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पानीपत का पहला युद्ध 1526 में बाबर और इब्राहिम लोदी के बीच हुआ। परीक्षा में युद्ध और परिणाम साथ याद रखें। / The First Battle of Panipat was fought in 1526 between Babur and Ibrahim Lodi. For exams remember battles with outcomes.
A. तोपखाने और युद्ध संगठन का उपयोग/Use of artillery and battle formation
Explanation
Simple Explanation
बाबर ने तोपखाने और संगठित युद्ध पद्धति का लाभ उठाया। परीक्षा में युद्ध तकनीक का महत्व याद रखें। / Babur used artillery and organized battle tactics effectively. For exams, remember the importance of military technology.
A. तोपखाना और तुलुगमा पद्धति/Artillery and Tulughma method
Explanation
Simple Explanation
बाबर ने तोपखाने और तुलुगमा पद्धति का प्रभावी उपयोग किया। परीक्षा में बाबर की सैन्य सफलता के कारण याद रखें। / Babur effectively used artillery and the Tulughma method. For exams remember the reasons for Babur's military success.
बाबर ने पानीपत के प्रथम युद्ध में इब्राहिम लोदी को हराया। इसी से भारत में मुगल सत्ता की शुरुआत हुई। / Babur defeated Ibrahim Lodi in the First Battle of Panipat. This marked the beginning of Mughal power in India.
1526 में बाबर ने इब्राहिम लोदी को हराया। परीक्षा में इसे मुगल सत्ता की शुरुआत से जोड़ें। / In 1526 Babur defeated Ibrahim Lodi. Exam tip: connect it with the beginning of Mughal power.
B. तोपखाने का प्रभावी प्रयोग/Effective use of artillery
Explanation
Simple Explanation
बाबर ने तोपखाने और युद्धनीति का प्रभावी उपयोग किया। पानीपत के युद्ध में तकनीक की भूमिका महत्वपूर्ण थी। / Babur used artillery and tactics effectively. The role of military technology was important in the Battle of Panipat.
प्रथम पानीपत का युद्ध (1526) ईस्वी में हुआ था। परीक्षा में बाबर और इब्राहिम लोधी को साथ याद रखें। / The First Battle of Panipat was fought in (1526) CE. For exams, remember Babur and Ibrahim Lodi together.
C. भारत में मुगल सत्ता की शुरुआत/Beginning of Mughal power in India
Explanation
Simple Explanation
पानीपत के प्रथम युद्ध में बाबर ने इब्राहिम लोदी को हराया। इससे मुगल साम्राज्य की शुरुआत हुई। / In the First Battle of Panipat Babur defeated Ibrahim Lodi. This began the Mughal Empire.
पानीपत का तीसरा युद्ध 1761 में मराठों और अहमद शाह अब्दाली के बीच हुआ। परीक्षा में पानीपत के तीनों युद्धों को क्रम से याद करें। / The Third Battle of Panipat was fought in 1761 between the Marathas and Ahmad Shah Abdali. For exams remember all three Panipat battles in order.
पानीपत का दूसरा युद्ध 1556 में हुआ और अकबर की सत्ता मजबूत हुई। परीक्षा में तीनों पानीपत युद्धों की तिथियां अलग रखें। / The Second Battle of Panipat took place in 1556 and strengthened Akbar's power. For exams keep the dates of all three Panipat battles separate.
काबुली बाग मस्जिद बाबर की पानीपत विजय से जुड़ी मानी जाती है। परीक्षा में युद्ध स्मृति स्मारकों को शासक से जोड़ें। / Kabuli Bagh Mosque is considered linked with Babur's victory at Panipat. For exams connect victory monuments with rulers.
A. तोपखाने और तुलुगमा का प्रयोग/Use of artillery and tulughma
Explanation
Simple Explanation
बाबर ने तोपखाने और तुलुगमा जैसी रणनीति का उपयोग किया। पानीपत को भारतीय सैन्य इतिहास में तकनीकी बदलाव से जोड़ें। / Babur used artillery and tactics such as tulughma. Link Panipat with technological change in Indian military history.
