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\(S_{10}=0\) से (2a+9d=0) और \(S_{20}=600\) से (d=6) मिलता है इसलिए (a=-27)। परीक्षा में शून्य योग को संबंध बनाने के लिए प्रयोग करें। / From \(S_{10}=0\), (2a+9d=0), and from \(S_{20}=600\), (d=6), so (a=-27). Exam tip: use the zero sum to form a relation.
\(0=\frac{25}{2}[192+24d]\) से (d=-8) मिलता है। परीक्षा में शून्य योग वाले प्रश्नों में कोष्ठक को शून्य रखें। / From \(0=\frac{25}{2}[192+24d]\), (d=-8). Exam tip: in zero-sum questions, set the bracket equal to zero.
(0=9[2a+17(4)]) से (a=-34) है। परीक्षा में शून्य योग में कोष्ठक को शून्य रखें। / From (0=9[2a+17(4)]), (a=-34). Exam tip: in zero-sum questions, set the bracket to zero.
\(\frac{41}{2}[2a-440]=0\) से (a=220) मिलता है। शून्य योग में कोष्ठक को शून्य रखकर हल करें। / From \(\frac{41}{2}[2a-440]=0\), (a=220). In a zero-sum question, set the bracket equal to zero.
A. रेखा सीमा के साथ दिशा भाव बनावट आयतन और रचना नियंत्रित करती है/Line controls boundary direction mood texture volume and composition
Explanation
Simple Explanation
रेखा दृश्य कला का बहुकार्य तत्व है। परीक्षा में इसे तकनीकी और अभिव्यक्तिपूर्ण दोनों रूप में समझें। / Line is a multifunctional element of visual art. In exams understand it as both technical and expressive.
अक्सूम इथियोपिया में स्तंभों राजसत्ता और प्रारंभिक ईसाई इतिहास से जुड़ा है। परीक्षा में अक्सूमाइट सभ्यता याद रखें। / Aksum in Ethiopia is linked with stelae kingship and early Christian history. For exams remember Aksumite civilization.
D. शाही उद्यान और परिदृश्य कला/Imperial garden and landscape art
Explanation
Simple Explanation
समर पैलेस चीनी शाही उद्यान कला का प्रसिद्ध उदाहरण है। परीक्षा में बीजिंग और उद्यान योजना याद रखें। / Summer Palace is a famous example of Chinese imperial garden art. For exams remember Beijing and garden planning.
समर पैलेस बीजिंग में स्थित शाही उद्यान धरोहर है। परीक्षा में चीनी उद्यान कला याद रखें। / The Summer Palace is an imperial garden heritage in Beijing. For exams remember Chinese garden art.
A. विदेशी वस्तु न खरीदना राष्ट्रीय कर्तव्य और आत्मसम्मान से जोड़ा गया/Not buying foreign goods was linked with national duty and self respect
Explanation
Simple Explanation
स्वदेशी ने रोजमर्रा के उपभोग को राजनीतिक प्रतिरोध बनाया। परीक्षा में आर्थिक राष्ट्रवाद याद रखें। / Swadeshi made everyday consumption political resistance. For exams remember economic nationalism.
A. क्योंकि खरीद और बहिष्कार को राष्ट्रवादी प्रतिरोध का साधन बनाया गया/Because buying and boycott were made tools of nationalist resistance
Explanation
Simple Explanation
स्वदेशी ने बाजार व्यवहार को राजनीतिक संदेश बनाया। परीक्षा में आर्थिक राष्ट्रवाद याद रखें। / Swadeshi turned market behaviour into political message. For exams remember economic nationalism.
A. कि उपनिवेशवाद केवल यूरोपीय शक्तियों तक सीमित था/That colonialism was limited only to European powers
Explanation
Simple Explanation
फिलिपींस अमेरिका से स्वतंत्रता का एशियाई उदाहरण है। परीक्षा में उन्नीस सौ छियालिस याद रखें। / The Philippines is an Asian example of independence from the United States. For exams remember 1946.
