। x के 3 से बड़े सभी मान दाईं ओर होते हैं, इसलिए दाईं ओर छायांकन किया जाएगा। परीक्षा-युक्ति: > या < के लिए खुला बिंदु और ≥ या ≤ के लिए बंद बिंदु लगाएँ। / Solving the inequality gives 2x - 7 > -1, so 2x > 6 and x > 3. Therefore, the boundary point is 3. Since the inequality sign is >, 3 is not included in the solution set, so an open dot is used. All numbers greater than 3 lie to the right of 3, so the shading extends to the right. Exam tip: use an open dot for > or < and a closed dot for ≥ or ≤.
A. ( 1 ) खुला, ( 4 ) बंद, ( 6 ) खुला, ( 9 ) खुला, दोनों अंतरालों में छाया/( 1 ) open, ( 4 ) closed, ( 6 ) open, ( 9 ) open, both intervals shaded
Explanation
Simple Explanation
संघ में दोनों अलग-अलग अंतराल छायांकित होते हैं। हर अंतराल के अपने खुले या बंद सिरे अलग से देखें। / In a union, both separate intervals are shaded. Check the open or closed endpoints of each interval separately.
C. \( x\ge 3 \), ( 3 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge 3 \), closed at ( 3 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \( -2x\le -6 \), इसलिए \( x\ge 3 \)। ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह पलटता है। / Solving gives \( -2x\le -6 \), so \( x\ge 3 \). Dividing by a negative reverses the inequality sign.
दोनों बंद सिरे \( \le \) के साथ लिखे जाते हैं। भिन्नों की स्थिति संख्या रेखा पर क्रम से लगाएं। / Both closed endpoints are written with \( \le \). Place fractions on the number line in their correct order.
कोई संख्या एक साथ ( -1 ) से छोटी या बराबर और ( 3 ) से बड़ी नहीं हो सकती। ( और ) में दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लें। \(/ No number can be both ( \le -1 ) and ( >3 ) at the same time. For AND, take the intersection of the conditions.\)
B. ( 6 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/Closed dot at ( 6 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
( 6 ) शामिल है और उससे छोटे सभी मान शामिल हैं। \( -\infty \) दिशा बताता है, कोई वास्तविक बिंदु नहीं। / ( 6 ) is included and all smaller values are included. \( -\infty \) indicates direction, not a real endpoint.
हल करने पर \( -2\le 2x<10 \), इसलिए \( -1\le x<5 \)। सीमा चिह्नों को अंत तक सुरक्षित रखें। / Solving gives \( -2\le 2x<10 \), so \( -1\le x<5 \). Preserve endpoint signs throughout the solution.
बंद बिंदु \( \frac{3}{2} \) को शामिल करता है और बाईं छाया छोटे मान दिखाती है। भिन्न सीमा को भी सामान्य सीमा की तरह पढ़ें। / The closed dot includes \( \frac{3}{2} \), and left shading shows smaller values. Read fractional boundaries like ordinary boundaries.
B. ( -2 ) और ( 4 ) पर बंद बिंदु, बाहर की ओर छाया/Closed at ( -2 ) and ( 4 ), shaded outside
Explanation
Simple Explanation
( (-2,4) ) का पूरक ( \(-\infty,-2]\cup[4,\infty\) ) है। पूरक लेते समय खुले सिरे बंद हो जाते हैं। / The complement of ( (-2,4) ) is ( \(-\infty,-2]\cup[4,\infty\) ). When taking a complement, open endpoints become closed.
A. \( x\le -4 \), बंद बिंदु ( -4 ), बाईं ओर छाया/\( x\le -4 \), closed at ( -4 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से \( 2x\le -8 \), अतः \( x\le -4 \)। \( \le \) सीमा बिंदु को शामिल करता है। / Simplification gives \( 2x\le -8 \), so \( x\le -4 \). The sign \( \le \) includes the boundary point.
निम्नलिखित में से किस समुच्चय का संख्या रेखा पर निरूपण दो अलग-अलग किरणों के रूप में होता है और इसलिए उसे एक ही रैखिक असमता से व्यक्त नहीं किया जा सकता?
\(x\le -1\text{ or }x>2\) में संख्या रेखा पर \(-1\) तक बाईं ओर एक किरण तथा \(2\) के बाद दाईं ओर दूसरी किरण मिलती है। इनके बीच \((-1,2]\) का भाग समाधान में नहीं है, इसलिए यह एक असंबद्ध समुच्चय है। एक ही रैखिक असमता का समाधान सामान्यतः एक ही किरण (अर्ध-अनंत अंतराल) देता है। विकल्प A, B और C प्रत्येक केवल एक किरण दर्शाते हैं। परीक्षा टिप: “or” दिखे तो संख्या रेखा पर अलग-अलग भागों के संघ की जाँच करें। / For \(x\le -1\text{ or }x>2\), the number line contains one ray extending left from \(-1\) and another ray extending right from \(2\). The part \((-1,2]\) is excluded, so the solution set is disconnected. A single linear inequality normally gives one half-line on the number line. Options A, B, and C each represent only one ray. Exam tip: When you see “or”, check whether the solution is a union of separate parts.
हल करने पर \( 4\le x+4<14 \), इसलिए \( 0\le x<10 \)। सभी तीन भागों पर समान क्रिया करें। / Solving gives \( 4\le x+4<14 \), hence \( 0\le x<10 \). Apply the same operation to all three parts.