C. भारत में मुगल सत्ता की शुरुआत/Beginning of Mughal power in India
Explanation
Simple Explanation
पानीपत के प्रथम युद्ध में बाबर ने इब्राहिम लोदी को हराया। इससे मुगल साम्राज्य की शुरुआत हुई। / Babur defeated Ibrahim Lodi in the First Battle of Panipat. This marked the beginning of the Mughal Empire.
D. इसने युद्ध में बाबर को तकनीकी बढ़त दी/It gave Babur a technical advantage in battle
Explanation
Simple Explanation
पानीपत के प्रथम युद्ध में बाबर की सैन्य तकनीक महत्वपूर्ण रही। इसे मुगल सत्ता की शुरुआत से जोड़ें। / Babur's military technology was important in the First Battle of Panipat. Link it with the beginning of Mughal power.
पानीपत के द्वितीय युद्ध में अकबर की ओर से बैरम खान ने नेतृत्व किया। यह अकबर के प्रारंभिक शासन का प्रमुख युद्ध था। / In the Second Battle of Panipat Akbar's side was led by Bairam Khan. It was a major battle of Akbar's early reign.
तीसरे पानीपत युद्ध में मराठों का सामना अहमद शाह अब्दाली से हुआ। परीक्षा में (1761) ईस्वी को याद रखें। / In the Third Battle of Panipat, the Marathas faced Ahmad Shah Abdali. For exams, remember (1761) CE.
तीसरा पानीपत युद्ध (1761) ईस्वी में हुआ था। परीक्षा में इसे मराठों और अहमद शाह अब्दाली से जोड़ें। / The Third Battle of Panipat was fought in (1761) CE. For exams, connect it with the Marathas and Ahmad Shah Abdali.
द्वितीय पानीपत का युद्ध (1556) ईस्वी में हुआ था। परीक्षा में इसे अकबर और हेमू से जोड़ें। / The Second Battle of Panipat was fought in (1556) CE. For exams, connect it with Akbar and Hemu.
A. इसने लोदी सेना की पारंपरिक युद्ध शैली को तोड़ा/It broke the traditional fighting style of the Lodi army
Explanation
Simple Explanation
तोपखाने और गाड़ीबंदी ने बाबर को सामरिक बढ़त दी। परीक्षा में पानीपत 1526 को सैन्य तकनीक से जोड़ें। / Artillery and cart defense gave Babur a tactical advantage. Exam tip is to link Panipat 1526 with military technology.
बाबर ने प्रथम पानीपत युद्ध में इब्राहिम लोधी को हराया। परीक्षा में इस युद्ध को मुगल शासन की शुरुआत से जोड़ें। / Babur defeated Ibrahim Lodi in the First Battle of Panipat. For exams, connect this battle with the beginning of Mughal rule.
A. बारूदी तकनीक और संगठित रणकौशल का बढ़ता महत्व/Growing importance of gunpowder technology and organized tactics
Explanation
Simple Explanation
बाबर ने तोपखाने और युद्ध विन्यास से बढ़त पाई। इसे मुगल सत्ता के उदय से जोड़ें। / Babur gained advantage through artillery and battle formation. Link it with the rise of Mughal power.
A. तोपखाने और रणनीति ने पारंपरिक सेना पर बढ़त दी/Artillery and strategy gave an advantage over a traditional army
Explanation
Simple Explanation
बाबर ने तोपखाने और तुलुगमा जैसी रणनीति से बढ़त पाई। इसे मुगल सत्ता की शुरुआत से जोड़ें। / Babur gained advantage through artillery and tactics such as tulughma. Link it with the beginning of Mughal power.