A. विदेशी वस्तुओं के बहिष्कार और देशी उत्पादन के समर्थन से/By boycotting foreign goods and supporting indigenous production
Explanation
Simple Explanation
स्वदेशी ने बाजार को राष्ट्रीय प्रतिरोध का क्षेत्र बनाया। परीक्षा में आर्थिक राष्ट्रवाद समझें। / Swadeshi made the market a field of national resistance. For exams understand economic nationalism.
A. पहले विदेशी नियंत्रण और फिर स्वतंत्रता की प्रक्रिया/First foreign control and then process of freedom
Explanation
Simple Explanation
उपनिवेशीकरण विदेशी नियंत्रण है और उपनिवेश मुक्ति उससे स्वतंत्रता है। परीक्षा में दोनों को कारण और परिणाम की तरह पढ़ें। / Colonization is foreign control and decolonization is freedom from it. For exams study both as cause and result.
गुटनिरपेक्ष आंदोलन की पहली शिखर बैठक बेलग्रेड में हुई थी। परीक्षा में इसे शीत युद्ध की स्वतंत्र विदेश नीति से जोड़ें। / The first summit of the Non-Aligned Movement was held in Belgrade. For exams connect it with independent foreign policy during the Cold War.
A. कि पीड़ितों ने कभी प्रतिरोध नहीं किया/That victims never resisted
Explanation
Simple Explanation
वारसा गेटो विद्रोह ने दमन के बीच प्रतिरोध की क्षमता दिखाई। परीक्षा में होलोकॉस्ट को पीड़ा और प्रतिरोध दोनों से पढ़ें। / The Warsaw Ghetto Uprising showed resistance amid repression. For exams study the Holocaust through both suffering and resistance.
D. संगठित राज्य और दूरस्थ व्यापार/Organized state and long-distance trade
Explanation
Simple Explanation
अक्सुम के सिक्के व्यापारिक संपर्क और राजकीय अधिकार दिखाते हैं। परीक्षा में सिक्कों को आर्थिक स्रोत मानें। / Aksumite coins show trade contacts and royal authority. For exams treat coins as economic sources.
अक्सुम लाल सागर और व्यापार मार्गों से लाभ उठाता था। परीक्षा में अफ्रीकी प्राचीन सभ्यताओं को व्यापार से जोड़ें। / Aksum benefited from the Red Sea and trade routes. For exams connect ancient African civilizations with trade.
B. सामाजिक न्याय और प्रशासनिक नियंत्रण/Social justice and administrative control
Explanation
Simple Explanation
उरुकागिना के सुधार शोषण घटाने और प्रशासनिक नियंत्रण से जोड़े जाते हैं। परीक्षा में सुधारों को शासन व्यवस्था से जोड़ें। / Urukagina's reforms are linked with reducing exploitation and administrative control. For exams connect reforms with governance.
A. मंदिरों का धार्मिक और आर्थिक नियंत्रण/Religious and economic control of temples
Explanation
Simple Explanation
सुमेर में मंदिर अनुष्ठान के साथ संसाधन प्रबंधन के केंद्र भी थे। परीक्षा में पुजारी शक्ति को मंदिर अर्थव्यवस्था से जोड़ें। / In Sumer temples were centers of ritual as well as resource management. For exams connect priestly power with temple economy.
माया गणना और समय मापन में शून्य का उपयोग करते थे। परीक्षा में माया को गणितीय उपलब्धि से जोड़ें। / The Maya used zero in calculation and timekeeping. For exams connect the Maya with mathematical achievement.
उर की कब्रें संपत्ति और सामाजिक स्तरों का संकेत देती हैं। परीक्षा में कब्र सामग्री को सामाजिक प्रमाण मानें। / The tombs of Ur indicate wealth and social ranks. For exams treat grave goods as social evidence.
गिलगमेश महाकाव्य मेसोपोटामिया की प्रसिद्ध साहित्यिक परंपरा से जुड़ा है। परीक्षा में इसे प्रारंभिक साहित्य का उदाहरण मानें। / The Epic of Gilgamesh belongs to Mesopotamia's famous literary tradition. For exams treat it as an example of early literature.