दोनों चिह्न ( < ) हैं इसलिए दोनों सीमा मान शामिल नहीं हैं। सख्त असमानता हमेशा खुला बिंदु देती है। / Both signs are ( < ), so both boundary values are excluded. A strict inequality always gives an open dot.
\( [0,\infty\) ) में ( 0 ) शामिल है और सभी बड़े मान शामिल हैं। \( \infty \) पर कभी बंद बिंदु नहीं लगाया जाता। / \( [0,\infty\) ) includes ( 0 ) and all larger values. Infinity never gets a closed endpoint.
A. ( x>-5 ), ( -5 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>-5 ), open at ( -5 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( -3x<15 ), इसलिए ( x>-5 ) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर दिशा पलटती है। / Solving gives ( -3x<15 ), so ( x>-5 ). Division by a negative reverses the direction.
A. ( -6 ) पर खुला बिंदु, ( 1 ) पर बंद बिंदु, बीच में छाया/Open at ( -6 ), closed at ( 1 ), shaded between
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक ( -6 ) को हटाता है और वर्ग कोष्ठक ( 1 ) को शामिल करता है। अंतराल चिन्हों को सीधे बिंदु के प्रकार से जोड़ें। / The round bracket excludes ( -6 ), and the square bracket includes ( 1 ). Connect interval brackets directly with dot types.
बाईं ओर छाया छोटे मान दिखाती है और बंद बिंदु बराबरी दिखाता है। दिशा और बिंदु के प्रकार को साथ पढ़ें। / Left shading shows smaller values, and a closed dot shows equality. Read the direction and dot type together.
A. ( 7 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/Closed dot at ( 7 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \( x\ge 7 \) आता है इसलिए ( 7 ) बंद रहेगा। \( \ge \) में सीमा बिंदु शामिल होता है। / Solving gives \( x\ge 7 \), so ( 7 ) is closed. A \( \ge \) sign includes the boundary point.
A. ( x<-3 ) या \( x\ge 4 \)/( x<-3 ) or \( x\ge 4 \)
Explanation
Simple Explanation
पहले भाग में ( -3 ) शामिल नहीं है और दूसरे भाग में ( 4 ) शामिल है। अलग-अलग छाया हो तो सामान्यतः ( या ) का उपयोग होता है। / The first part excludes ( -3 ), and the second part includes ( 4 ). Separate shaded regions usually indicate an OR statement.
B. \( x\le -4 \), ( -4 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le -4 \), closed at ( -4 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्या ( -2 ) से भाग देने पर चिन्ह पलटता है और \( x\le -4 \) मिलता है। ऋणात्मक से गुणा या भाग करते समय चिन्ह बदलना न भूलें। / Dividing by negative ( -2 ) reverses the sign and gives \( x\le -4 \). Do not forget to reverse the sign when multiplying or dividing by a negative.
A. ( 5 ) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/Open dot at ( 5 ) and shading to the left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( x<5 ) मिलता है इसलिए ( 5 ) खुला रहेगा और बाईं ओर छाया होगी। पहले सीमा मान निकालें फिर दिशा देखें। / Solving gives ( x<5 ), so ( 5 ) is open and the shading is leftward. First find the boundary point, then check direction.
( -2 ) शामिल नहीं है पर ( 6 ) शामिल है। खुले बिंदु के लिए सख्त असमानता रखें। / ( -2 ) is not included but ( 6 ) is included. Use a strict inequality for an open dot.
C. ( -7 ) और ( -1 ) पर बंद बिंदु, बीच में छाया/Closed dots at ( -7 ) and ( -1 ), shaded between
Explanation
Simple Explanation
दोनों ओर \( \le \) है इसलिए दोनों सिरों पर बंद बिंदु होंगे। संयुक्त असमानता में दोनों चिह्न अलग-अलग जांचें। / Both sides have \( \le \), so both endpoints are closed. In compound inequalities, check both signs separately.
खुला बिंदु ( 2 ) को हटाता है और दाईं दिशा बड़े मान दिखाती है। तीर की दिशा से असमानता का चिन्ह तय करें। / The open dot excludes ( 2 ) and the right arrow shows greater values. Use the arrow direction to decide the inequality sign.
बंद बिंदु ( -4 ) को शामिल करता है और खुला बिंदु ( 3 ) को नहीं। परीक्षा में खुले और बंद बिंदु पहले पहचानें। / The closed dot includes ( -4 ) and the open dot excludes ( 3 ). In exams, identify open and closed endpoints first.
B. \(x>\frac{11}{4}\), \(\frac{11}{4}\) पर खुला बिंदु और दाईं ओर/\(x>\frac{11}{4}\), open dot at \(\frac{11}{4}\) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(-2) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर (5-4x<-6), इसलिए \(x>\frac{11}{4}\)। परीक्षा में negative denominator हटाते समय inequality reverse करें। / Multiplying by (-2) reverses the sign to (5-4x<-6), so \(x>\frac{11}{4}\). In exams, reverse the inequality when removing a negative denominator.
हटाया गया भाग (-2) को हटाता है पर (4) को नहीं हटाता। परीक्षा में set difference में कौन-सा endpoint बचता है, यह अलग से जाँचें। / The removed part removes (-2) but does not remove (4). In exams, check separately which endpoint remains in set difference.