A. इसने युद्ध में तकनीकी बढ़त दी/It gave a technical advantage in battle
Explanation
Simple Explanation
बाबर ने पानीपत के प्रथम युद्ध में तोपखाने और नई युद्ध तकनीक का उपयोग किया। इससे मुगल सत्ता की शुरुआत हुई। / Babur used artillery and new battle techniques in the First Battle of Panipat. This began Mughal power.
बाबर ने पानीपत के प्रथम युद्ध में तोपखाने और नई युद्ध तकनीक का उपयोग किया। इससे मुगल सत्ता की शुरुआत हुई। / Babur used artillery and new battle techniques in the First Battle of Panipat. This began Mughal power.
1556 में बैरम खान के नेतृत्व में अकबर की सेना ने हेमू को हराया। परीक्षा में इस युद्ध को अकबर की सत्ता मजबूत होने से जोड़ें। / In 1556 Akbar's army under Bairam Khan defeated Hemu. Exam tip is to connect this battle with the strengthening of Akbar's power.
B. मुगल साम्राज्य की स्थापना/Establishment of the Mughal Empire
Explanation
Simple Explanation
1526 में पानीपत की पहली लड़ाई में इब्राहिम लोदी की हार से मुगल सत्ता का आरंभ हुआ। परीक्षा में युद्ध और परिणाम साथ याद करें। / Ibrahim Lodi's defeat in the First Battle of Panipat in 1526 began Mughal rule. For exams remember battles with their outcomes.
इब्राहिम लोधी (1526) ईस्वी में प्रथम पानीपत युद्ध में हार गया। परीक्षा में इसे मुगल सत्ता की शुरुआत से जोड़ें। / Ibrahim Lodi was defeated in the First Battle of Panipat in (1526) CE. For exams, connect it with the beginning of Mughal power.
(3000=15(a+150)) से (a=50) मिलता है। (n)वें पद को पहले (n) पदों का अंतिम पद मानें। / From (3000=15(a+150)), (a=50). Treat the (n)th term as the last term of the first (n) terms.
(1625=\frac{25}{2}(a+113)) से (a=17) मिलता है। (n)वें पद को पहले (n) पदों का अंतिम पद मानें। / From (1625=\frac{25}{2}(a+113)), (a=17). Treat the (n)th term as the last term of the first (n) terms.
(740=10(a+60)) से (a=14) मिलता है। जब (n)वाँ पद दिया हो तो उसे अंतिम पद की तरह इस्तेमाल करें। / From (740=10(a+60)), (a=14). When the (n)th term is given, use it as the last term for the first (n) terms.
A. मध्यकालीन युद्ध में नई सैन्य तकनीक का बढ़ता महत्व/Growing importance of new military technology in medieval warfare
Explanation
Simple Explanation
बाबर ने तोपखाने और रणकौशल से बढ़त पाई। इसे मुगल सत्ता के उदय से जोड़ें। / Babur gained advantage through artillery and tactics. Link it with the rise of Mughal power.
A. इससे पारंपरिक सेना पर नई सैन्य तकनीक की बढ़त दिखी/It showed the advantage of new military technology over a traditional army
Explanation
Simple Explanation
बाबर ने तोपखाने और रणकौशल से बढ़त पाई। इसे भारत में मुगल सत्ता की शुरुआत से जोड़ें। / Babur gained advantage through artillery and tactics. Link it with the beginning of Mughal power in India.
A. इसने इब्राहिम लोदी की पारंपरिक सेना पर तकनीकी बढ़त दी/It gave a technical advantage over Ibrahim Lodi's traditional army
Explanation
Simple Explanation
बाबर ने नई सैन्य तकनीक और रणकौशल का उपयोग किया। इसे मुगल सत्ता की शुरुआत से जोड़ें। / Babur used new military technology and strategy. Link it with the beginning of Mughal power.
\(0=\frac{25}{2}[192+24d]\) से (d=-8) मिलता है। परीक्षा में शून्य योग वाले प्रश्नों में कोष्ठक को शून्य रखें। / From \(0=\frac{25}{2}[192+24d]\), (d=-8). Exam tip: in zero-sum questions, set the bracket equal to zero.
