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A. हवाई आपूर्ति जारी रही लेकिन सीधा सैन्य युद्ध टाला गया/Air supply continued but direct military war was avoided
Explanation
Simple Explanation
एयरलिफ्ट ने बिना सीधा युद्ध किए पश्चिमी संकल्प दिखाया। परीक्षा में बर्लिन नाकेबंदी से जोड़ें। / The airlift showed western resolve without direct war. For exams connect it with the Berlin Blockade.
A. शीत युद्ध की द्विध्रुवीय व्यवस्था समाप्त हुई/The bipolar Cold War order ended
Explanation
Simple Explanation
सोवियत संघ के टूटने से अमेरिका सोवियत प्रतिद्वंद्विता का ढांचा समाप्त हुआ। परीक्षा में वर्ष उन्नीस सौ इक्यानवे याद रखें। / The Soviet breakup ended the structure of US Soviet rivalry. Exam tip: remember 1991.
सोवियत संघ का विघटन उन्नीस सौ इक्यानवे में हुआ था। परीक्षा में इसे शीत युद्ध के अंत से जोड़ें। / The Soviet Union dissolved in 1991. For exams connect it with the end of the Cold War.
A. कमजोर केंद्रीय शासन और राज्यों के बीच समन्वय की समस्या/Weak central government and coordination among states
Explanation
Simple Explanation
अमेरिकी संविधान ने केंद्र और राज्यों के बीच शक्ति संतुलन बनाने का प्रयास किया। परीक्षा में परिसंघ की कमजोरी को पृष्ठभूमि मानें। / The American Constitution tried to balance power between the center and the states. Exam tip: treat weakness of the Confederation as background.
B. उसने केंद्र और राज्यों के बीच अधिकारों का संवैधानिक बंटवारा किया/It constitutionally divided powers between center and states
Explanation
Simple Explanation
संघवाद ने मजबूत केंद्र और राज्यों की स्वायत्तता के बीच संतुलन बनाया। परीक्षा में संविधान को सत्ता संतुलन से जोड़ें। / Federalism balanced a strong center with state autonomy. For exams connect the Constitution with balance of power.
A. क्योंकि साम्राज्य बहु जातीय था और अलग अलग समूहों की आकांक्षाएं थीं/Because the empire was multiethnic and different groups had aspirations
Explanation
Simple Explanation
संवैधानिक सुधारों के बाद भी जातीय और राष्ट्रीय प्रश्न बने रहे। परीक्षा में साम्राज्य और राष्ट्रवाद का तनाव याद रखें। / Ethnic and national questions remained even after constitutional reforms. For exams remember tension between empire and nationalism.
B. नई स्वतंत्र सत्ता के लिए स्थिर शासन ढांचा बनाना/Creating a stable governing structure for the new independent power
Explanation
Simple Explanation
संविधान ने संघीय शासन और संस्थाओं को व्यवस्थित किया। परीक्षा में क्रांति के बाद राज्य निर्माण पर ध्यान दें। / The constitution organized federal government and institutions. For exams focus on state-building after revolution.
A. तेजी से आगे बढ़ती मित्र सेनाओं की आपूर्ति/Supply of rapidly advancing Allied armies
Explanation
Simple Explanation
तेज सैन्य बढ़त के साथ ईंधन और सामग्री पहुंचाना जरूरी था। परीक्षा में परिवहन को युद्ध परिणाम से जोड़ें। / Fuel and material had to reach fast-moving forces. For exams connect transport with war outcome.
A. नई सीमाओं में रह रहे जातीय अल्पसंख्यकों की सुरक्षा/Protection of ethnic minorities living within new borders
Explanation
Simple Explanation
नई राष्ट्रीय सीमाओं ने कई अल्पसंख्यक समुदायों को नए राज्यों में रखा। परीक्षा में राष्ट्र निर्माण और अल्पसंख्यक प्रश्न साथ पढ़ें। / New national borders placed many minority communities inside new states. For exams study nation-building and minority questions together.