सुमेर में उर और उरुक जैसे स्वतंत्र नगर राज्य विकसित हुए। परीक्षा में नगर राज्य की अवधारणा स्पष्ट रखें। / Independent city-states such as Ur and Uruk developed in Sumer. For exams keep the concept of city-state clear.
कीलाक्षर लिपि का प्रारंभिक विकास सुमेरियों से जुड़ा था। परीक्षा में मेसोपोटामिया और सुमेर को साथ याद रखें। / Cuneiform script is closely linked with the Sumerians. For exams remember Mesopotamia and Sumer together.
A. जटिल गणना और पंचांग निर्माण में सहायता/Help in complex calculation and calendar making
Explanation
Simple Explanation
माया गणित में शून्य का उपयोग जटिल गणना के लिए महत्त्वपूर्ण था। इसे उनके पंचांग ज्ञान से जोड़कर याद करें। / The use of zero in Maya mathematics was important for complex calculation. Remember it with their calendar knowledge.
सुमेरियों ने पहिया और क्यूनिफॉर्म लेखन जैसी उपलब्धियां दीं। लेखन ने व्यापारिक रिकॉर्ड रखने में सहायता की। / The Sumerians contributed the wheel and cuneiform writing. Writing helped maintain trade records.
A. कि अफ्रीका में प्राचीन कला और तकनीक विकसित नहीं थी/That ancient art and technology did not develop in Africa
Explanation
Simple Explanation
नोक कला पश्चिम अफ्रीका की प्राचीन तकनीकी और कलात्मक उपलब्धि दिखाती है। परीक्षा में इसे नाइजीरिया क्षेत्र से जोड़ें। / Nok art shows ancient technological and artistic achievement of West Africa. Link it with the Nigeria region.
A. राजकीय अधिकार और अंतरक्षेत्रीय व्यापार/Royal authority and interregional trade
Explanation
Simple Explanation
सिक्के व्यापार के साथ राजकीय पहचान का भी संकेत देते हैं। परीक्षा में अक्सुम को लाल सागर व्यापार से जोड़ें। / Coins indicate both trade and royal identity. Connect Aksum with Red Sea trade in exams.
A. व्यापारिक मध्यस्थ और समुद्री संपर्क/Trade intermediary and maritime contact
Explanation
Simple Explanation
अक्सुम लाल सागर और समुद्री व्यापार मार्गों से जुड़ा था। परीक्षा में इसे पूर्वी अफ्रीकी व्यापार से जोड़ें। / Aksum was linked with the Red Sea and maritime trade routes. Connect it with East African trade.
A. लाल सागर और समुद्री मार्गों के पास स्थिति/Location near Red Sea and maritime routes
Explanation
Simple Explanation
अक्सुम लाल सागर और समुद्री व्यापार मार्गों के पास था। परीक्षा में इसे पूर्वी अफ्रीकी व्यापार से जोड़ें। / Aksum was near the Red Sea and maritime trade routes. Connect it with East African trade.
A. व्यापार राजसत्ता और बाहरी संपर्क/Trade, royal authority and external contact
Explanation
Simple Explanation
अक्सुम के सिक्के व्यापार और राजकीय शक्ति का संकेत देते हैं। परीक्षा में इसे लाल सागर संपर्क से जोड़ें। / Aksumite coins indicate trade and royal power. Connect them with Red Sea contact in exams.
A. लाल सागर और हिंद महासागर संपर्क/Red Sea and Indian Ocean links
Explanation
Simple Explanation
अक्सुम लाल सागर और समुद्री व्यापार मार्गों के पास था। परीक्षा में इसे पूर्वी अफ्रीकी व्यापार से जोड़ें। / Aksum was near Red Sea and maritime trade routes. Link it with East African trade in exams.
A. विकसित व्यापारिक अर्थव्यवस्था/Developed trading economy
Explanation
Simple Explanation
अक्सुम में सिक्के व्यापार और राजसत्ता दोनों का संकेत देते हैं। परीक्षा में इसे लाल सागर व्यापार से जोड़ें। / Coins in Aksum indicate both trade and royal authority. Link it with Red Sea trade in exams.