अंतिम पद (134) होगा इसलिए \(d=\frac{134-18}{29}=4\)। परीक्षा में औसत को प्रथम और अंतिम पद के औसत से जोड़ें। / The last term is (134), so \(d=\frac{134-18}{29}=4\). Exam tip: connect the average with the average of first and last terms.
(824=8[28+15d]) से (d=5) मिलता है। परीक्षा में ज्ञात (n) के साथ सीधे (d) के लिए हल करें। / From (824=8[28+15d]), (d=5). Exam tip: solve directly for (d) when (n) is known.
अंतिम पद (158) होगा इसलिए \(d=\frac{158-2}{39}=4\)। परीक्षा में औसत को प्रथम और अंतिम पद के औसत से जोड़ें। / The last term is (158), so \(d=\frac{158-2}{39}=4\). Exam tip: connect the average with the average of first and last terms.
(345=5[24+9d]) से (d=5) मिलता है। परीक्षा में ज्ञात (n) के साथ सीधे (d) के लिए हल करें। / From (345=5[24+9d]), (d=5). Exam tip: solve directly for (d) when (n) is known.
मानें \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\) और दो योगों से (a=7), (d=6) मिलते हैं इसलिए \(S_{27}=2295\)। परीक्षा में \(S_n\) को (n) के द्विघात रूप में लिखना उपयोगी है। / Let \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\). The two sums give (a=7), (d=6), so \(S_{27}=2295\); exam tip: write \(S_n\) as a quadratic in (n).
(999=9(13+l)) से (l=98) मिलता है। परीक्षा में (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) सबसे छोटा तरीका है। / From (999=9(13+l)), (l=98). Exam tip: (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) is the shortest method here.
(315=5[36+9d]) से (d=3) मिलता है। परीक्षा में (n) ज्ञात होने पर सूत्र को सीधे (d) के लिए हल करें। / From (315=5[36+9d]), (d=3). Exam tip: when (n) is known, solve the sum formula directly for (d).
(1128=6[2x+11(3x-2)]) से (x=6) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) स्पष्ट लिखें। / From (1128=6[2x+11(3x-2)]), (x=6). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
\(S_{33}=4983\) और \(S_{34}=5287\), इसलिए पहली बार (34) पदों पर योग (5000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{33}=4983\) and \(S_{34}=5287\), so the sum first exceeds (5000) at (34) terms. In such questions, also check the previous sum.
(445=5[2x+9(2x+1)]) से (x=4) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) स्पष्ट लिखें। / From (445=5[2x+9(2x+1)]), (x=4). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
\(S_{25}=2800\) और \(S_{26}=3029\), इसलिए पहली बार (26) पदों पर योग (3000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{25}=2800\) and \(S_{26}=3029\), so the sum first exceeds (3000) at (26) terms. In such questions, also check the previous sum.
(365=5[2x+9(x+2)]) से (x=5) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) को साफ लिखें। / From (365=5[2x+9(x+2)]), (x=5). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
\(S_{17}=986\) और \(S_{18}=1107\), इसलिए पहली बार (18) पदों पर योग (1000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{17}=986\) and \(S_{18}=1107\), so the sum first exceeds (1000) at (18) terms. In such questions, also check the previous sum.
(441=9[6+17d]) से (d=3) आता है। अज्ञात (d) वाले प्रश्नों में पहले दोनों पक्षों को सरल करें। / From (441=9[6+17d]), (d=3). In questions with unknown (d), simplify both sides first.
(780=10[10+19d]) से (d=4) मिलता है। योग और पहला पद दिए हों तो सार्व अंतर सीधे निकाला जा सकता है। / From (780=10[10+19d]), (d=4). When sum and first term are given, the common difference can be found directly.