A. अनियमित वर्षा और जल नियंत्रण/Irregular rainfall and water control
Explanation
Simple Explanation
मेसोपोटामिया में वर्षा सीमित थी इसलिए सिंचाई आवश्यक थी। नहरों से खेती और बसावट को समर्थन मिला। / Rainfall was limited in Mesopotamia so irrigation was necessary. Canals supported farming and settlement.
A. झील क्षेत्र में खेती के लिए भूमि बनाना/Creating farmland in lake areas
Explanation
Simple Explanation
चिनाम्पा झीलों में कृत्रिम खेती क्षेत्र थे। परीक्षा में इन्हें एज़्टेक कृषि नवाचार से जोड़ें। / Chinampas were artificial farming plots in lakes. Link them with Aztec agricultural innovation in exams.
A. कर आकलन को अधिक नियमित और अनुमान योग्य बनाना/Making tax assessment more regular and predictable
Explanation
Simple Explanation
औसत उपज और भूमि मापन से राजस्व व्यवस्था व्यवस्थित हुई। इसे अकबर के प्रशासनिक सुधार से जोड़ें। / Average produce and land measurement organized the revenue system. Link it with Akbar's administrative reform.
B. उन्होंने समुदाय आधारित पृथक निर्वाचन को संस्थागत रूप दिया/They institutionalized community based separate electorates
Explanation
Simple Explanation
पृथक निर्वाचन ने साम्प्रदायिक राजनीति की दिशा को मजबूत किया। परीक्षा में 1909 को अलग प्रतिनिधित्व से जोड़ें। / Separate electorates strengthened the direction of communal politics. Exam tip is to link 1909 with separate representation.
A. नेताओं की गिरफ्तारी के बाद गुप्त संचार की जरूरत/Need for secret communication after arrest of leaders
Explanation
Simple Explanation
कांग्रेस रेडियो ने भूमिगत संदेश फैलाने में मदद की। परीक्षा में इसे 1942 की गुप्त गतिविधियों से जोड़ें। / Congress Radio helped spread underground messages. Exam tip is to link it with secret activities of 1942.
A. कांग्रेस और मुस्लिम लीग के बीच संयुक्त भारत पर समझौता/Compromise between Congress and Muslim League over united India
Explanation
Simple Explanation
कमजोर केंद्र और प्रांतीय समूह विभाजन टालने की कोशिश थे। परीक्षा में इसे 1946 की संवैधानिक योजना समझें। / A weak centre and provincial groups were attempts to avoid partition. Exam tip is to understand it as the constitutional plan of 1946.
A. संयुक्त भारत और मुस्लिम लीग की मांग के बीच संतुलन/Balance between united India and Muslim League's demand
Explanation
Simple Explanation
समूह योजना ने विभाजन टालने के लिए समझौता खोजा। परीक्षा में इसे 1946 की जटिल संवैधानिक योजना समझें। / The grouping plan sought compromise to avoid partition. Exam tip is to understand it as a complex constitutional plan of 1946.
\(S_{20}=1230\) और (a=14) रखने पर (d=5) मिलता है। परीक्षा में कुल अभ्यास से दैनिक वृद्धि निकाली जा सकती है। / Using \(S_{20}=1230\) and (a=14) gives (d=5). Exam tip: daily increase can be found from total practice.
(7+(n-1)4=63) से (n=15) मिलता है। परीक्षा में लक्ष्य संख्या को \(a_n\) के बराबर रखें। / From (7+(n-1)4=63), (n=15). Exam tip: set the target number equal to \(a_n\).
(1788=12(2x+115)) से (x=17) मिलता है। परीक्षा में चर वाले प्रथम पद को सीधे सूत्र में रखें। / From (1788=12(2x+115)), (x=17). Exam tip: put the variable first term directly into the formula.
