Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सही कर्ण (\sqrt{\(\sqrt{18}\)2+12}=\sqrt{19}) होगा। वर्गमूल सर्पिल में हर चरण में संख्या (1) बढ़ती है। / The correct hypotenuse is (\sqrt{\(\sqrt{18}\)2+12}=\sqrt{19}). In a square root spiral, the number increases by (1) at each step.
क्योंकि \(16^2<288<17^2\) है। इसलिए \(\sqrt{288}\) (16) और (17) के बीच होगा। / Because \(16^2<288<17^2\). Therefore \(\sqrt{288}\) lies between (16) and (17).
(\(\sqrt{27}\)2+12=28) होता है। इसलिए पिछले कर्ण के रूप में \(\sqrt{27}\) सही है। / Since (\(\sqrt{27}\)2+12=28). Therefore \(\sqrt{27}\) is the correct previous hypotenuse.
नया कर्ण \(\sqrt{323+1}=\sqrt{324}\) होगा और \(\sqrt{324}=18\) है। पूर्ण वर्ग मिलने पर सटीक पूर्ण संख्या लिखें। / The new hypotenuse is \(\sqrt{323+1}=\sqrt{324}\), and \(\sqrt{324}=18\). When a perfect square appears, write the exact whole number.
नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) हो तो पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{35}\) से पहले \(\sqrt{34}\) होगा। / If the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\), the previous hypotenuse is \(\sqrt{n}\). Therefore before \(\sqrt{35}\), it is \(\sqrt{34}\).
अगला कर्ण \(\sqrt{100}\) होगा और \(\sqrt{100}=10\) है। इसलिए वह पूर्ण संख्या है। / The next hypotenuse will be \(\sqrt{100}\), and \(\sqrt{100}=10\). Therefore it is a whole number.
A. क्योंकि नया कर्ण (\sqrt{\(\sqrt{6}\)2+12}) से बनता है/Because the new hypotenuse is formed by (\sqrt{\(\sqrt{6}\)2+12})
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में सीधे लंबाइयाँ नहीं जोड़ी जातीं। सही तरीका पाइथागोरस प्रमेय है। / In a square root spiral, lengths are not added directly. The correct method is Pythagoras theorem.
\(\sqrt{119}\) और (1) इकाई लंब से \(\sqrt{120}\) बनता है। पिछले कर्ण की संख्या हमेशा (1) कम होती है। / \(\sqrt{120}\) is formed from \(\sqrt{119}\) and a (1) unit perpendicular. The previous hypotenuse number is always (1) less.
क्योंकि \(10^2<120<11^2\) है। इसलिए \(\sqrt{120}\) (10) और (11) के बीच होगा। / Because \(10^2<120<11^2\). Therefore \(\sqrt{120}\) lies between (10) and (11).
A. क्योंकि \(1^2\) की जगह \(4^2\) जुड़ जाएगा/Because \(4^2\) will be added instead of \(1^2\)
Explanation
Simple Explanation
सामान्य सर्पिल में हर बार \(1^2\) जुड़ता है। (4) इकाई लेने पर (16) जुड़ता है और क्रम बदल जाता है। / In the usual spiral \(1^2\) is added every time. Taking (4) units adds (16), so the sequence changes.
C. पिछले कर्ण के वर्ग में \(1^2\) जुड़ता है/\(1^2\) is added to the square of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से (\(\sqrt{14}\)2+12=15) होता है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{15}\) बनता है। / By Pythagoras theorem, (\(\sqrt{14}\)2+12=15). Therefore the new hypotenuse is \(\sqrt{15}\).
क्योंकि \(11^2<130<12^2\) है। इसलिए \(\sqrt{130}\) (11) और (12) के बीच है। / Because \(11^2<130<12^2\). Therefore \(\sqrt{130}\) lies between (11) and (12).
B. \(\sqrt{7}\) और (1) भुजाओं वाला/With sides \(\sqrt{7}\) and (1)
Explanation
Simple Explanation
(\(\sqrt{7}\)2+12=8) होता है। इसलिए कर्ण \(\sqrt{8}\) बनाने के लिए \(\sqrt{7}\) और (1) सही हैं। / (\(\sqrt{7}\)2+12=8). So \(\sqrt{7}\) and (1) are correct to form hypotenuse \(\sqrt{8}\).
नया कर्ण \(\sqrt{49}\) होगा और \(\sqrt{49}=7\) है। पूर्ण वर्ग दिखे तो सटीक मान लिखें। / The new hypotenuse will be \(\sqrt{49}\), and \(\sqrt{49}=7\). If a perfect square appears, write its exact value.
A. दोनों (5) और (6) के बीच हैं/Both are between (5) and (6)
Explanation
Simple Explanation
\(5^2<26<6^2\) और \(5^2<27<6^2\) दोनों सही हैं। इसलिए दोनों (5) और (6) के बीच हैं। / Both \(5^2<26<6^2\) and \(5^2<27<6^2\) are true. Therefore both lie between (5) and (6).
A. \(\sqrt{144}\), ठीक (12) पर/\(\sqrt{144}\), exactly at (12)
Explanation
Simple Explanation
अगला कर्ण \(\sqrt{144}\) है और \(\sqrt{144}=12\) होता है। यह अंतराल में नहीं, ठीक (12) पर है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{144}\), and \(\sqrt{144}=12\). It is not in an interval, but exactly at (12).
A. कंपास, कर्ण लंबाई को संख्या रेखा पर स्थानांतरित करने के लिए/Compass, to transfer hypotenuse length to the number line
Explanation
Simple Explanation
कंपास से कर्ण की लंबाई लेकर संख्या रेखा पर चाप खींचा जाता है। यह ज्यामितीय स्थानांतरण का सही तरीका है। / A compass is used to take the hypotenuse length and draw an arc on the number line. This is the correct geometric transfer method.
