Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दोनों शून्यक का योग \((4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})=8\) है और गुणनफल \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9\) है. मोनिक द्विघात \(x^2+px+q\) में शून्यकों का योग \(-p\) होता है और गुणनफल \(q\) होता है. अतः \(-p=8\Rightarrow p=-8\) और \(q=9\). इसलिए विकल्प A सही है. विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ \(p\) का संकेत उल्टा दिया गया है; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि उनका गुणनफल \(q\) सही नहीं है. परीक्षा-सूत्र: मोनिक द्विघात के लिए "शून्यकों का योग = -p" और "गुणनफल = q" यानि सीधे \((x-\alpha)(x-\beta)\) का विस्तार करें. / The sum of the roots is \((4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})=8\) and their product is \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9\). For the monic quadratic \(x^2+px+q\), sum of roots = \(-p\) and product = \(q\). So \(-p=8\) gives \(p=-8\) and \(q=9\). Hence A is correct. Option B flips the sign of p, while C and D have the wrong product q. Exam tip: use sum = -p and product = q or expand \((x-\alpha)(x-\beta)\) to find coefficients quickly.
एकक बहुपद में स्थिर पद शून्यकों का गुणनफल होता है। यहाँ गुणनफल (\(a+\sqrt{b}\)\(a-\sqrt{b}\)=a-2-b) है। / In a monic polynomial, the constant term is the product of zeroes. Here the product is (\(a+\sqrt{b}\)\(a-\sqrt{b}\)=a-2-b).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ योग (10) और गुणनफल (25-6=19), इसलिए उत्तर \(\frac{10}{19}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the sum is (10) and product is (25-6=19), so the answer is \(\frac{10}{19}\).
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=4-7=-3\)। इसलिए (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=16+6=22)। / \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=4-7=-3\). Thus (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=16+6=22).
पहला चरण: वर्ग करके हटाएँ। \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2=2+5+2\sqrt{10}=7+2\sqrt{10}\). इसलिए \(x^2-7=2\sqrt{10}\). अब फिर से वर्ग करने पर \((x^2-7)^2=4\cdot10=40\), अर्थात् \(x^4-14x^2+49=40\) से \(x^4-14x^2+9=0\) मिलता है। अत:, विकल्प B सही है। विकल्प C (\(x^2-7=0\)) गलत है क्योंकि इससे \(2\sqrt{10}=0\) आना चाहिए जो असत्य है; विकल्प A और D के मध्य- पद का चिन्ह एवं मान गलत हैं। परीक्षा टिप: घने रैडिकल वाले पदों के लिए पहले वर्ग लें ताकि एक रैडिकल हटे, फिर आवश्यक होने पर दोबारा वर्ग करें; बहु-मानों के लिये समकक्ष रूपों (conjugates) पर विचार करें। / Remove radicals by squaring. Compute \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2=2+5+2\sqrt{10}=7+2\sqrt{10}\), so \(x^2-7=2\sqrt{10}\). Squaring again gives \((x^2-7)^2=40\), hence \(x^4-14x^2+49=40\) and therefore \(x^4-14x^2+9=0\). Thus option B is correct. Option C is wrong because it would force \(2\sqrt{10}=0\). Options A and D have incorrect signs/coefficients. Exam tip: for nested radicals square to eliminate them stepwise; using conjugates also helps find the minimal polynomial over Q.
दोनों व्यंजकों में समरूप भाग 3 और -√6 तथा √6 मौजूद हैं। जोड़ते समय ±√6 आपस में रद्द हो जाते हैं और केवल 3+3 बचता है, अतः \(a+b=6\)। विकल्प D (\(6+2\sqrt{6}\)) गलत है क्योंकि वहाँ पर वर्गमूलों को रद्द करने के बजाय जोड़ दिया गया है — यह अनुपस्थित करने का सामान्य त्रुटि है। परीक्षा सुझाव: समरूप पदों (like terms) को साथ जोड़ें और विशेषकर सह-प्रपंचों (conjugates) में √ के चिन्हों का ध्यान रखें। / Add like terms: the rational parts 3 and 3 sum to 6, while the irrational parts \(+\sqrt{6}\) and \(-\sqrt{6}\) cancel. Therefore \(a+b=6\). Distractor D (\(6+2\sqrt{6}\)) is a common mistake resulting from adding the square-root terms instead of canceling them. Exam tip: look for conjugates — the ±√ terms cancel when summed, leaving twice the rational part.
योग निकालें: \(a+b=(2-\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})=2+2=4\)। \(4\) एक पूर्णांक है और इसलिए परिमेय संख्या है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या में घनमूल जैसी अविभाज्यirrational भाग शेष रहता है, पर यहाँ \(\sqrt{5}\) आपस में कट गए। विकल्प C गलत है क्योंकि दोनों घटक वास्तविक संख्याएँ हैं, अतः उनका योग भी वास्तविक होगा। विकल्प D भी गलत है क्योंकि योग सकारात्मक \(4\) है, न कि नकारात्मक। परीक्षा टिप: अनुरूप (conjugate) रूपों में \(\sqrt{}\) वाले भाग अक्सर एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं — पहले संग्रहीत पदों को जोड़कर देखें। / Compute the sum: \(a+b=(2-\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})=2+2=4\). Since \(4\) is an integer, it is rational. Option B (irrational) is incorrect because the irrational parts \(-\sqrt{5}\) and \(+\sqrt{5}\) cancel out. Option C (non-real) is wrong because both terms are real numbers so their sum is real. Option D (always negative) is wrong because the sum is +4, not negative. Exam tip: Look for conjugate pairs — the radical parts often cancel when you add conjugates, leaving a rational result.