जिगुरात धार्मिक केंद्र और नगर की पहचान दोनों थे। परीक्षा में इन्हें मेसोपोटामियाई नगर राज्य से जोड़ें। / Ziggurats were both religious centres and city landmarks. Connect them with Mesopotamian city-states in exams.
A. लाल सागर के पास स्थिति/Location near the Red Sea
Explanation
Simple Explanation
अक्सुम लाल सागर व्यापार मार्ग के निकट था इसलिए उसका व्यापारिक महत्व बढ़ा। परीक्षा में पूर्वी अफ्रीका से जोड़ें। / Aksum was near Red Sea trade routes, increasing its trade importance. Link it with East Africa in exams.
अक्सुम लाल सागर व्यापार मार्ग से जुड़ा था। परीक्षा में इसे पूर्वी अफ्रीका और व्यापार से जोड़ें। / Aksum was linked with Red Sea trade routes. In exams, connect it with East Africa and trade.
कीलाक्षर लेखन मिट्टी की तख्तियों पर लिखा जाता था। परीक्षा में इसे प्रशासन और व्यापारिक रिकॉर्ड से जोड़ें। / Cuneiform writing was written on clay tablets. Link it with administration and trade records in exams.
अक्सुम पूर्वी अफ्रीका से जुड़ी प्राचीन सभ्यता थी। परीक्षा में इसे लाल सागर व्यापार से जोड़ें। / Aksum was an ancient civilization of East Africa. In exams, connect it with Red Sea trade.
माया सभ्यता में गणना और कैलेंडर प्रणाली उन्नत थी। परीक्षा में इसे खगोल ज्ञान से जोड़ें। / Maya civilization had an advanced counting and calendar system. Link it with astronomical knowledge in exams.
सुमेरियन दक्षिणी मेसोपोटामिया में बसे थे। परीक्षा में उन्हें नगर राज्यों और कीलाक्षर लेखन से जोड़ें। / The Sumerians lived in southern Mesopotamia. Link them with city-states and cuneiform writing in exams.
भारत रत्न 1980 में फिर शुरू हुआ था। परीक्षा में 1977 से 1980 के बीच के निलंबन को याद रखें। / The Bharat Ratna was resumed in 1980. In exams, remember the suspension period from 1977 to 1980.
सुमेरियन सभ्यता दक्षिणी मेसोपोटामिया से जुड़ी थी। इसे नगर राज्यों और कीलाक्षर लेखन से जोड़ें। / Sumerian civilization was linked with southern Mesopotamia. Link it with city-states and cuneiform writing.
जैव विविधता कन्वेंशन 1992 में अपनाया गया था। इसे वैश्विक जैव विविधता संरक्षण से जोड़ें। / The Convention on Biological Diversity was adopted in 1992. Link it with global biodiversity conservation.
पद्म पुरस्कार 1995 में फिर शुरू हुए। इसे 1992 के निलंबन के बाद की बहाली से याद रखें। / The Padma Awards resumed in 1995. Remember it as restoration after the 1992 suspension.
पद्म पुरस्कार 1980 में फिर शुरू हुए। इसे 1977 के निलंबन के बाद की बहाली से जोड़ें। / The Padma Awards resumed in 1980. Link it with restoration after the 1977 suspension.
राष्ट्रीय उपभोक्ता दिवस 24 दिसंबर को मनाया जाता है। इसे उपभोक्ता संरक्षण कानून और नागरिक अधिकारों से जोड़ें। / National Consumer Day is observed on 24 December. Link it with consumer protection law and citizens' rights.
बलबन ने 1266 ईस्वी में शासन संभाला था। उसे कठोर केंद्रीकरण और राजसत्ता की प्रतिष्ठा से याद रखें। / Balban assumed rule in 1266 CE. Remember him with strict centralisation and dignity of kingship.
ये नागरिक पुरस्कार 1980 में फिर शुरू किए गए थे। परीक्षा में 1977 निलंबन और 1980 पुनः आरंभ याद रखें। / These civilian awards were resumed in 1980. For exams remember 1977 suspension and 1980 resumption.