(1128=6[2x+11(3x-2)]) से (x=6) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) स्पष्ट लिखें। / From (1128=6[2x+11(3x-2)]), (x=6). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
(445=5[2x+9(2x+1)]) से (x=4) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) स्पष्ट लिखें। / From (445=5[2x+9(2x+1)]), (x=4). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
(365=5[2x+9(x+2)]) से (x=5) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) को साफ लिखें। / From (365=5[2x+9(x+2)]), (x=5). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
यह (4) के पहले (10) गुणजों का योग है, इसलिए कुल (220) प्रश्न होंगे। दिनों की संख्या को (n) मानें। / This is the sum of the first (10) multiples of (4), so the total is (220) questions. Treat the number of days as (n).
यहाँ (a=5), (d=2), (n=12), इसलिए कुल (192) प्रश्न हल हुए। दिन और पदों की संख्या को एक जैसा मानें। / Here (a=5), (d=2), and (n=12), so (192) questions are solved. Treat days as the number of terms.
(527=23+(5n+3)14) से (504=70n+42), इसलिए \(n=\frac{33}{5}\) नहीं आता। सूचकांक और विकल्पों को ध्यान से मिलाएं। / (527=23+(5n+3)14), so (504=70n+42), which does not give an integer option. Match the index and options carefully.
(514=64+(n-1)15) से (450=15(n-1)), इसलिए (n=31)। दैनिक संख्या को पद मानें कुल योग नहीं। / From (514=64+(n-1)15), (450=15(n-1)), so (n=31). Treat the daily count as a term, not a total sum.
(407=17+(4n+2)10) से (390=40n+20), इसलिए \(n=\frac{37}{4}\) नहीं आता। सूचकांक और विकल्पों को सावधानी से मिलाएं। / (407=17+(4n+2)10), so (390=40n+20), which does not give an integer option. Match the index and options carefully.
(367=55+(n-1)12) से (312=12(n-1)), इसलिए (n=27)। दैनिक संख्या पद है कुल योग नहीं। / From (367=55+(n-1)12), (312=12(n-1)), so (n=27). Daily count is a term, not a total sum.
(275=11+(3n+3)8) से (264=24n+24), इसलिए (n=10)। सूचकांक से (1) घटाकर (d) का गुणक बनाएं। / From (275=11+(3n+3)8), (264=24n+24), so (n=10). Subtract (1) from the index to get the multiplier of (d).
(276=42+(n-1)9) से (234=9(n-1)), इसलिए (n=27)। दैनिक संख्या को पद मानें, कुल योग नहीं। / From (276=42+(n-1)9), (234=9(n-1)), so (n=27). Treat the daily count as a term, not a total sum.
(197=8+(3n+1)9) से (189=27n+9) इसलिए \(n=\frac{20}{3}\) नहीं आता। सूचकांक ठीक पढ़ना जरूरी है। / (197=8+(3n+1)9), so (189=27n+9) and \(n=\frac{20}{3}\). Read the index carefully before selecting an integer option.
\(123=3+2n\cdot4\) से (120=8n) इसलिए (n=15)। सूचकांक (2n+1) में (1) घटाकर गुणक लें। / From \(123=3+2n\cdot4\), (120=8n), so (n=15). In index (2n+1), subtract (1) to get the multiplier.
(102=18+(n-1)4) से (84=4(n-1)) इसलिए (n=22)। दैनिक संख्या पद है कुल प्रश्न नहीं। / From (102=18+(n-1)4), (84=4(n-1)), so (n=22). The daily number is the term, not total questions.
\(112=z+18\times5\) से (z=22)। चर वाले पहले पद को (a) मानकर सूत्र लगाएं। / From \(112=z+18\times5\), (z=22). Treat the variable first term as (a) and apply the formula.
\(50=x+9\times4\), इसलिए (x=14)। चर वाले पहले पद को (a) मानकर सूत्र लगाएं। / \(50=x+9\times4\), so (x=14). Treat the variable first term as (a) and apply the formula.
