Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
ऐसे युग्म ((2,6)) और ((5,6)) हैं जिनका गुणनफल (10) से अधिक है। शर्त वाले प्रश्नों में सभी संभव युग्मों को जल्दी जांचें। / The pairs are ((2,6)) and ((5,6)), whose products are greater than (10). In condition-based questions, quickly check all possible pairs.
ऐसे युग्म ((0,1)) और ((2,3)) हैं। अंतर वाले प्रश्नों में घटकों का क्रम बहुत ध्यान से रखें। / The pairs are ((0,1)) and ((2,3)). In difference questions, keep the order of components very carefully.
समान घटक वाले युग्म ((2,2)) और ((3,3)) हैं। ऐसे प्रश्नों में दोनों समुच्चयों के साझा तत्वों को देखें। / The equal-component pairs are ((2,2)) and ((3,3)). In such questions, look at common elements of both sets.
ऐसे युग्म ((2,1),(4,1),(4,3)) हैं। तुलना करते समय \(A\times B\) का पहला और दूसरा स्थान न बदलें। / The pairs are ((2,1),(4,1),(4,3)). During comparison, do not reverse the first and second positions of \(A\times B\).
दूसरा घटक हमेशा सम है, इसलिए हर गुणनफल सम होगा। कुल \(2\times 2=4\) युग्म हैं। / The second component is always even, so every product is even. There are \(2\times 2=4\) pairs in total.
पहला घटक हमेशा सम और दूसरा हमेशा विषम है, इसलिए हर योग विषम होगा। कुल \(2\times 2=4\) युग्म हैं। / The first component is always even and the second is always odd, so every sum is odd. There are \(2\times 2=4\) pairs in total.
ऐसे युग्म ((0,4)) और ((2,2)) हैं। शर्त वाले प्रश्न में पहले संभावित युग्मों को जांचें। / The pairs are ((0,4)) and ((2,2)). In condition-based questions, first check the possible pairs.
(B) का सबसे छोटा तत्व (4) है और पहला घटक (A) के (3) तत्वों से आ सकता है। निश्चित दूसरे घटक के लिए उत्तर (n(A)) होता है। / The smallest element of (B) is (4), and the first component can come from the (3) elements of (A). For a fixed second component, the answer is (n(A)).
(A) का सबसे बड़ा तत्व (6) है और यह (B) के (3) तत्वों से युग्म बनाएगा। निश्चित पहले घटक के लिए उत्तर (n(B)) है। / The largest element of (A) is (6), and it pairs with the (3) elements of (B). For a fixed first component, the answer is (n(B)).
(A) के तत्व पहले स्थान पर और (B) का (0) दूसरे स्थान पर आता है। कार्तीय गुणन को साधारण समुच्चय संघ न मानें। / Elements of (A) come in the first position and (0) from (B) comes in the second position. Do not treat Cartesian product as ordinary union.
दूसरा घटक (7) तय है और पहला घटक (A) के (2) या (5) से आएगा। दूसरे घटक की शर्त में पहला स्थान बदलता है। / The second component (7) is fixed and the first component comes from (2) or (5) in (A). With a second-component condition, the first position changes.
पहला घटक (रात) (A) से और दूसरा घटक (सर्दी) (B) से है। इसलिए यह \(A\times B\) का तत्व है। / The first component (night) is from (A) and the second component (winter\() is from (B). Therefore, it is an element of (A\times B).\)
((-1,3)) में पहला घटक \(-1\in A\) और दूसरा \(3\in B\) है। ऋणात्मक संख्या भी सामान्य तत्व की तरह जांची जाती है। / In ((-1,3)), the first component \(-1\in A\) and the second \(3\in B\). A negative number is checked like any ordinary element.
समान घटक वाले युग्म ((2,2),(4,4),(6,6)) हैं। पूरी संख्या (9) नहीं, केवल शर्त वाले युग्म गिनें। / The equal-component pairs are ((2,2),(4,4),(6,6)). Do not count all (9) pairs, count only the pairs satisfying the condition.
\(A=\{1,2,3\}\) और (B) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(3\times 2=6\)। पहले सेट-बिल्डर रूप को समझें। / \(A=\{1,2,3\}\) and (B) has (2) elements, so \(3\times 2=6\). First understand the set-builder form.
A. क्योंकि \(3\in A\) और \(4\in B\)/Because \(3\in A\) and \(4\in B\)
Explanation
Simple Explanation
((3,4)) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से है। यही \(A\times B\) की सदस्यता की शर्त है। / In ((3,4)), the first component is from (A) and the second is from (B). This is the membership condition for \(A\times B\).
