Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times 2=6), इसलिए कुल (6) बिंदु मिलेंगे। कार्तीय गुणन को निर्देशांक बिंदुओं की तरह भी समझ सकते हैं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times 2=6), so there are (6) points. Cartesian product can also be understood as coordinate points.
(A) में (2) और (B) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 2=4\) विकल्प बनते हैं। वास्तविक जीवन के चुनाव भी कार्तीय गुणन से गिने जा सकते हैं। / (A) has (2) elements and (B) has (2) elements, so \(2\times 2=4\) options are formed. Real-life choices can also be counted by Cartesian product.
तीन समुच्चयों के गुणन में संख्या (n(A)n(B)n(C)) होती है, इसलिए \(2\times 1\times 2=4\)। यह क्रमित त्रिकों की गिनती है। / For the product of three sets, the count is (n(A)n(B)n(C)), so \(2\times 1\times 2=4\). This counts ordered triples.
A. \(A\times B={(0,1)}\) और \(B\times A={(1,0)}\)/\(A\times B={(0,1)}\) and \(B\times A={(1,0)}\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में (0) पहले और (1) दूसरे स्थान पर है, जबकि \(B\times A\) में क्रम उल्टा है। एक-एक तत्व होने पर भी क्रम महत्वपूर्ण रहता है। / In \(A\times B\), (0) is first and (1) is second, while in \(B\times A\) the order is reversed. Order remains important even with one element in each set.
B. नहीं, क्योंकि \(3\notin A\)/No, because \(3\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
((3,1)) का पहला घटक (3) है, लेकिन \(3\notin A\)। दूसरे घटक के सही होने से पूरा युग्म सही नहीं हो जाता। / The first component of ((3,1)) is (3), but \(3\notin A\). A correct second component alone does not make the whole pair correct.
पहला घटक (2) तय है और दूसरा घटक (B) के (2) तत्वों में से चुना जाएगा। इसलिए ऐसे (2) युग्म होंगे। / The first component (2) is fixed and the second component is chosen from the (2) elements of (B). Therefore, there are (2) such pairs.
दूसरा घटक (4) तय होने पर पहला घटक (A) के (3) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। निश्चित दूसरे घटक के साथ संख्या (n(A)) होती है। / When the second component (4) is fixed, the first component can be any of the (3) elements of (A). With a fixed second component, the count is (n(A)).
A. \((a,b)\in A\times B\Rightarrow a\in A,\ b\in B\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन की मूल शर्त है कि पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से हो। इस कथन को परिभाषा की तरह याद रखें। / The basic condition of Cartesian product is that the first component is from (A) and the second from (B). Remember this statement like a definition.
\(8=n(A)\times 2\), इसलिए (n(A)=4)। अज्ञात संख्या के लिए कुल युग्मों को ज्ञात संख्या से भाग दें। / \(8=n(A)\times 2\), so (n(A)=4). For an unknown count, divide the total pairs by the known count.
(A) का (a) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के दोनों तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। अक्षरों वाले प्रश्नों में भी नियम वही रहता है। / The element (a) of (A) stays in the first position and both elements of (B) come in the second position. The same rule works for letter elements too.
(n(Y)=3) और (n(X)=2), इसलिए (n\(Y\times X\)=3\times 2=6)। नाम बदलने पर भी वही गुणा नियम लागू होता है। / (n(Y)=3) and (n(X)=2), so (n\(Y\times X\)=3\times 2=6). The same multiplication rule applies even when set names change.
पहला घटक (1) तय होने पर दूसरा घटक (B) के (3) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। निश्चित पहले घटक के साथ युग्मों की संख्या (n(B)) होती है। / When the first component (1) is fixed, the second component can be any of the (3) elements of (B). With a fixed first component, the number of pairs is (n(B)).
पहला घटक पहले समुच्चय ({4,5}) से आता है, इसलिए (x) (4) या (5) हो सकता है। पहले और दूसरे घटक को न मिलाएं। / The first component comes from the first set ({4,5}), so (x) can be (4) or (5). Do not mix the first and second components.
दूसरा घटक दूसरे समुच्चय ({3}) से आता है, इसलिए (y=3)। घटक की स्थिति देखकर उत्तर निकालें। / The second component comes from the second set ({3}), so (y=3). Use the position of the component to find the answer.
\(A\times B\) में (A) के (1,2) पहले स्थान पर और (B) के (3,4) दूसरे स्थान पर आते हैं। पूरी सूची में \(2\times 2=4\) युग्म होने चाहिए। / In \(A\times B\), (1,2) from (A) come first and (3,4) from (B) come second. The full list should have \(2\times 2=4\) pairs.
