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पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3,4 रखें: a_2=50-5=45, a_3=45-7=38, a_4=38-9=29 और a_5=29-11=18। इसलिए सही उत्तर 18 है। 20 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब घटाई जाने वाली राशि या n का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: a_5 तक पहुँचने के लिए नियम को चार बार लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1,2,3,4: a_2=50-5=45, a_3=45-7=38, a_4=38-9=29, and a_5=29-11=18. Therefore, 18 is correct. A value such as 20 can result from using an incorrect value of n or subtracting the wrong amount. Exam tip: to reach a_5 from a_1, apply the rule four times.
समान्तर श्रेणी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है: \(a_{n+1}-a_n=d\)। यहाँ नियम से अंतर \(3\) मिलता है, इसलिए सार्वांतर 3 है। विकल्प C में अंतर \(3n\) बदलता है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में जो स्थिर संख्या जुड़ती है, वही सार्वांतर होती है। / In an arithmetic progression, the difference \(a_{n+1}-a_n\) is constant. Rule A gives this difference as \(3\), so its common difference is 3. In option C, the difference is \(3n\), which changes with \(n\). Exam tip: a fixed number added at each step is the common difference.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3 रखने पर: a_2=4+1(2)+2=8, a_3=8+2(3)+2=16 और a_4=16+3(4)+2=30। इसलिए सही उत्तर 30 है। 28 तब मिलता है जब अंतिम चरण में 2 जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए a_1 से शुरू करके तीन बार नियम लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3: a_2=4+1(2)+2=8, a_3=8+2(3)+2=16, and a_4=16+3(4)+2=30. Therefore, the correct answer is 30. The value 28 results if the final +2 is omitted. Exam tip: to find a_4 from a_1, apply the rule three times.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद और उसके क्रमांक से निकाला जाता है। \(a_2=2(3)+2(1)+1=9\), \(a_3=2(9)+2(2)+1=23\), और \(a_4=2(23)+2(3)+1=53\)। अतः सही उत्तर 53 है। 49 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब \(2n+1\) वाले भाग में \(n\) का गलत मान रखा जाए। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय वर्तमान चरण का \(n\) लिखकर गणना करें। / In a recursive rule, each next term is found using the previous term and its index. \(a_2=2(3)+2(1)+1=9\), \(a_3=2(9)+2(2)+1=23\), and \(a_4=2(23)+2(3)+1=53\). Therefore, the correct answer is 53. A value such as 49 can result from using an incorrect value of \(n\) in the term \(2n+1\). Exam tip: write the current value of \(n\) at every step while applying a recursive formula.
C. क्रमागत पदों के अंतर 2-2 से बढ़ते हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है/The differences between consecutive terms increase by 2, so it is not an AP
Explanation
Simple Explanation
पुनरावर्ती नियम से \(a_{n+1}-a_n=2n\) मिलता है। अंतर 2, 4, 6, ... हैं; वे स्थिर नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। परीक्षा में पहले क्रमागत अंतर लिखकर जाँचें। / From the rule, \(a_{n+1}-a_n=2n\). The differences are 2, 4, 6, ... and are not constant, so the sequence is not an AP. Exam tip: write consecutive differences first to test for an AP.
\(a_2\) ज्ञात करने के लिए पुनरावर्ती नियम में \(n=1\) और \(a_1=20\) रखें: \(a_2=\frac{20}{2}+3(1)=10+3=13\)। इसलिए सही उत्तर 13 है। 11 पाने की गलती तब होती है जब \(3n\) के स्थान पर केवल 1 जोड़ा जाता है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) के लिए अगला पद निकालते समय पहले \(n\) का सही मान रखें। / To find \(a_2\), substitute \(n=1\) and \(a_1=20\) into the recursive rule: \(a_2=\frac{20}{2}+3(1)=10+3=13\). Hence, 13 is correct. The value 11 would result from incorrectly adding 1 instead of \(3n\). Exam tip: when finding the next term from \(a_{n+1}\), substitute the correct value of \(n\) first.