(912=\frac{12}{2}(18+l)) से (l=134)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी परीक्षा में आता है। / From (912=\frac{12}{2}(18+l)), (l=134). Using the sum formula in reverse also appears in exams.
शेष योग \(28\times29-11\times12=680\) है। सम संख्याओं के योग के लिए (n(n+1)) लगाएँ। / The remaining sum is \(28\times29-11\times12=680\). Use (n(n+1)) for the sum of even numbers.
शेष योग \(26^2-14^2=480\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का प्रयोग करें। / The remaining sum is \(26^2-14^2=480\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
शेष योग \(24\times25-9\times10=510\) नहीं बल्कि (600-90=510) है, इसलिए दिए विकल्प गलत हैं। प्रश्न आयात से पहले सुधारें। / The remaining sum is \(24\times25-9\times10=510\), not any listed option. This question should be corrected before import.
(203=\frac{7}{2}(5+l)) से (l=53)। योग से अंतिम पद निकालने में (a+l) को अलग करें। / From (203=\frac{7}{2}(5+l)), (l=53). To find the last term from the sum, isolate (a+l).
शेष योग \(18^2-10^2=224\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का उपयोग करें। / The remaining sum is \(18^2-10^2=224\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
(456=\frac{12}{2}(8+l)) से (l=68)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी जरूरी कौशल है। / From (456=\frac{12}{2}(8+l)), (l=68). Using the sum formula in reverse is also an important skill.
छठे से दसवें पदों का योग (145-45=100) है। कुल योग में से पहले भाग का योग घटाएँ। / The sum of the (6)th to (10)th terms is (145-45=100). Subtract the first part from the total sum.
(140=\frac{7}{2}(5+l)) से (l=35)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी सीखें। / From (140=\frac{7}{2}(5+l)), (l=35). Learn to use the sum formula in reverse too.
(1788=12(2x+115)) से (x=17) मिलता है। परीक्षा में चर वाले प्रथम पद को सीधे सूत्र में रखें। / From (1788=12(2x+115)), (x=17). Exam tip: put the variable first term directly into the formula.
समीकरण से (4n+26=6n+6) मिलता है इसलिए (n=10)। परीक्षा में दोनों योगों में सामान्य \(\frac{n}{2}\) को सरल करें। / The equation gives (4n+26=6n+6), so (n=10). Exam tip: simplify the common \(\frac{n}{2}\) in both sums.
(S_{18}=9[-24+17(7)]=855) है। परीक्षा में ऋणात्मक प्रथम पद होने पर भी वही सूत्र लगाएं। / (S_{18}=9[-24+17(7)]=855). Exam tip: use the same formula even when the first term is negative.
(999=9[2a+85]) से (a=13) मिलता है। परीक्षा में पहले दोनों ओर को (n/2) से भाग दें। / From (999=9[2a+85]), (a=13). Exam tip: first divide both sides by (n/2).
\(S_{24}=1476\) और \(S_{25}=1600\) है इसलिए पहली बार (n=25) पर योग (1500) से अधिक होगा। परीक्षा में सीमा वाले प्रश्नों में पास के पूर्णांक जांचें। / \(S_{24}=1476\) and \(S_{25}=1600\), so the sum first exceeds (1500) at (n=25). Exam tip: check nearby integers in boundary questions.
(S_{24}=\frac{24}{2}[144+23(-4)]=624) है। परीक्षा में ऋणात्मक सार्व अंतर का चिन्ह सावधानी से रखें। / (S_{24}=\frac{24}{2}[144+23(-4)]=624). Exam tip: handle the negative common difference carefully.
(S_{28}=\frac{28}{2}[30+27(6)]=2688) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / (S_{28}=\frac{28}{2}[30+27(6)]=2688). Exam tip: simplify the bracket first.
(777=7(a+96)) से (a=15) मिलता है। परीक्षा में अंतिम पद और योग से प्रथम पद निकालें। / From (777=7(a+96)), (a=15). Exam tip: use the last term and sum to find the first term.