यहाँ (a=5), (d=2) है, इसलिए \(a_{12}=5+11\times2=27\)। दिन संख्या को (n) मानकर सूत्र लगाएँ। / Here (a=5), (d=2), so \(a_{12}=5+11\times2=27\). Treat the day number as (n) and apply the formula.
तीन पदों में \(2\beta=\alpha+\gamma\), इसलिए \(\beta=7\)। परीक्षा में मध्य पद को सिरों का औसत मानें। / For three AP terms, \(2\beta=\alpha+\gamma\), so \(\beta=7\). In exams, treat the middle term as the average of the extremes.
अंतर (n) पर निर्भर है, इसलिए सभी (n) के लिए स्थिर नहीं है। परीक्षा में अंतर में (n) बच जाए तो समांतर श्रेणी नहीं मानी जाती। / The difference depends on (n), so it is not constant for all (n). In exams, if (n) remains in the difference, it is not an AP.
(2(3u+2)=(2u-3)+(5u-1)) से (6u+4=7u-4), इसलिए (u=8)। मध्य पद का दुगुना नियम लगाकर चर निकालें। / From (2(3u+2)=(2u-3)+(5u-1)), (6u+4=7u-4), so (u=8). Use the twice-middle-term rule to find the variable.
(2(4m+2)=3m+(6m-2)) से (8m+4=9m-2), इसलिए (m=6)। मध्य पद का दुगुना नियम सीधे लगाएं। / From (2(4m+2)=3m+(6m-2)), (8m+4=9m-2), so (m=6). Apply the twice-middle-term rule directly.
(2(4v+1)=(3v-4)+(6v-1)) से (8v+2=9v-5), इसलिए (v=7)। मध्य पद का दुगुना नियम लगाकर चर निकालें। / From (2(4v+1)=(3v-4)+(6v-1)), (8v+2=9v-5), so (v=7). Use the twice-middle-term rule to find the variable.
(2(a+4)=(2a-5)+(4a-7)) से (2a+8=6a-12), इसलिए (a=5)। मध्य पद को पहचानकर समीकरण बनाएं। / From (2(a+4)=(2a-5)+(4a-7)), (2a+8=6a-12), so (a=5). Identify the middle term and form the equation.
(2(3u+2)=(2u-1)+(5u+1)) से (6u+4=7u), इसलिए (u=4)। मध्य पद का दुगुना नियम यहां सीधा है। / From (2(3u+2)=(2u-1)+(5u+1)), (6u+4=7u), so (u=4). The twice-middle-term rule is direct here.
(2(3a+1)=2a+(5a-1)) से (6a+2=7a-1), इसलिए (a=3)। तीन पदों में मध्य पद का दुगुना नियम जल्दी काम करता है। / From (2(3a+1)=2a+(5a-1)), (6a+2=7a-1), so (a=3). The twice-middle-term rule works quickly for three terms.
सारणिक (D=(y+1)(y-2)-10=y-2-y-12) है। अद्वितीय हल के लिए \(D\neq0\) चाहिए। / The determinant is (D=(y+1)(y-2)-10=y-2-y-12). For a unique solution, \(D\neq0\) is required.
तीनों अनुपात \(\frac{3}{5}\) होने चाहिए। इसलिए \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\) से (t=12)। / All three ratios must be \(\frac{3}{5}\). Therefore, \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\) gives (t=12).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{s}{21}=\frac{4}{12}\) से (s=7) है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{s}{21}=\frac{4}{12}\) gives (s=7). The constant ratio is not equal.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{r}{9}\neq\frac{2}{3}\) चाहिए। इसलिए \(r\neq6\) होगा। / For a unique solution, \(\frac{r}{9}\neq\frac{2}{3}\) is required. Hence \(r\neq6\).
अनंत हलों में \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\) होता है। इसलिए (q=6) सही मान है। / For infinitely many solutions, \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\). Therefore, (q=6) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{p}{12}=\frac{-5}{-15}\) से (p=4) है। स्थिर अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{p}{12}=\frac{-5}{-15}\) gives (p=4). The constant ratio is different.