पुनरावर्ती नियम में पहले n=1 रखने पर a_2=5+2(5)+12=16 प्राप्त होता है। फिर n=2 रखने पर a_3=16+2(5)+22=16+10+4=30। इसलिए सही उत्तर 30 है। 29 निकट का विकल्प है, लेकिन उसमें 22=4 को सही ढंग से जोड़ने पर प्राप्त होने वाली राशि से 1 कम है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय n का वर्तमान मान लें और a_1 का मान 5 ही रखें। / Using the recursive rule with n=1, a_2=5+2(5)+12=16. Then, with n=2, a_3=16+2(5)+22=16+10+4=30. Therefore, the correct answer is 30. Option 29 is a close distractor, but it is 1 less than the value obtained when 22=4 is added correctly. Exam tip: For each next term, substitute the current value of n and keep a_1 fixed as 5.
पुनरावर्ती नियम में पहले तीसरा पद निकालें: \(a_3=a_2+a_1+2(3)=3+2+6=11\)। फिर \(a_4=a_3+a_2+2(4)=11+3+8=22\)। इसलिए सही उत्तर 22 है। 21 तब मिल सकता है जब \(2n\) वाले पद की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: हर नए पद के लिए \(n\) का वर्तमान मान अलग से लिखकर प्रतिस्थापित करें। / Using the recursive rule, first find the third term: \(a_3=a_2+a_1+2(3)=3+2+6=11\). Then \(a_4=a_3+a_2+2(4)=11+3+8=22\). Therefore, the correct answer is 22. A value such as 21 can result from an error while evaluating the \(2n\) term. Exam tip: write the current value of \(n\) explicitly before substituting it into a recursive rule.
नियम \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\) में प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों पर निर्भर है, इसलिए \(a_1\) और \(a_2\) दोनों चाहिए। अन्य नियमों में केवल \(a_{n-1}\) आता है; वहाँ एक प्रारम्भिक पद पर्याप्त है। परीक्षा टिप: निर्भर पिछले पदों की संख्या गिनें। / In \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\), each new term depends on two preceding terms, so both \(a_1\) and \(a_2\) are needed. The other rules use only \(a_{n-1}\), so one initial term is enough. Exam tip: count the earlier terms used in the rule.
पुनरावर्ती नियम में पहले पिछले पद से अगला पद निकालते हैं।
पहले, \(a_2=3^2-3+2=8\)। फिर \(a_3=8^2-8+2=64-8+2=58\)। इसलिए सही उत्तर 58 है। 64 केवल \(8^2\) है; इसमें नियम के \(-a_n+2\) भाग को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(a_3\) निकालने के लिए \(a_1\) से सीधे नहीं, पहले \(a_2\) अवश्य ज्ञात करें। / Use the recursive rule step by step, finding each term from the preceding term. First, \(a_2=3^2-3+2=8\). Then \(a_3=8^2-8+2=64-8+2=58\). Therefore, the correct answer is 58. The value 64 is only \(8^2\); it ignores the \(-a_n+2\) part of the rule. Exam tip: To find \(a_3\), calculate \(a_2\) first rather than substituting \(a_1\) directly.
पुनरावर्ती नियम में n=1 रखने पर \(a_2=a_1^2-a_1+2\) होगा। अतः \(a_2=3^2-3+2=9-3+2=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। विकल्प 6 तब मिलता यदि \(3^2\) की गणना या अंतिम जोड़ में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: \(a_2\) ज्ञात करने के लिए नियम में हमेशा \(n=1\) रखें। / Put \(n=1\) in the recursive rule: \(a_2=a_1^2-a_1+2\). Hence, \(a_2=3^2-3+2=9-3+2=8\). Therefore, 8 is correct. Option 6 can result from an error in calculating \(3^2\) or in the final addition. Exam tip: to find \(a_2\), always substitute \(n=1\) in the recurrence relation.
गुणोत्तर अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद को समान अनुपात से गुणा करके मिलता है। यहाँ अनुपात 2 है, इसलिए \(a_{n+1}=2a_n\)। जाँचें: दूसरा पद \(2\times5=10\) होगा। परीक्षा में ‘दोगुना’ को गुणा 2 मानें, जोड़ 2 नहीं। / In a geometric sequence, each term is obtained by multiplying the preceding term by a fixed ratio. Here the ratio is 2, so \(a_{n+1}=2a_n\). Check: the second term is \(2\times5=10\). In exams, “twice” means multiply by 2, not add 2.