पद्म पुरस्कार 1980 में फिर शुरू हुए। परीक्षा में निलंबन और पुनः आरंभ की तिथियां साथ याद रखें। / The Padma Awards were resumed in 1980. For exams remember suspension and resumption dates together.
भारत रत्न पुरस्कार 1980 में फिर शुरू किए गए। परीक्षा में 1977 निलंबन और 1980 पुनः आरंभ याद रखें। / Bharat Ratna awards were resumed in 1980. For exams remember 1977 suspension and 1980 resumption.
नरसिंहवर्मन प्रथम ने वातापि पर विजय के बाद वातापिकोंड की उपाधि धारण की। परीक्षा में पल्लव चालुक्य संघर्ष को उपाधियों से जोड़ें। / Narasimhavarman I assumed the title Vatapikonda after conquering Vatapi. For exams connect the Pallava-Chalukya conflict with titles.
राजेंद्र चोल प्रथम ने गंगा क्षेत्र तक अभियान के बाद गंगैकोंड की उपाधि धारण की। परीक्षा में उपाधि और अभियान का संबंध याद रखें। / Rajendra Chola I assumed the title Gangaikonda after his campaign up to the Ganga region. For exams remember the link between titles and campaigns.
नरसिंहवर्मन प्रथम ने वातापी जीतने के बाद वातापीकोंडा उपाधि ली। पल्लव चालुक्य संघर्ष में यह घटना प्रमुख है। / Narasimhavarman I assumed the title Vatapikonda after conquering Vatapi. This is a key event in the Pallava Chalukya conflict.
A. विदेशी और कूटनीतिक मामले/Foreign and diplomatic affairs
Explanation
Simple Explanation
सुमंत या दबीर विदेश नीति और कूटनीति से जुड़ा पद था। परीक्षा में अष्टप्रधान के पदों को काम से मिलाएं। / Sumant or Dabir was related to foreign affairs and diplomacy. Exam tip: match Ashtapradhan offices with duties.
सुमंत या दबीर विदेशी संबंधों से जुड़ा पद था। मराठा प्रशासनिक पदों में यह अलग पहचान रखता है। / Sumant or Dabir was a post related to foreign relations. It has a distinct identity among Maratha administrative posts.
सुमंत या दबीर विदेशी मामलों से जुड़ा पद था। परीक्षा में अष्टप्रधान के पद और कार्य अलग याद रखें। / Sumant or Dabir was a post related to foreign affairs. For exams, remember Ashtapradhan posts with separate duties.
A. अशोक का धम्म व्यापक नैतिक प्रशासनिक नीति था/Ashoka's Dhamma was a broad moral administrative policy
Explanation
Simple Explanation
अशोक का धम्म धार्मिक सहिष्णुता और सामाजिक नैतिकता पर भी आधारित था। परीक्षा में शब्द समान होने पर भी संदर्भ देखें। / Ashoka's Dhamma was also based on religious tolerance and social morality. For exams, check context even when terms look similar.
A. शून्य और गणितीय नियमों की व्याख्या/Explanation of zero and mathematical rules
Explanation
Simple Explanation
ब्रह्मगुप्त ने गणित में शून्य से जुड़े नियमों पर महत्वपूर्ण कार्य किया। परीक्षा में उन्हें भारतीय गणित परंपरा से जोड़ें। / Brahmagupta did important work on rules related to zero in mathematics. For exams, connect him with the Indian mathematical tradition.
A. कुलीन गणतंत्रीय व्यवस्था/Oligarchic republican system
Explanation
Simple Explanation
लिच्छवि व्यवस्था में कुलीन समूहों की सभा का महत्व था। परीक्षा में गणसंघ को आधुनिक लोकतंत्र जैसा न समझें। / In the Licchavi system, assemblies of elite groups were important. For exams, do not equate Gana-sangha directly with modern democracy.
ब्रह्मगुप्त ने शून्य और संख्याओं पर महत्वपूर्ण गणितीय नियम दिए। परीक्षा में शून्य को भारतीय गणित की प्रमुख उपलब्धि से जोड़ें। / Brahmagupta gave important mathematical rules on zero and numbers. For exams, connect zero with a major achievement of Indian mathematics.