कार्तीय गुणन के तत्व हमेशा क्रमित युग्म होते हैं। इसलिए उत्तर में ((x,y)) जैसा रूप जरूरी है। / Elements of Cartesian product are always ordered pairs. Therefore, a form like ((x,y)) is necessary in the answer.
दूसरा घटक (5) स्थिर है और पहला घटक (A) से (6) या (8) होगा। ऐसे प्रश्नों में तय घटक की जगह न बदलें। / The second component (5) is fixed and the first component is (6) or (8) from (A). In such questions, do not change the position of the fixed component.
पहला घटक (2) निश्चित है और दूसरा घटक (B) से (7) या (8) होगा। निश्चित पहले घटक के साथ दूसरे समुच्चय के सभी तत्व लगते हैं। / The first component (2) is fixed and the second component is (7) or (8) from (B). With a fixed first component, all elements of the second set are used.
(n\(B\times A\)=n(B)n(A)=1\times 4=4)। उल्टा गुणन भी संख्या में गुणा नियम ही देता है। / (n\(B\times A\)=n(B)n(A)=1\times 4=4). The reversed product also follows the multiplication rule for count.
नाश्ते के (3) और पेय के (2) विकल्प हैं, इसलिए \(3\times 2=6\) संयोजन बनेंगे। वास्तविक जीवन के चुनाव कार्तीय गुणन से गिने जा सकते हैं। / There are (3) breakfast options and (2) drink options, so \(3\times 2=6\) combinations are formed. Real-life choices can be counted using Cartesian product.
हर क्रमित युग्म एक बिंदु जैसा माना जा सकता है और कुल \(3\times 2=6\) युग्म हैं। निर्देशांक प्रश्नों में भी वही गिनती नियम प्रयोग करें। / Each ordered pair can be treated as a point and there are \(3\times 2=6\) pairs. Use the same counting rule in coordinate questions.
A. \(A\times B={(6,9)}\) और \(B\times A={(9,6)}\)/\(A\times B={(6,9)}\) and \(B\times A={(9,6)}\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में (6) पहले और (9) दूसरे स्थान पर है। \(B\times A\) में क्रम उल्टा हो जाता है। / In \(A\times B\), (6) is first and (9) is second. In \(B\times A\), the order is reversed.
(A) का हर तत्व (B) में है, इसलिए \(A\times D\) का हर युग्म \(B\times D\) में होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में संबंधित घटक देखें। / Every element of (A) is in (B), so every pair of \(A\times D\) will be in \(B\times D\). In subset questions, check the related component.
((1,0)) में \(1\notin A\) और \(0\notin B\), इसलिए यह \(A\times B\) में नहीं है। दोनों घटकों की सदस्यता जांचें। / In ((1,0)), \(1\notin A\) and \(0\notin B\), so it is not in \(A\times B\). Check membership of both components.
तीन समुच्चयों के गुणन में संख्या (n(A)n(B)n(C)) होती है। इसलिए \(2\times 2\times 1=4\)। / For the product of three sets, the count is (n(A)n(B)n(C)). Therefore, \(2\times 2\times 1=4\).
A. हां, क्योंकि \(5\in A\) और \(5\in B\)/Yes, because \(5\in A\) and \(5\in B\)
Explanation
Simple Explanation
पहला (5) (A) में और दूसरा (5) (B) में है, इसलिए युग्म सही है। समान घटक होना गलती नहीं है। / The first (5) is in (A) and the second (5) is in (B), so the pair is correct. Equal components are not an error.
क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदल जाता है। केवल समान स्थानों पर समान घटक हों तो युग्म बराबर होते हैं। / Changing positions changes an ordered pair. Ordered pairs are equal only when corresponding components are equal.
A. दोनों में (3) युग्म हैं पर युग्मों का क्रम अलग है/Both have (3) pairs but the order of components is different
Explanation
Simple Explanation
दोनों की संख्या \(3\times 1=3\) है, पर घटकों का क्रम उल्टा है। समान संख्या का अर्थ समान समुच्चय नहीं होता। / Both have count \(3\times 1=3\), but the order of components is reversed. Equal count does not mean equal sets.
दूसरा घटक (2) निश्चित है और पहला घटक (A) के (2) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। निश्चित दूसरे घटक पर संख्या (n(A)) होती है। / The second component (2) is fixed and the first component can be any of the (2) elements of (A). With a fixed second component, the count is (n(A)).
पहला घटक (4) निश्चित है और दूसरा घटक (B) के (2) तत्वों में से आएगा। निश्चित पहले घटक पर संख्या (n(B)) होती है। / The first component (4) is fixed and the second component comes from the (2) elements of (B). With a fixed first component, the count is (n(B)).