अंतिम पद (25+19(-2)=-13) है इसलिए औसत \(\frac{25-13}{2}=6\) है। परीक्षा में औसत प्रथम और अंतिम पद का औसत होता है। / The last term is (25+19(-2)=-13), so the average is \(\frac{25-13}{2}=6\). Exam tip: the average is the average of first and last terms.
(336=6(a+51)) से (a=5) मिलता है। परीक्षा में अंतिम पद और योग से प्रथम पद तुरंत निकलता है। / From (336=6(a+51)), (a=5). Exam tip: use last term and sum to get the first term quickly.
(S_{22}=\frac{22}{2}[26+21(7)]=1903) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / (S_{22}=\frac{22}{2}[26+21(7)]=1903). Exam tip: simplify the bracket first.
(S_{15}=\frac{15}{2}[130+14(-5)]=450) है। परीक्षा में ऋणात्मक सार्व अंतर का चिन्ह सावधानी से रखें। / (S_{15}=\frac{15}{2}[130+14(-5)]=450). Exam tip: handle the negative common difference carefully.
(S_{30}=\frac{30}{2}[18+29(4)]=2010) मिलता है। परीक्षा में कोष्ठक को पहले सरल करें। / (S_{30}=\frac{30}{2}[18+29(4)]=2010). Exam tip: simplify the bracket first.
\(a_1=S_1=9\) और \(a_2=S_2-S_1=13\) इसलिए (d=4) और (a+d=13)। परीक्षा में \(S_1\) और \(S_2-S_1\) से शुरुआत करें। / \(a_1=S_1=9\) and \(a_2=S_2-S_1=13\), so (d=4) and (a+d=13). Exam tip: start with \(S_1\) and \(S_2-S_1\).
(S_{25}=\frac{25}{2}[84+24(-3)]) से योग (150) है। परीक्षा में ऋणात्मक सार्व अंतर का चिन्ह जरूर संभालें। / (S_{25}=\frac{25}{2}[84+24(-3)]), so the sum is (150). Exam tip: handle the negative sign of the common difference carefully.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से (516=6(a+75)) इसलिए (a=11)। परीक्षा में अंतिम पद दिया हो तो (a+l) वाला सूत्र तेज होता है। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), (516=6(a+75)), so (a=11). Exam tip: when the last term is given, use the (a+l) form.
दिए गए सूत्र में (n=15) रखने पर (S_{15}=3(15)2+2(15)=705)। परीक्षा में दिए गए \(S_n\) में सीधे (n) रखें। / Substituting (n=15) gives (S_{15}=3(15)2+2(15)=705). Exam tip: when \(S_n\) is given directly, substitute (n) first.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) लगाने पर (n=24) मिलता है। परीक्षा में पहले समीकरण को सरल वर्ग समीकरण में बदलें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) gives (n=24). Exam tip: first reduce the equation to a simple quadratic.
\(S_{42}=9975\) और \(S_{43}=10449\), इसलिए पहली बार (43) पदों पर योग (10000) से अधिक है। पिछले योग की जाँच जरूर करें। / \(S_{42}=9975\) and \(S_{43}=10449\), so the sum first exceeds (10000) at (43) terms. Always check the previous sum.
शर्त से (6+13d=3(6+3d)), इसलिए (d=3) और \(S_{30}=1485\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (6+13d=3(6+3d)), so (d=3) and \(S_{30}=1485\). Convert the term condition into an equation first.
\(7350=\frac{n}{2}\times420\) से (n=35) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं है। / From \(7350=\frac{n}{2}\times420\), (n=35). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
(4290=13[2a+275]) से \(a=\frac{55}{2}\) मिलता है। अज्ञात पहले पद वाले प्रश्नों में कोष्ठक को पहले सरल करें। / From (4290=13[2a+275]), \(a=\frac{55}{2}\). In unknown-first-term questions, simplify the bracket first.