मिहिर भोज ने आदिवराह उपाधि धारण की थी। परीक्षा में प्रतिहारों को उत्तर भारत की क्षेत्रीय शक्ति के रूप में याद रखें। / Mihira Bhoja assumed the title Adivaraha. For exams, remember the Pratiharas as a regional power of North India.
ब्रह्मगुप्त का ब्रह्मस्फुटसिद्धांत गणित और शून्य के नियमों के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे भारतीय गणित की उपलब्धि मानें। / Brahmagupta's Brahmasphutasiddhanta is famous for mathematics and rules of zero. For exams, treat it as an achievement of Indian mathematics.
सीटें \(30,36,42,\ldots\) समान्तर श्रेणी हैं और \(S_{18}=1458\)। परीक्षा में पंक्ति व्यवस्था को ए.पी. में बदलें। / The seats form the AP \(30,36,42,\ldots\), and \(S_{18}=1458\). Exam tip: convert row arrangements into APs.
पुश-अप \(20,25,30,\ldots\) समान्तर श्रेणी बनाते हैं और \(S_{15}=825\)। परीक्षा में कुल अभ्यास के लिए योग सूत्र लगाएं। / The push-ups form the AP \(20,25,30,\ldots\), and \(S_{15}=825\). Exam tip: use the sum formula for total practice.
लाभ \(50000,55000,60000,\ldots\) समान्तर श्रेणी है और \(S_8=540000\)। परीक्षा में वार्षिक लाभ को अलग-अलग पद मानें। / The profits form the AP \(50000,55000,60000,\ldots\), and \(S_8=540000\). Exam tip: treat yearly profits as separate terms.
दूरियां \(20,25,30,\ldots\) हैं और \(S_{16}=920\)। परीक्षा में अंतरालों की संख्या को पदों की संख्या मानें। / The distances are \(20,25,30,\ldots\), and \(S_{16}=920\). Exam tip: take the number of gaps as the number of terms.
दैनिक काम \(32,44,56,\ldots\) समान्तर श्रेणी है और \(S_{14}=1540\)। परीक्षा में दैनिक वृद्धि को सार्व अंतर मानें। / The daily work forms the AP \(32,44,56,\ldots\), and \(S_{14}=1540\). Exam tip: treat the daily increase as the common difference.
पौधों की संख्या \(12,16,20,\ldots\) है और \(S_{16}=672\)। परीक्षा में कतारों की संख्या को पदों की संख्या मानें। / The plant numbers are \(12,16,20,\ldots\), and \(S_{16}=672\). Exam tip: take the number of rows as the number of terms.
यह घटती समान्तर श्रेणी \(96,90,84,\ldots\) है और \(S_{12}=756\)। परीक्षा में कमी को ऋणात्मक सार्व अंतर मानें। / This is the decreasing AP \(96,90,84,\ldots\), and \(S_{12}=756\). Exam tip: treat a decrease as a negative common difference.
वेतन \(25000,26200,27400,\ldots\) समान्तर श्रेणी है और \(S_8=233600\)। परीक्षा में कुल वेतन के लिए सभी महीनों का योग लें। / The salaries form the AP \(25000,26200,27400,\ldots\), and \(S_8=233600\). Exam tip: add all monthly salaries using the sum formula.
संख्याएँ \(52,60,\ldots,244\) हैं और कुल (25) पद हैं। परीक्षा में शर्त को सही समान्तर श्रेणी में बदलें। / The numbers are \(52,60,\ldots,244\), and there are (25) terms. Exam tip: convert the condition into the correct AP.
(1788=12(2x+115)) से (x=17) मिलता है। परीक्षा में चर वाले प्रथम पद को सीधे सूत्र में रखें। / From (1788=12(2x+115)), (x=17). Exam tip: put the variable first term directly into the formula.
(17) पदों में (9)वाँ पद मध्य पद है इसलिए योग (17(36)=612) होगा। परीक्षा में विषम पदों की श्रेणी में मध्य पद का उपयोग करें। / In (17) terms, the (9)th term is the middle term, so the sum is (17(36)=612). Exam tip: use the middle term for an odd number of AP terms.