अनंत हलों के लिए \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) चाहिए। इससे (n=6) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) is needed. This gives (n=6).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{m}{16}\neq\frac{7}{14}\) होना चाहिए। इसलिए \(m\neq8\)। / For a unique solution, \(\frac{m}{16}\neq\frac{7}{14}\) must hold. Therefore, \(m\neq8\).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}\) से (k=4) है। स्थिर पद अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}\) gives (k=4). The constant ratio is different.
तीनों अनुपात \(\frac{5}{7}\) होने चाहिए। इसलिए \(\frac{j}{14}=\frac{5}{7}\) से (j=10)। / All three ratios must be \(\frac{5}{7}\). Therefore, \(\frac{j}{14}=\frac{5}{7}\) gives (j=10).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{6}{18}=\frac{i}{27}\) से (i=9) आता है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{6}{18}=\frac{i}{27}\) gives (i=9). The constant ratio is not equal.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{h}{10}\neq\frac{12}{15}\) होना चाहिए। इसलिए \(h\neq8\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{h}{10}\neq\frac{12}{15}\) must hold. Hence \(h\neq8\) is correct.
अनंत हलों के लिए \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) होना चाहिए। इससे (g=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) must hold. This gives (g=5).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) बनाने के लिए (f=5) चाहिए। स्थिर पद अनुपात अलग होने से कोई हल नहीं होगा। / To make the coefficient ratio \(\frac{1}{4}\), (f=5) is required. The different constant ratio gives no solution.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{e}{18}\neq\frac{-4}{-12}\) चाहिए। अतः \(e\neq6\)। / For a unique solution, \(\frac{e}{18}\neq\frac{-4}{-12}\) is needed. Hence \(e\neq6\).
अनंत हलों में \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) होना चाहिए। इसलिए (d=5) सही है। / For infinitely many solutions, \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) must hold. So (d=5) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{c}{9}=\frac{6}{18}\) से (c=3) आता है। स्थिर अनुपात \(\frac{5}{10}\) अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{c}{9}=\frac{6}{18}\) gives (c=3). The constant ratio \(\frac{5}{10}\) is different.
अनंत हलों के लिए \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) होना चाहिए। इससे (b=4) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) must hold. This gives (b=4).
सारणिक \(D=a^2-8\) है। अद्वितीय हल के लिए \(D\neq0\) यानी \(a^2\neq8\)। / The determinant is \(D=a^2-8\). For a unique solution, \(D\neq0\), so \(a^2\neq8\).
अद्वितीय न होने के लिए ((z+2)(z-1)-18=0) होना चाहिए। इससे (z=4) या (z=-3) मिलता है। / For non-unique solutions, ((z+2)(z-1)-18=0) must hold. This gives (z=4) or (z=-3).
तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
C. युग्म का अद्वितीय हल है/The pair has a unique solution
Explanation
Simple Explanation
सारणिक शून्य नहीं होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल होता है। / When the determinant is non-zero, the lines intersect at one point. Hence there is a unique solution.
B. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अलग समांतर रेखाओं में गुणांक अनुपात समान और स्थिर पद अनुपात अलग होता है। यही कोई हल नहीं की शर्त है। / For distinct parallel lines, coefficient ratios are equal and the constant ratio is different. This is the condition for no solution.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ एक ही रेखा है। इसलिए ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean the same line. Therefore, such a pair has infinitely many solutions.
तीनों अनुपात समान होने पर रेखाएँ संपाती होती हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / When all three ratios are equal, the lines are coincident. Therefore, infinitely many solutions occur.
अद्वितीय हल तब मिलता है जब रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसका अनुपात रूप \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\) है। / A unique solution occurs when the lines intersect at one point. Its ratio form is \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{5}{25}=\frac{\gamma}{15}\) से \(\gamma=3\) मिलता है। स्थिर अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{5}{25}=\frac{\gamma}{15}\) gives \(\gamma=3\). The constant ratio is different.
