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\(\arcsin x\) अपने क्षेत्र ([-1,1]) पर बढ़ता है। / \(\arcsin x\) is increasing on its domain ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
समान \(\arcsin\) मान होने पर आगत समान होगा। / Equal \(\arcsin\) values imply equal inputs.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम फलन बनने के लिए मूल फलन को एकैकी क्षेत्र पर सीमित किया जाता है। / To make an inverse function, the original function is restricted to a one-one domain.
यदि \(\theta=\sin^{-1}x\) लिया जाए तो \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) और \(\sin\theta=x\). उसी मुख्य शर्त में \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\) (धनात्मक शून्य के साथ) और इसलिए
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).
इसलिए \(\tan^{-1}\big(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\big)=\theta=\sin^{-1}x\) परन्तु केवल तब जब \(\sqrt{1-x^2}\neq0\) और \(\sin^{-1}x\) परिभाषित हो, अर्थात् \(-1<x<1\). यदि \(x=\pm1\) तो हरास्पद भाग में हर (denominator) शून्य हो जाता है और अभिव्यक्ति अव्याख्येय है (सीमाएँ ±\(\tfrac{\pi}{2}\) देती हैं किंतु समानता वास्तविक रूप से परिभाषित नहीं)। \(|x|>1\) पर \(\sin^{-1}x\) ही परिभाषित नहीं है। परीक्षा टिप: inverse त्रिकोणमितीय पहचानें लिखते समय principal-value रेंज और sqrt के संकेत पर ध्यान दें — cos का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है। / Let \(\theta=\sin^{-1}x\) so that \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) and \(\sin\theta=x\). In this principal range \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\) (nonnegative), hence
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).
Thus \(\tan^{-1}\big(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\big)=\theta=\sin^{-1}x\) provided \(\sqrt{1-x^2}\neq0\) and \(\sin^{-1}x\) is defined — i.e. \(-1<x<1\). At \(x=\pm1\) the denominator is zero (the expression is not defined even though the limit gives ±\(\tfrac{\pi}{2}\)), and for \(|x|>1\) the left side \(\sin^{-1}x\) is not defined. Exam tip: always check domains and principal-value ranges when equating inverse trig functions; note the sign of the square root in the principal interval.
\(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और यह मुख्य परिसर में है। इसलिए \(-\frac{\pi}{3}\) सही है। / Since \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) and it lies in the principal range. Therefore \(-\frac{\pi}{3}\) is correct.
हर \(x\in\left[-1,1\right]\) के लिए \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\)। यहां \(x=\frac{2}{3}\) मान्य है। / For every \(x\in\left[-1,1\right]\), \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Here \(x=\frac{2}{3}\) is valid.
\(\sin^{-1}x=\frac{\pi}{4}\) से \(x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)। प्रतिलोम को सामान्य त्रिकोणमितीय रूप में बदलें। / From \(\sin^{-1}x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Convert the inverse form into the normal trigonometric form.
\(\sin^{-1}x\) अपने पूरे प्रांत \(\left[-1,1\right]\) पर बढ़ता है। यह \(\sin x\) की चुनी गई शाखा से मिलता है। / The function \(\sin^{-1}x\) is increasing on its whole domain \(\left[-1,1\right]\). This matches the chosen branch of \(\sin x\).
\(\sin^{-1}x\) विषम फलन है, इसलिए (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x)। विषम और सम गुणों को अलग रखें। / The function \(\sin^{-1}x\) is odd, so (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x). Keep odd and even properties separate.
जब \(\frac{3}{5}\in\left[-1,1\right]\), तब (\sin\left\(\sin^{-1}x\right\)=x)। अंदर का मान प्रांत में है या नहीं पहले देखें। / When \(\frac{3}{5}\in\left[-1,1\right]\), (\sin\left\(\sin^{-1}x\right\)=x). First check whether the inside value lies in the domain.
A. \(x=\sin y,\ y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}\) का अर्थ है वह कोण (y) जिसके लिए \(\sin y=x\)। साथ में मुख्य मान का परिसर भी जरूरी है। / The meaning of \(\sin^{-1}\) is the angle (y) for which \(\sin y=x\). The principal range must also be included.
\(\sin^{-1}x\) का परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) होता है और \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)। परीक्षा में हमेशा मुख्य मान परिसर याद रखें। / The range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) and \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). Always remember the principal range in exams.