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों के योग में 4 जोड़कर मिलता है। इसलिए \(a_3=5+9+4=18\), \(a_4=9+18+4=31\) और \(a_5=18+31+4=53\)। अतः सही उत्तर 53 है। 49 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब स्थिरांक 4 को किसी चरण में न जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पदों को क्रम से लिखकर हर चरण में दिए गए स्थिरांक को जोड़ना न भूलें। / By the recursive rule, each new term is obtained by adding the previous two terms and 4. Thus, \(a_3=5+9+4=18\), \(a_4=9+18+4=31\), and \(a_5=18+31+4=53\). Therefore, the correct answer is 53. A value such as 49 can result from missing the constant 4 in a step. Exam tip: write each term in order and include the stated constant at every step.
पुनरावर्ती नियम में पिछले दो पदों का योग लेकर हर बार 4 जोड़ना है। पहले, \(a_3=9+5+4=18\)। फिर \(a_4=18+9+4=31\)। इसलिए सही उत्तर \(31\) है। \(29\) तब मिलता यदि अंतिम चरण में 4 के स्थान पर केवल 2 जोड़ा जाता, जो दिए गए नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में आवश्यक पद तक क्रमशः सभी मध्यवर्ती पद लिखें। / The recursive rule requires adding the previous two terms and then adding 4 each time. First, \(a_3=9+5+4=18\). Then, \(a_4=18+9+4=31\). Therefore, the correct answer is \(31\). The value \(29\) would result from adding only 2 instead of 4 in the final step, so it does not follow the given rule. Exam tip: write each intermediate term in order until you reach the required term.
A. यह 4 सार्वांतर वाला समांतर श्रेणीक्रम है/It is an arithmetic progression with common difference 4.
Explanation
Simple Explanation
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में 4 जोड़कर मिलता है, इसलिए क्रमागत पदों का अंतर स्थिर 4 है। अतः यह समांतर श्रेणीक्रम है। \(-4\) होता तो पद घटते। परीक्षा टिप: AP में स्थिर अंतर देखें। / The rule adds 4 to every preceding term, so the difference between consecutive terms is constantly 4. Hence it is an arithmetic progression. A difference of \(-4\) would make terms decrease. Exam tip: identify an AP by checking for a constant difference.
विकल्प A में लगातार पदों का अंतर \(a_{n+1}-a_n=d\) हर बार नियत रहता है, इसलिए अनुक्रम समान्तर श्रेणी है। विकल्प C में अंतर \(n\) बदलता है। परीक्षा टिप: AP में अंतर स्थिर जाँचें। / In option A, the difference between consecutive terms is \(a_{n+1}-a_n=d\), which is constant; hence it is an arithmetic progression. In option C, the difference \(n\) changes. Exam tip: check for a constant difference in an AP.
समान्तर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक स्थिर अंतर जोड़कर मिलता है। यहाँ सार्वांतर 3 है, इसलिए \(a_n=a_{n-1}+3\) होगा। परीक्षा में स्थिर अंतर दिखे तो जोड़ वाला नियम चुनें। / In an arithmetic progression, each term is obtained by adding a fixed common difference to the previous term. Since the difference is 3, \(a_n=a_{n-1}+3\). Exam tip: look for constant addition in a recursive AP rule.
पुनरावर्ती नियम में हर अगले पद के लिए वर्तमान सूचकांक का प्रयोग किया जाता है। इसलिए \(a_2=1\times2+3=5\), \(a_3=2\times5+3=13\), और \(a_4=3\times13+3=42\)। अतः सही उत्तर \(42\) है। \(39\) जैसे विकल्प में \(a_4\) निकालते समय गुणक 3 या जोड़ 3 का गलत प्रयोग हुआ होगा। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) के लिए पहले \(n=1\), फिर \(n=2\), फिर \(n=3\) क्रम से रखें। / In the recursive rule, use the current index to find the next term. Thus, \(a_2=1\times2+3=5\), \(a_3=2\times5+3=13\), and \(a_4=3\times13+3=42\). Therefore, the correct answer is \(42\). An option such as \(39\) results from using the multiplier 3 or the added 3 incorrectly while finding \(a_4\). Exam tip: for \(a_{n+1}\), substitute \(n=1\), then \(n=2\), and then \(n=3\) in order.