कार्तीय गुणन में प्रत्येक (A) तत्व (B) के हर तत्व से जुड़ता है, इसलिए कुल संख्या (mn) होती है। गिनती वाले प्रश्न में जोड़ नहीं, गुणा करें। / In Cartesian product, each element of (A) pairs with every element of (B), so the total count is (mn). For counting questions, multiply, do not add.
A. ((a,b)) और ((b,a)) सामान्यतः अलग होते हैं/((a,b)) and ((b,a)) are generally different
Explanation
Simple Explanation
क्रमित युग्म में पहला और दूसरा स्थान अलग अर्थ रखते हैं। इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) को सामान्यतः समान न मानें। / The first and second positions in an ordered pair have different meanings. Therefore, do not generally treat ((a,b)) and ((b,a)) as equal.
क्रमित युग्म को ((a,b)) के रूप में लिखा जाता है, जबकि ({a,b}) समुच्चय है। परीक्षा में कोष्ठक और मध्यम कोष्ठक का अंतर पहचानें। / An ordered pair is written as ((a,b)), while ({a,b}) is a set. In exams, notice the difference between parentheses and braces.
दूसरे घटक के लिए (C) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन खाली होता है। / There is no element in (C) for the second component, so no ordered pair is formed. Cartesian product with an empty set is empty.
यदि (A) का हर तत्व (B) में है, तो \(A\times C\) का हर युग्म \(B\times C\) में भी होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में पहले घटक पर ध्यान दें। / If every element of (A) is in (B), then every pair of \(A\times C\) is also in \(B\times C\). In subset questions, focus on the first component.
((1,0)) में दोनों घटक (A) से हैं, इसलिए यह \(A\times A\) में होगा। \(A\times A\) में दोनों स्थानों पर (A) के तत्व आते हैं। / In ((1,0)), both components are from (A), so it belongs to \(A\times A\). In \(A\times A\), elements of (A) fill both positions.
((6,2)) में \(6\in A\) और \(2\in B\), इसलिए यह सही है। केवल दोनों संख्याएं मौजूद होना काफी नहीं, स्थान भी सही होना चाहिए। / In ((6,2)), \(6\in A\) and \(2\in B\), so it is correct. Having both numbers present is not enough; their positions must also be correct.
(A) के दोनों तत्व पहले स्थान पर और (B) का (0) दूसरे स्थान पर आता है। ऋणात्मक संख्या भी सामान्य तत्व की तरह ही प्रयोग होती है। / Both elements of (A) come in the first position and (0) from (B) comes in the second position. A negative number is used like any other element.
दोनों की संख्या (n(A)n(B)) होती है, इसलिए संख्याएं बराबर होती हैं। ध्यान रखें कि संख्या बराबर हो सकती है पर समुच्चय अलग हो सकते हैं। / Both counts are (n(A)n(B)), so the numbers are equal. Remember that counts may be equal even when the sets are different.
\(B\times A\) में पहला घटक (B) से (2) होगा और दूसरा घटक (A) से (1) या (2) होगा। क्रम बदलने से उत्तर बदलता है। / In \(B\times A\), the first component is (2) from (B) and the second is (1) or (2) from (A). Reversing the order changes the answer.
परिभाषा के अनुसार \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\)। सेट-बिल्डर रूप में घटकों का क्रम वही रखें। / By definition, \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\). In set-builder form, keep the order of components unchanged.
क्रमित युग्मों की समानता में पहले घटक बराबर और दूसरे घटक बराबर होते हैं। इसलिए (a=2) और (b=3)। / In equality of ordered pairs, first components are equal and second components are equal. Hence (a=2) and (b=3).
दोनों समुच्चय में एक-एक तत्व है, इसलिए केवल ((4,6)) बनेगा। एकल समुच्चयों का गुणन एक क्रमित युग्म देता है। / Both sets have one element each, so only ((4,6)) is formed. The product of singleton sets gives one ordered pair.
(B) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई दूसरा घटक नहीं मिल सकता। संख्या पूछी गई है, इसलिए उत्तर (0) है। / There is no element in (B), so no second component is available. Since the number is asked, the answer is (0).
\(A\times A\) में (A) का हर तत्व (A) के हर तत्व के साथ युग्म बनाता है। केवल समान घटक वाले युग्म लेना अधूरा उत्तर है। / In \(A\times A\), every element of (A) pairs with every element of (A). Taking only equal component pairs is incomplete.
