Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 2 है। अतः आठवाँ पद \(a_8=2\times 2^{7}=2^{8}=256\) होगा। 128 सातवाँ पद है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: दोगुने होने वाले अनुक्रम में पदों को 2 की घातों के रूप में लिखें। / This is a geometric sequence with first term 2 and common ratio 2. Therefore, \(a_8=2\times 2^{7}=2^{8}=256\). The value 128 is the seventh term, so it is a close but incorrect option. Exam tip: write terms of a doubling sequence as powers of 2.
पद हैं \(81,27,9,3,1,\frac{1}{3}\)। क्रम से घटाते समय हर पद को \(\frac{3}{1}\) से न बाँटें बल्कि (3) से बाँटें। / The terms are \(81,27,9,3,1,\frac{1}{3}\). Exam tip: divide each term by (3) step by step.
यह एक समान्तर अनुक्रम है, जिसमें पहला पद 12 और सार्वांतर 5 है। इसका nवाँ पद \(a_n=12+5(n-1)\) होगा। \(a_n<60\) रखने पर \(12+5(n-1)<60\), अर्थात \(n<10.6\) मिलता है। इसलिए \(n\) के मान 1 से 10 तक होंगे, अतः 60 से छोटे 10 पद हैं। 11वाँ पद 62 है, इसलिए वह शामिल नहीं होगा। परीक्षा टिप: ‘से छोटे’ के लिए असमता \(<\) लगाएँ, \(\leq\) नहीं। / This is an arithmetic sequence with first term 12 and common difference 5. Its nth term is \(a_n=12+5(n-1)\). Using \(a_n<60\), we get \(12+5(n-1)<60\), so \(n<10.6\). Thus, the possible whole-number values of \(n\) are 1 through 10, giving 10 terms less than 60. The 11th term is 62, so it is not included. Exam tip: for “less than,” use the strict inequality \(<\), not \(\leq\).
विकल्प A में क्रमागत अंतरों के मान 5−2=3 और 8−5=3 हैं, इसलिए अंतर स्थिर है। अनुपात 5/2 और 8/5 अलग हैं। परीक्षा में अंतर और अनुपात दोनों अलग-अलग जाँचें। / In option A, the consecutive differences are 5−2=3 and 8−5=3, so the difference is constant. However, the ratios 5/2 and 8/5 differ. In exams, check differences and ratios separately.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद \(a=5\) और सार्व अनुपात \(r=2\) है। इसका \(n\)वाँ पद \(a_n=5\times2^{n-1}\) होगा। \(5\times2^{n-1}=320\) से \(2^{n-1}=64=2^6\), अतः \(n-1=6\) और \(n=7\)। इसलिए 320, 7वाँ पद है। 6वाँ पद \(160\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर अनुक्रम में पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / This is a geometric sequence with first term \(a=5\) and common ratio \(r=2\). Its \(n\)th term is \(a_n=5\times2^{n-1}\). From \(5\times2^{n-1}=320\), we get \(2^{n-1}=64=2^6\). Therefore, \(n-1=6\) and \(n=7\). Hence, 320 is the 7th term. The 6th term is \(160\), so it is not correct. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) to find a term's position in a geometric sequence.
नियम है: अगला पद = पिछले पद का दोगुना + 1। अतः 47 के बाद का पद \(2\times47+1=94+1=95\) होगा। 94 केवल 47 का दोगुना है; उसमें आवश्यक 1 नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में अंतिम दिए गए पद पर नियम को सीधे लागू करके उत्तर जाँचें। / The rule is: next term = twice the previous term + 1. Therefore, the term after 47 is \(2\times47+1=94+1=95\). Option 94 is only twice 47; it misses the required addition of 1. Exam tip: apply the stated rule directly to the last given term to verify the answer.
\((7,7,7,\ldots)\) में सार्वांतर \(0\) और सार्वानुपात \(1\) है, इसलिए यह दोनों श्रेणियाँ है। विकल्प B में अनुपात स्थिर है, पर अंतर स्थिर नहीं। परीक्षा टिप: दोनों शर्तें अलग-अलग जाँचें। / In \((7,7,7,\ldots)\), the common difference is \(0\) and the common ratio is \(1\), so it is both an AP and a GP. Option B has a fixed ratio but no fixed difference. Exam tip: check both conditions separately.
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(10-7=3\), \(16-10=6\), \(28-16=12\) और \(52-28=24\)। प्रत्येक अंतर पिछले अंतर का दोगुना है, इसलिए अगला अंतर \(48\) होगा। अतः अगला पद \(52+48=100\) है। \(96\) तब मिलता यदि अगला अंतर 44 लिया जाता, लेकिन यह दिए गए दोगुने होने के नियम का पालन नहीं करता। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The consecutive differences are \(10-7=3\), \(16-10=6\), \(28-16=12\), and \(52-28=24\). Each difference is twice the preceding one, so the next difference is \(48\). Therefore, the next term is \(52+48=100\). Option 96 would require a next difference of 44, which does not follow the doubling rule. Exam tip: For such sequences, first list consecutive differences and check their pattern.
हर बार (-2) से गुणा हो रहा है इसलिए आठवाँ पद ((-2)7=-128) है। संकेत और घात दोनों साथ देखें। / Each term is multiplied by (-2), so the eighth term is ((-2)7=-128). Exam tip: track both sign and power.
सामान्य पद (a_n=5(-2)^{n-1}) है इसलिए (a_7=5(-2)6=320) है। सम घात पर चिह्न धनात्मक होता है। / The general term is (a_n=5(-2)^{n-1}), so (a_7=5(-2)6=320). Exam tip: an even power gives a positive sign.
\(7,7,7,7,\ldots\) में प्रत्येक क्रमागत अंतर \(7-7=0\) है, इसलिए यह AP है। प्रत्येक क्रमागत अनुपात \(7/7=1\) है, इसलिए यह GP भी है। \(2,5,8,\ldots\) केवल AP है। परीक्षा टिप: स्थिर अनुक्रम में अंतर 0 और अनुपात 1 जाँचें। / In \(7,7,7,7,\ldots\), each consecutive difference is \(7-7=0\), so it is an AP. Each consecutive ratio is \(7/7=1\), so it is also a GP. \(2,5,8,\ldots\) is only an AP. Exam tip: for a constant sequence, check difference 0 and ratio 1.
