Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदल जाता है। केवल तब समानता होगी जब दोनों संबंधित घटक समान हों। / Changing positions changes an ordered pair. Equality holds only when corresponding components are equal.
A. (A) से पहला घटक और (B) से दूसरा घटक वाले सभी युग्म/All pairs with first component from (A) and second component from (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में पहला स्थान (A) और दूसरा स्थान (B) से भरा जाता है। इसे \(A\cup B\) समझना आम गलती है। / In \(A\times B\), the first position is filled from (A) and the second from (B). Confusing it with \(A\cup B\) is a common mistake.
यदि (A) खाली नहीं है फिर भी कोई युग्म नहीं बना, तो (B) खाली होना चाहिए। कार्तीय गुणन खाली होने पर कम से कम एक समुच्चय खाली होता है। / If (A) is not empty and still no pair is formed, then (B) must be empty. If a Cartesian product is empty, at least one set is empty.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (12=3n(B)) और (n(B)=4)। अज्ञात संख्या निकालने के लिए भाग दें। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (12=3n(B)) and (n(B)=4). Divide to find the unknown count.
(n\(A\times A\)=n(A)n(A)=3\times 3=9)। समान समुच्चय के साथ भी गुणा ही किया जाता है। / (n\(A\times A\)=n(A)n(A)=3\times 3=9). Even with the same set, the counts are multiplied.
(A) का एकमात्र तत्व (0) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के सभी तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। एकल तत्व वाले समुच्चय में भी क्रम न बदलें। / The only element (0) of (A) stays in the first position and all elements of (B) come in the second position. Do not reverse order even for singleton sets.
((3,1)) में पहला घटक (3) है जो (A) में नहीं है। गलत विकल्प पहचानने के लिए पहले घटक की जांच पहले करें। / In ((3,1)), the first component (3) is not in (A). To find the wrong option, check the first component first.
((3,5)) में \(3\in A\) और \(5\in B\), इसलिए यह \(A\times B\) में है। बाकी विकल्पों में घटक का स्थान या सदस्यता गलत है। / In ((3,5)), \(3\in A\) and \(5\in B\), so it belongs to \(A\times B\). Other options have wrong position or membership.
(A) में (2) और (B) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 2=4\)। छोटी सूचियों में चाहें तो सभी युग्म लिखकर भी जांचें। / (A) has (2) elements and (B) has (2) elements, so \(2\times 2=4\). For small sets, you may also list all pairs to check.
((5,7)) का दूसरा घटक (7) है। परीक्षा में कोष्ठक के अंदर स्थान को ध्यान से पढ़ें। / The second component of ((5,7)) is (7). In exams, read the position inside the brackets carefully.
((5,7)) में पहला घटक (5) और दूसरा घटक (7) है। कार्तीय गुणन में पहला घटक पहले समुच्चय से आता है। / In ((5,7)), the first component is (5) and the second component is (7). In Cartesian product, the first component comes from the first set.
\(A\times B={(1,1),(1,2)}\) और \(B\times A={(1,1),(2,1)}\) हैं। केवल दिखने में समान संख्याएं होने से क्रम नहीं बदलता। / \(A\times B={(1,1),(1,2)}\) and \(B\times A={(1,1),(2,1)}\). Similar looking numbers do not remove the importance of order.
B. \(A\times B\) और \(B\times A\) सामान्यतः समान नहीं होते/\(A\times B\) and \(B\times A\) are generally not equal
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(A\times B\) सामान्यतः \(B\times A\) से अलग होता है। परीक्षा में उल्टा क्रम गलती कराता है। / Order matters in Cartesian product, so \(A\times B\) is generally different from \(B\times A\). Reversed order is a common exam mistake.
A. \(p\in A\) और \(q\in B\)/\(p\in A\) and \(q\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में क्रमित युग्म का पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होता है। इसी नियम से अधिकतर सदस्यता प्रश्न हल होते हैं। / In \(A\times B\), the first component of an ordered pair is from (A) and the second is from (B). This rule solves most membership questions.
A. हां, क्योंकि \(2\in A\) और \(3\in B\)/Yes, because \(2\in A\) and \(3\in B\)
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) में पहला घटक (2) है जो (A) में है और दूसरा (3) है जो (B) में है। सदस्यता जांचते समय दोनों स्थान अलग-अलग जांचें। / In ((2,3)), the first component (2) is in (A) and the second (3) is in (B). Check both positions separately for membership.
पहले घटक के लिए (A) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय पर विशेष ध्यान दें। / There is no element in (A) for the first component, so no ordered pair is formed. Pay special attention to the empty set.
कार्तीय गुणन में तत्वों की संख्या (n(A)n(B)) होती है। यहां \(4\times 5=20\), यही सही उत्तर है। / The number of elements in a Cartesian product is (n(A)n(B)). Here \(4\times 5=20\), so this is the correct answer.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए \(1\times 2=2\)। परीक्षा में पहले संख्या गिनें फिर गुणा करें। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so \(1\times 2=2\). In exams, count elements first and then multiply.
हर तत्व (A) से लेकर (B) के (3) के साथ युग्म बनाया जाता है। सूची बनाते समय पहला स्थान (A) का रखें। / Each element of (A) is paired with (3) from (B). While listing, keep the first position for (A).
A. (A) और (B) के सभी क्रमित युग्म/All ordered pairs of (A) and (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। परीक्षा में क्रमित युग्म का क्रम जरूर देखें। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). In exams, always check the order of the pair.