(S_{20}=10\(t_{10}+t_{11}\)) से \(t_{11}=60\) मिलता है। परीक्षा में (S_{2m}=m\(t_m+t_{m+1}\)) याद रखें। / From (S_{20}=10\(t_{10}+t_{11}\)), \(t_{11}=60\). Exam tip: remember (S_{2m}=m\(t_m+t_{m+1}\)).
कुल बचत (S_{18}=9[100+17(20)]=3960) है। परीक्षा में दैनिक वृद्धि को सार्व अंतर मानें। / The total saving is (S_{18}=9[100+17(20)]=3960). Exam tip: treat the daily increase as the common difference.
कुल सीटें (S_{25}=\frac{25}{2}[44+24(3)]=1450) हैं। परीक्षा में वास्तविक जीवन प्रश्नों को समान्तर श्रेणी में बदलें। / Total seats are (S_{25}=\frac{25}{2}[44+24(3)]=1450). Exam tip: convert real-life situations into an AP.
समीकरण से (4n+26=6n+6) मिलता है इसलिए (n=10)। परीक्षा में दोनों योगों में सामान्य \(\frac{n}{2}\) को सरल करें। / The equation gives (4n+26=6n+6), so (n=10). Exam tip: simplify the common \(\frac{n}{2}\) in both sums.
वांछित योग \(S_{18}-S_8=2304-464=1840\) है। परीक्षा में (m)वें से (n)वें तक का योग \(S_n-S_{m-1}\) होता है। / The required sum is \(S_{18}-S_8=2304-464=1840\). Exam tip: the sum from the (m)th to (n)th term is \(S_n-S_{m-1}\).
\(a_{12}=S_{12}-S_{11}=1380-1155=225\) है। परीक्षा में किसी खास पद के लिए लगातार योग घटाएं। / \(a_{12}=S_{12}-S_{11}=1380-1155=225\). Exam tip: subtract consecutive sums for a particular term.
\(t_5=64\) और \(t_{20}=4\) हैं इसलिए योग (\frac{16}{2}(64+4)=544) है। परीक्षा में चुने गए पदों की संख्या सही गिनें। / \(t_5=64\) and \(t_{20}=4\), so the sum is (\frac{16}{2}(64+4)=544). Exam tip: count the selected terms correctly.
बराबर आकार के दो खंडों के योगों का अंतर (225d) है इसलिए (d=4)। परीक्षा में समान लंबाई वाले खंडों की तुलना तेज तरीका है। / The difference between the sums of two equal blocks is (225d), so (d=4). Exam tip: comparing equal-length blocks is a fast method.
इनसे (a=3) और (d=7) मिलते हैं इसलिए \(S_{30}=3135\)। परीक्षा में दो योगों से पहले (a) और (d) निकालें। / These give (a=3) and (d=7), so \(S_{30}=3135\). Exam tip: first find (a) and (d) from the two sums.
(S_{18}=9[-24+17(7)]=855) है। परीक्षा में ऋणात्मक प्रथम पद होने पर भी वही सूत्र लगाएं। / (S_{18}=9[-24+17(7)]=855). Exam tip: use the same formula even when the first term is negative.
(S_n=3n(n+6)) है और (n=19) रखने पर (1425) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों से त्वरित जांच भी कर सकते हैं। / (S_n=3n(n+6)), and substituting (n=19) gives (1425). Exam tip: options can be checked quickly too.
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है इसलिए \(60^2=3600\)। परीक्षा में यह परिणाम सीधे याद रखें। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(60^2=3600\). Exam tip: remember this result directly.
\(S_2=12\) और \(S_3=12\) है जबकि आगे योग घटता है इसलिए अधिकतम (12) है। परीक्षा में शीर्ष के पास छोटे पूर्णांक मान जांचें। / \(S_2=12\) and \(S_3=12\), while the sum decreases afterward, so the maximum is (12). Exam tip: check nearby integer values around the vertex.