शर्तों से (a=8) और (d=7) मिलते हैं, इसलिए \(S_{16}=968\) है। दिए गए पद और योग को दो समीकरणों में बदलें। / The conditions give (a=8) and (d=7), so \(S_{16}=968\). Convert the given term and sum into two equations.
शर्त से (5+11d=4(5+2d)), इसलिए (d=5) और \(S_{20}=1050\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (5+11d=4(5+2d)), so (d=5) and \(S_{20}=1050\). Convert the term condition into an equation first.
\(5780=\frac{n}{2}\times340\) से (n=34) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं होती। / From \(5780=\frac{n}{2}\times340\), (n=34). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
(2450=10[2a+171]) से (a=37) मिलता है। अज्ञात पहले पद के लिए समीकरण को साफ-साफ सरल करें। / From (2450=10[2a+171]), (a=37). For an unknown first term, simplify the equation clearly.
शर्तों से (a=18) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{14}=707\) है। दिए गए पद और योग को दो समीकरणों में बदलें। / The conditions give (a=18) and (d=5), so \(S_{14}=707\). Convert the given term and sum into two equations.
शर्त से (6+8d=2(6+3d)), इसलिए (d=3) और \(S_{25}=1050\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (6+8d=2(6+3d)), so (d=3) and \(S_{25}=1050\). Convert the term condition into an equation first.
\(4160=\frac{n}{2}\times260\) से (n=32) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं होती। / From \(4160=\frac{n}{2}\times260\), (n=32). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
(1512=9[2a+102]) से (a=33) मिलता है। अज्ञात पहले पद के लिए समीकरण को साफ-साफ सरल करें। / From (1512=9[2a+102]), (a=33). For an unknown first term, simplify the equation clearly.
शर्तों से (a=6) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{12}=402\)। दिए गए पद और योग को दो समीकरणों में बदलें। / The conditions give (a=6) and (d=5), so \(S_{12}=402\). Convert the given term and sum into two equations.
शर्त से (4+7d=3(4+2d)), इसलिए (d=8) और \(S_{12}=576\)। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (4+7d=3(4+2d)), so (d=8) and \(S_{12}=576\). Convert the term condition into an equation first.
\(1800=\frac{n}{2}\times150\) से (n=24) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं है। / From \(1800=\frac{n}{2}\times150\), (n=24). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
(1176=8[2a+105]) से (a=21) मिलता है। अज्ञात पहले पद के लिए समीकरण को धीरे-धीरे सरल करें। / From (1176=8[2a+105]), (a=21). For an unknown first term, simplify the equation step by step.
(S_{19}=\frac{19}{2}(14+104)=1121)। पहला और अंतिम पद दिए हों तो (d) निकालना जरूरी नहीं है। / (S_{19}=\frac{19}{2}(14+104)=1121). When first and last terms are given, finding (d) is not necessary.
यहाँ (a=1), (d=3), (n=30), इसलिए \(S_{30}=1335\)। छोटे पहले पद के कारण भी योग बड़ा हो सकता है। / Here (a=1), (d=3), (n=30), so \(S_{30}=1335\). Even with a small first term, the sum can be large.
सूत्र में (a=15), (d=4), (n=18) रखने पर \(S_{18}=882\) मिलता है। पहले तीन पदों से (d) जरूर जाँचें। / Putting (a=15), (d=4), (n=18) in the formula gives \(S_{18}=882\). Always check (d) from the first three terms.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से योग (350) आता है। जब अंतिम पद दिया हो तो यह सूत्र जल्दी काम करता है। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), the sum is (350). When the last term is given, this formula is faster.
यहाँ (a=-5), (d=3), (n=30), इसलिए योग (1155) है। ऋणात्मक पहले पद के साथ भी वही सूत्र लागू होता है। / Here (a=-5), (d=3), (n=30), so the sum is (1155). The same formula works even with a negative first term.