क्योंकि \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) है। मानक कोणों के मान परीक्षा में बहुत उपयोगी होते हैं। / Because \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Standard angle values are very useful in exams.
\(\sin^{-1}x\) की सीमा \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) है। \(\frac{2\pi}{3}\) इस सीमा के बाहर है। / The range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). The value \(\frac{2\pi}{3}\) lies outside this range.
A. \(\sin y=x\) और \(y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)/\(\sin y=x\) and \(y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ है \(\sin y=x\) और (y) प्रधान सीमा में है। उल्टे फलन को परिभाषा से समझना सबसे सुरक्षित तरीका है। / The statement \(y=\sin^{-1}x\) means \(\sin y=x\) and (y) lies in the principal range. Understanding inverse functions by definition is the safest method.
\(\sin^{-1}x\) विषम फलन है इसलिए (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x)। चिन्ह बदलने वाले प्रश्नों में यह पहचान उपयोगी है। / The function \(\sin^{-1}x\) is odd, so (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x). This identity is useful in sign-change questions.
दोनों तरफ \(\sin\) लेने पर \(x=\sin\frac{\pi}{2}=1\) मिलता है। यह \(\sin^{-1}x\) का अधिकतम प्रधान मान है। / Taking \(\sin\) on both sides gives \(x=\sin\frac{\pi}{2}=1\). This is the maximum principal value of \(\sin^{-1}x\).
दोनों तरफ \(\sin\) लेने पर \(x=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) मिलता है। उल्टे फलन में कोण से मूल मान निकालें। / Taking \(\sin\) on both sides gives \(x=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). In inverse functions convert the angle back to the original value.
हर \(x\in[-1,1]\) के लिए \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। यह पहचान अक्सर सीधे उपयोग होती है। / For every \(x\in[-1,1]\), \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). This identity is often used directly.
\(\sin x\) का मान केवल ([-1,1]) में आता है इसलिए \(\sin^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। परीक्षा में पहले डोमेन जरूर जांचें। / The value of \(\sin x\) lies only in ([-1,1]) so the domain of \(\sin^{-1}x\) is ([-1,1]). In exams check the domain first.
\(\sin^{-1}0=0\), इसलिए ग्राफ \(\left(0,0\right)\) से गुजरता है। ग्राफ में मूल मान उपयोगी होते हैं। / Since \(sin^{-1}0=0\), the graph passes through \(\left(0,0\right)\). Basic values are useful in graph questions.
कोण \((-\frac{\pi}{4}) (\sin^{-1}x)\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए मान \(-\frac{\pi}{4}\) है। / The angle \(-\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range of \(\sin^{-1}x\). Hence the value is \(-\frac{\pi}{4}\).
\(\theta) मुख्य परिसर में है और (\sin\theta=\frac{5}{13}\) है। इसलिए समकोण त्रिभुज से \(\cos\theta=\frac{12}{13}\)। / Here \(\theta\) is in the principal range and \(\sin\theta=\frac{5}{13}\). From a right triangle, \(\cos\theta=\frac{12}{13}\).
\(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\) का अर्थ \(sin\theta=\frac{3}{5}\) है। परिभाषा को सीधे लगाएं। / The statement \(\theta=sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\) means \(sin\theta=\frac{3}{5}). Apply the definition directly.
\(\sin^{-1}x\) एक विषम फलन है जिसका अर्थ है कि \(\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x\) हर उस \(x\) के लिए जो \([-1,1]\) में है। इसलिए सही उत्तर \(-\sin^{-1}x\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह समानता केवल तब सही होती अगर फलन सम होता (जो कि यह नहीं है)। विकल्प C और D संबंधित हैं: \(\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}x\) है, पर यह \(\sin^{-1}(-x)\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी त्रिकोणमितीय व्युत्क्रमानुक्रमी फलन के विषम/सम गुण को याद रखें — अक्सर \(f(-x)=-f(x)\) या \(f(-x)=f(x)\) से उत्तर जल्दी मिल जाता है। / The function \(\sin^{-1}x\) (arcsin) is odd, meaning \(\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x\) for all \(x\in[-1,1]\). Hence the correct choice is \(-\sin^{-1}x\). Option B is incorrect because that would require the function to be even. Options C and D are related identities (\(\cos^{-1}x=\tfrac{\pi}{2}-\sin^{-1}x\)) but do not equal \(\sin^{-1}(-x)\). Exam tip: check odd/even properties of inverse trig functions first — they often give the quickest justification.