नियम \(a_{n+1}=r a_n\) में हर क्रमागत पद का अनुपात \(a_{n+1}/a_n=r\) समान रहता है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प B में अंतर नियत है, अतः वह समान्तर श्रेणी बनाता है। परीक्षा में अनुपात स्थिर है या अंतर, यह जाँचें। / Under \(a_{n+1}=r a_n\), the ratio \(a_{n+1}/a_n=r\) remains constant, so the sequence is geometric. In option B, the difference is constant, which defines an arithmetic progression. Exam tip: check whether a rule fixes a ratio or a difference.
सही नियम \(a_1=3,\ a_{n+1}=2a_n+2\) है। इससे \(2\times3+2=8\), फिर \(2\times8+2=18\), और \(2\times18+2=38\) प्राप्त होता है; अतः सभी दिए गए पद मिलते हैं। विकल्प B से दूसरा पद \(7\) मिलता है, जबकि विकल्प C का प्रथम पद ही गलत है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम जाँचते समय कम-से-कम लगातार तीन पद बनाकर देखें। / The correct rule is \(a_1=3,\ a_{n+1}=2a_n+2\). It gives \(2\times3+2=8\), then \(2\times8+2=18\), and \(2\times18+2=38\), matching every listed term. Option B gives \(7\) as the second term, while option C has the wrong first term. Exam tip: test a recursive rule by generating at least three consecutive terms.
विकल्प B में \(a_1=10\) है। नियम लगाने पर \(2(10)-3=17\), \(2(17)-3=31\) और \(2(31)-3=59\) मिलता है; अतः यह अनुक्रम के सभी दिए गए पदों से मेल खाता है। विकल्प A में अगला पद 24 होगा, जबकि विकल्प D में प्रथम पद ही गलत है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम जाँचते समय प्रारम्भिक पद और कम-से-कम दो अगले पदों की जाँच करें। / In option B, \(a_1=10\). Applying the rule gives \(2(10)-3=17\), \(2(17)-3=31\), and \(2(31)-3=59\), so it matches every given term. In option A, the next term would be 24, while option D has the wrong first term. Exam tip: when checking a recursive rule, verify the initial term and at least two subsequent terms.
पुनरावर्ती नियम से क्रमशः निकालें: \(a_3=2+7+3=12\), \(a_4=7+12+4=23\), और \(a_5=12+23+5=40\)। इसलिए सही उत्तर 40 है। 38 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब \(a_5\) निकालते समय 5 जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए पिछले दो पदों के साथ उसी पद का अनुक्रमांक भी अवश्य जोड़ें। / Apply the recursive rule step by step: \(a_3=2+7+3=12\), \(a_4=7+12+4=23\), and \(a_5=12+23+5=40\). Therefore, the correct answer is 40. A value such as 38 can result from forgetting to add 5 while finding \(a_5\). Exam tip: for every new term, add both preceding terms and the index of the term being found.
पुनरावर्ती नियम से पहले तीसरा पद ज्ञात करें: \(a_3=7+2+3=12\)। अब \(a_4=a_3+a_2+4=12+7+4=23\)। इसलिए सही उत्तर 23 है। 21 प्राप्त हो सकता है यदि अंतिम चरण में 4 जोड़ना भूल जाएँ, पर नियम में वर्तमान सूचकांक n भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: आवश्यक पद तक पहुँचने के लिए पुनरावर्ती नियम को क्रमशः प्रत्येक अगले पद पर लागू करें। / First find the third term using the recursive rule: \(a_3=7+2+3=12\). Then, \(a_4=a_3+a_2+4=12+7+4=23\). Therefore, the correct answer is 23. The value 21 may result from forgetting to add 4 in the final step, but the rule requires adding the current index n. Exam tip: apply a recursive rule step by step until you reach the required term.
दिया है कि \(a_1=9\)। \(a_2\) ज्ञात करने के लिए पुनरावर्ती नियम में \(n=1\) रखें: \(a_2=a_1+a_1+1^2=9+9+1=19\)। इसलिए सही उत्तर 19 है। 17 प्राप्त होता यदि \(n^2\) वाला पद छोड़ दिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) के लिए हमेशा पहले \(n\) का सही मान रखकर अगला पद निकालें। / Given \(a_1=9\), substitute \(n=1\) in the recursive rule to find the second term: \(a_2=a_1+a_1+1^2=9+9+1=19\). Hence, 19 is correct. The value 17 would result from incorrectly omitting the \(n^2\) term. Exam tip: To find \(a_{n+1}\), first substitute the appropriate value of \(n\) into the recursive rule.