पहला घटक पहले समुच्चय ({12}) से आता है, इसलिए (x=12)। पहले स्थान को पहले समुच्चय से मिलाएं। / The first component comes from the first set ({12}), so (x=12). Match the first position with the first set.
दूसरा घटक दूसरे समुच्चय ({4}) से आता है, इसलिए (y=4)। घटक की स्थिति देखकर उत्तर निकालें। / The second component comes from the second set ({4}), so (y=4). Find the answer by checking the component position.
(A) खाली नहीं है, फिर भी गुणन खाली है, इसलिए (B) खाली होना चाहिए। खाली गुणन में कम से कम एक समुच्चय खाली होता है। / (A) is not empty and still the product is empty, so (B) must be empty. In an empty product, at least one set is empty.
(n(C)=3), इसलिए (n\(C\times C\)=3\times 3=9)। समान समुच्चय के साथ भी गुणा नियम लागू रहता है। / (n(C)=3), so (n\(C\times C\)=3\times 3=9). The multiplication rule applies even with the same set.
(B) खाली है, इसलिए कोई दूसरा घटक नहीं मिलेगा और कोई युग्म नहीं बनेगा। संख्या पूछी गई है, इसलिए (0) लिखें। / (B) is empty, so no second component is available and no pair is formed. Since count is asked, write (0).
\(24=6\times n(B)\), इसलिए (n(B)=4)। अज्ञात संख्या के लिए कुल युग्मों को ज्ञात संख्या से भाग दें। / \(24=6\times n(B)\), so (n(B)=4). For an unknown count, divide total pairs by the known count.
((6,3)) में पहला घटक (6) है, लेकिन \(6\notin A\)। गलत विकल्प पहचानने के लिए पहले घटक से जांच शुरू करें। / In ((6,3)), the first component is (6), but \(6\notin A\). To identify the wrong option, start by checking the first component.
समुच्चय में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए (A=B)। ध्यान रखें कि समुच्चय का क्रम और क्रमित युग्म का क्रम अलग बातें हैं। / The order of elements in a set is not important, so (A=B). Remember that order in a set and order in an ordered pair are different ideas.
(A) में (2) और (B) में (4) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 4=8\)। पहले तत्व गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / (A) has (2) elements and (B) has (4) elements, so \(2\times 4=8\). Counting elements first is the safest method.
क्रमित युग्मों की समानता में समान स्थानों के घटक बराबर होते हैं। इसलिए (a=9) और (b=12)। / In equality of ordered pairs, components in the same positions are equal. Hence (a=9) and (b=12).
परिभाषा में क्रमित युग्म ((x,y)) होता है, जहां \(x\in A\) और \(y\in B\)। यह सूत्र हर सूचीकरण प्रश्न में उपयोगी है। / The definition uses the ordered pair ((x,y)), where \(x\in A\) and \(y\in B\). This formula is useful in every listing question.
(B) में (3) और (A) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(3\times 2=6\)। क्रम बदलने से संख्या नहीं, केवल युग्मों का क्रम बदलता है। / (B) has (3) elements and (A) has (2) elements, so \(3\times 2=6\). Reversing order changes the pairs, not the count.
पहले घटक के लिए (R) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन खाली होता है। / There is no element in (R) for the first component, so no pair is formed. Cartesian product with an empty set is empty.
\(A\times B\) में दूसरा घटक हमेशा (B) से आता है। परीक्षा में दूसरे स्थान को दूसरे समुच्चय से मिलाएं। / In \(A\times B\), the second component always comes from (B). In exams, match the second position with the second set.
((7,8)) में \(7\in X\) और \(8\in Y\), इसलिए यह सही है। सदस्यता में दोनों घटकों की सही स्थिति देखें। / In ((7,8)), \(7\in X\) and \(8\in Y\), so it is correct. In membership, check the correct position of both components.
(8) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। एकल समुच्चय होने पर भी क्रम नहीं बदलता। / (8) stays in the first position and elements of (B) come in the second position. Order does not change even with a singleton set.
(n\(P\times Q\)=n(P)n(Q)=3\times 2=6)। कार्तीय गुणन में संख्या निकालने के लिए गुणा करें। / (n\(P\times Q\)=n(P)n(Q)=3\times 2=6). To find the number in Cartesian product, multiply.
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। पूरी सूची में \(2\times 2=4\) क्रमित युग्म होने चाहिए। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). The full list must have \(2\times 2=4\) ordered pairs.