याद रखें कि सामान्य पहचान है \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}\) जब \(x\in[-1,1]\)। यहाँ \(x=\tfrac{4}{5}\) है जो इस क्षेत्र में आता है, अतः \(\cos^{-1}\tfrac{4}{5}+\sin^{-1}\tfrac{4}{5}=\dfrac{\pi}{2}\)। निकटभ्रम के लिए: \(\tfrac{\pi}{6}\) इसलिए गलत है क्योंकि वह 30° है जबकि वास्तविक योग 90° है। परीक्षा टिप: कोई भी \(x\) के लिए पहले डोमेन जाँच लें और फिर पहचान लागू करें। / Use the identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}\) valid for \(x\in[-1,1]\). Here \(x=4/5\) lies in the domain, so the sum equals \(\dfrac{\pi}{2}\). Why other options fail: \(\frac{\pi}{6}\) (30°) is not the complement of the corresponding angles here, and \(\frac{3\pi}{2}\) or 0 are clearly inconsistent with principal values of arcsin/arccos. Exam tip: memorize the complementary identity and always check the domain before applying it.
क्योंकि \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(\sin^{-1}x\) का principal मान क्षेत्र \([-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}]\) है, अतः \(\sin^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\)। विकल्प -\(\frac{\pi}{3}\) गलत है क्योंकि \(\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)। \(\frac{\pi}{6}\) और \(\frac{\pi}{4}\) के साइन क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) होते हैं, इसलिए वे उपयुक्त नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: सामान्य कोणों के \(\sin,\cos\) मान याद रखें। / Since \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) and the principal value of \(\sin^{-1}x\) lies in \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), we have \(\sin^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). The option \(-\frac{\pi}{3}\) is incorrect because \(\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\). \(\frac{\pi}{6}\) and \(\frac{\pi}{4}\) are wrong as their sines are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) respectively. Exam tip: memorize standard sine/cosine values for common angles (0, \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{2}\)).
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) होता है। इसलिए (\sin^{-1}\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\pi}{6})। / Since \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\), (\sin^{-1}\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\pi}{6}).
\(\sin^{-1}x\) वह कोण है (मुख्य मान) \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) जिसके लिए \(\sin y=x\) होता है। इसलिए \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) जब \(x\in[-1,1]\)। विकल्प "-x" भ्रम पैदा कर सकता है, पर सिद्धांततः \(\sin^{-1}x\) साइन को उलटकर नहीं बदलता, अतः "-x" गलत है। परिक्षा-सूत्र: हमेशा क्षेत्र (domain) \([-1,1]\) और principal value की सीमा \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) याद रखें। / By definition, \(\sin^{-1}x\) is the principal angle \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) such that \(\sin y=x\). Hence \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) for all \(x\in[-1,1]\). The distractor "-x" is incorrect because taking \(\sin^{-1}\) returns the angle whose sine is exactly \(x\), not its negative. Exam tip: always check the domain \([-1,1]\) of \(\sin^{-1}x\) and remember the principal value range of arcsin when composing functions.
\(\sin^{-1}x\) वह कोण देता है जिसका \(\sin\) मान (x) हो। इसलिए \(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ \(\sin y=x\) है। / The expression \(\sin^{-1}x\) gives the angle whose \(\sin\) value is (x). So \(y=\sin^{-1}x\) means \(\sin y=x\).
(\sin\left\(-\frac{\pi}{2}\right\)=-1) होता है। इसलिए (\sin^{-1}\left\(-1\right\)=-\frac{\pi}{2})। / We have (\sin\left\(-\frac{\pi}{2}\right\)=-1). Hence (\sin^{-1}\left\(-1\right\)=-\frac{\pi}{2}).
\(\sin\frac{\pi}{2}=1\) और \(\frac{\pi}{2}\) मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{\pi}{2}\) है। / Since \(\sin\frac{\pi}{2}=1\) and \(\frac{\pi}{2}\) is in the principal range, the answer is \(\frac{\pi}{2}\).
\(\sin y\) के मान केवल \(\left[-1,1\right]\) में होते हैं। इसलिए \(\sin^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(x\in\left[-1,1\right]\)। / Values of \(\sin y\) lie only in \(\left[-1,1\right]\). So \(\sin^{-1}x\) is defined when \(x\in\left[-1,1\right]\).
\(\sin^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]) में लिया जाता है। परीक्षा में परिसर याद रखें। / The principal value of \(\sin^{-1}x\) lies in \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Remember the range in exams.