(6(12+11d)=4\cdot3(12+5d)) से (d=12) मिलता है। परीक्षा में दोनों योग अलग-अलग लिखकर तुलना करें। / From (6(12+11d)=4\cdot3(12+5d)), (d=12). Exam tip: write both sums separately and then compare.
विषम संख्या पदों वाली समान्तर श्रेणी में योग पदों की संख्या और मध्य पद का गुणनफल होता है। परीक्षा में मध्य पद की संपत्ति याद रखें। / For an AP with an odd number of terms, the sum is the product of the number of terms and the middle term. Exam tip: remember the middle-term property.
कुल (21) पद होंगे और योग (\frac{21}{2}(6+126)=1386) होगा। परीक्षा में समान्तर माध्य जुड़ने पर कुल पदों की संख्या बढ़ती है। / There will be (21) terms, and the sum is (\frac{21}{2}(6+126)=1386). Exam tip: when arithmetic means are inserted, the total number of terms increases.
संख्याएँ \(10,16,\ldots,94\) हैं और कुल (15) पद हैं। परीक्षा में शेष वाली श्रेणी का पहला पद ध्यान से चुनें। / The numbers are \(10,16,\ldots,94\), and there are (15) terms. Exam tip: choose the first term of the remainder sequence carefully.
इस श्रेणी में \(\frac{S_n}{t_n}=\frac{n+1}{2}\) है इसलिए (n=29)। परीक्षा में अनुपात को सरल रूप में लिखें। / Here \(\frac{S_n}{t_n}=\frac{n+1}{2}\), so (n=29). Exam tip: write the ratio in simplified form.
(S_n=3n(31-n)) है और (n=15) या (n=16) पर अधिकतम (720) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष के पास वाले पूर्णांक जांचें। / (S_n=3n(31-n)), and the maximum (720) occurs at (n=15) or (n=16). Exam tip: check integer values near the vertex.
(999=9[2a+85]) से (a=13) मिलता है। परीक्षा में पहले दोनों ओर को (n/2) से भाग दें। / From (999=9[2a+85]), (a=13). Exam tip: first divide both sides by (n/2).
वांछित योग \(S_{25}-S_{15}=1975-735=1240\) है। परीक्षा में बीच के पदों के लिए कुल योगों का अंतर लें। / The required sum is \(S_{25}-S_{15}=1975-735=1240\). Exam tip: use the difference of cumulative sums for middle terms.
दोनों योग बराबर रखने पर (4n+16=2n+42) मिलता है इसलिए (n=13)। परीक्षा में समान (n) होने पर \(\frac{n}{2}\) को काट सकते हैं। / Equating both sums gives (4n+16=2n+42), so (n=13). Exam tip: when (n) is common, cancel \(\frac{n}{2}\).
अनुपात को योग सूत्र में रखने पर (d=4) मिलता है। परीक्षा में क्रॉस गुणा ध्यान से करें। / Using the ratio in the sum formula gives (d=4). Exam tip: cross-multiply carefully.
(555=\frac{15}{2}(a+65)) से (a=9) और \(d=\frac{65-9}{14}=4\) मिलता है। परीक्षा में अंतिम पद और योग से प्रथम पद निकालें। / From (555=\frac{15}{2}(a+65)), (a=9), and \(d=\frac{65-9}{14}=4\). Exam tip: use last term and sum to find the first term.
\(S_{24}=1476\) और \(S_{25}=1600\) है इसलिए पहली बार (n=25) पर योग (1500) से अधिक होगा। परीक्षा में सीमा वाले प्रश्नों में पास के पूर्णांक जांचें। / \(S_{24}=1476\) and \(S_{25}=1600\), so the sum first exceeds (1500) at (n=25). Exam tip: check nearby integers in boundary questions.
कुल योग (9870) है और (7) के गुणजों का योग (1470) है इसलिए उत्तर (8400) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है। / The total sum is (9870), and the sum of multiples of (7) is (1470), so the answer is (8400). Exam tip: subtract the complementary sum.
संख्याएँ \(114,133,\ldots,988\) हैं और कुल (47) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(114,133,\ldots,988\), and there are (47) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