अनंत हलों में \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) होना चाहिए। इससे \(\beta=2\) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) must hold. This gives \(\beta=2\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{\alpha-1}{8}\neq\frac{5}{10}\) चाहिए। इसलिए \(\alpha\neq5\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{\alpha-1}{8}\neq\frac{5}{10}\) is required. Hence \(\alpha\neq5\) is correct.
\(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\) है। गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{\mu}{6}=\frac{2}{3}\) से \(\mu=4\)। / \(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\). Equating coefficient ratios, \(\frac{\mu}{6}=\frac{2}{3}\) gives \(\mu=4\).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{6}\) है। अनंत हलों के लिए \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\) इसलिए \(\lambda=8\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{6}\). For infinitely many solutions, \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\), so \(\lambda=8\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{w}{16}\neq\frac{-6}{-24}\) होना चाहिए। इसलिए \(w\neq4\) होगा। / For a unique solution, \(\frac{w}{16}\neq\frac{-6}{-24}\) must hold. Therefore, \(w\neq4\).
गुणांक अनुपात समान करने पर (v-2=3) मिलता है। इसलिए (v=5) और स्थिर अनुपात अलग होने से कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives (v-2=3). Thus (v=5), and the different constant ratio gives no solution.
अनंत हलों के लिए \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) चाहिए। इससे (u=1) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) is needed. This gives (u=1).
\(\frac{12}{18}\neq\frac{-7}{-11}\) होने से रेखाएँ काटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलेगा। / Since \(\frac{12}{18}\neq\frac{-7}{-11}\), the lines intersect. Hence a unique solution is obtained.
तीनों अनुपात समान हैं। अतः रेखाएँ संपाती हैं और युग्म के अनंत हल हैं। / All three ratios are equal. Thus the lines are coincident and the pair has infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात समान है लेकिन \(\frac{2}{7}\) अलग है। इसलिए दोनों अलग समांतर रेखाएँ हैं। / The coefficient ratio is equal but \(\frac{2}{7}\) is different. Hence both are distinct parallel lines.
यहाँ \(\frac{10}{20}\neq\frac{3}{9}\) है। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। / Here \(\frac{10}{20}\neq\frac{3}{9}\). Therefore, the lines meet at one point.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल देती हैं। / The second equation is (2) times the first. So both lines are coincident and give infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात समान है पर स्थिर पद का अनुपात अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और युग्म असंगत है। / Coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. Hence the lines are parallel and the pair is inconsistent.
अनंत हलों के लिए \(\frac{6}{14}=\frac{-t}{-21}=\frac{18}{42}\) होना चाहिए। इससे (t=9) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{6}{14}=\frac{-t}{-21}=\frac{18}{42}\) must hold. This gives (t=9).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{11}{22}\neq\frac{3}{s}\) होना चाहिए। अतः \(s\neq6\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{11}{22}\neq\frac{3}{s}\) must hold. Hence \(s\neq6\) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{2}{6}=\frac{n}{15}\) से (n=5) मिलता है। स्थिर अनुपात अलग है इसलिए युग्म असंगत है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{2}{6}=\frac{n}{15}\) gives (n=5). The constant ratio is different, so the pair is inconsistent.
अनंत हलों के लिए \(\frac{5}{15}=\frac{r+1}{18}=\frac{11}{33}\) चाहिए। इससे (r=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{5}{15}=\frac{r+1}{18}=\frac{11}{33}\) is needed. This gives (r=5).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{q}{15}\neq\frac{4}{10}\) होना चाहिए। इसलिए \(q\neq6\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{q}{15}\neq\frac{4}{10}\) must hold. Hence \(q\neq6\) is correct.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{5}{c}\neq\frac{1}{4}\) इसलिए \(c\neq20\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{4}\). For no solution, \(\frac{5}{c}\neq\frac{1}{4}\), so \(c\neq20\).