B. अपरिमेय संख्या और (7) तथा (8) के बीच/Irrational number and between (7) and (8)
Explanation
Simple Explanation
(55) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(7^2<55<8^2\) है। इसलिए \(\sqrt{55}\) अपरिमेय है और (7) तथा (8) के बीच है। / (55) is not a perfect square and \(7^2<55<8^2\). Therefore \(\sqrt{55}\) is irrational and lies between (7) and (8).
B. \(\sqrt{1}\rightarrow\sqrt{2}\rightarrow\sqrt{3}\rightarrow\sqrt{4}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में कर्ण क्रम से बनते हैं। सामान्य निर्माण में \(\sqrt{3}\) चरण छोड़ा नहीं जाता। / In a square root spiral, hypotenuses are formed in order. In the usual construction, the \(\sqrt{3}\) step is not skipped.
A. दोनों में समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग होता है/Both use a right triangle and Pythagoras theorem
Explanation
Simple Explanation
दोनों निर्माण समकोण त्रिभुज पर आधारित हैं। कर्ण पाइथागोरस प्रमेय से निकाला जाता है। / Both constructions are based on right triangles. The hypotenuse is found by Pythagoras theorem.
क्योंकि \(14^2<200<15^2\) है। इसलिए \(\sqrt{200}\) (14) और (15) के बीच होगा। / Because \(14^2<200<15^2\). Therefore \(\sqrt{200}\) lies between (14) and (15).
अगला कर्ण \(\sqrt{16}\) होगा और \(\sqrt{16}=4\) है। इसलिए वह पूर्ण संख्या है। / The next hypotenuse will be \(\sqrt{16}\), and \(\sqrt{16}=4\). Therefore it is a whole number.
\(\sqrt{59}\) पिछले कर्ण की लंबाई है और नई लंब (1) इकाई है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{60}\) होगा। / \(\sqrt{59}\) is the previous hypotenuse and the new perpendicular is (1) unit. Therefore the new hypotenuse is \(\sqrt{60}\).
पूर्ण संख्या वर्गमूल तभी मिलता है जब (n) पूर्ण वर्ग हो। जैसे \(\sqrt{81}=9\)। / A whole number square root is obtained only when (n) is a perfect square. For example, \(\sqrt{81}=9\).
क्योंकि \(15^2<242<16^2\) है। इसलिए \(\sqrt{242}\) (15) और (16) के बीच होगा। / Because \(15^2<242<16^2\). Therefore \(\sqrt{242}\) lies between (15) and (16).
B. (\(\sqrt{3}\)2+12=4) इसलिए कर्ण \(\sqrt{4}\) है/(\(\sqrt{3}\)2+12=4), so the hypotenuse is \(\sqrt{4}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पाइथागोरस प्रमेय से वर्गों का योग लिया जाता है। सीधे लंबाइयाँ जोड़ना गलत है। / In a square root spiral, the sum of squares is taken by Pythagoras theorem. Directly adding lengths is wrong.
अगला कर्ण \(\sqrt{225}\) है और \(\sqrt{225}=15\) होता है। पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{225}\), and \(\sqrt{225}=15\). Recognizing perfect squares is important.
B. दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं/Both are irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
(2) और (8) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। इसलिए दोनों के वर्गमूल अपरिमेय हैं। / The numbers (2) and (8) are not perfect squares. Therefore both square roots are irrational.
क्योंकि \(12^2<150<13^2\) है। इसलिए \(\sqrt{150}\) (12) और (13) के बीच होगा। / Because \(12^2<150<13^2\). Therefore \(\sqrt{150}\) lies between (12) and (13).
(\(\sqrt{4}\)2+12=5) है। इसलिए \(\sqrt{4}\) और (1) से कर्ण \(\sqrt{5}\) बनेगा। / (\(\sqrt{4}\)2+12=5). Therefore sides \(\sqrt{4}\) and (1) form hypotenuse \(\sqrt{5}\).
क्योंकि \(12^2<168<13^2\) है। इसलिए \(\sqrt{168}\) (12) और (13) के बीच है। / Because \(12^2<168<13^2\). Therefore \(\sqrt{168}\) lies between (12) and (13).
अगला कर्ण \(\sqrt{64}\) होगा और \(\sqrt{64}=8\) है। पूर्ण वर्ग पर सटीक पूर्ण संख्या मिलती है। / The next hypotenuse will be \(\sqrt{64}\), and \(\sqrt{64}=8\). At a perfect square, an exact whole number is obtained.
A. इनसे (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) लागू होता है/They allow (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) to apply
Explanation
Simple Explanation
(1) इकाई लंब और समकोण से पाइथागोरस प्रमेय सही लागू होता है। इसी से क्रमिक वर्गमूल बनते हैं। / The (1) unit perpendicular and right angle allow Pythagoras theorem to apply correctly. This forms successive square roots.
क्योंकि \(13^2<195<14^2\) है। इसलिए \(\sqrt{195}\) (13) और (14) के बीच होगा। / Because \(13^2<195<14^2\). Therefore \(\sqrt{195}\) lies between (13) and (14).
D. अगला कर्ण पिछले कर्ण में सीधे (1) जोड़कर निकालना/Finding the next hypotenuse by directly adding (1) to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में सीधे जोड़ नहीं किया जाता। नया कर्ण समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय से मिलता है। / Direct addition is not used in a square root spiral. The new hypotenuse is obtained from a right triangle and Pythagoras theorem.
\(\sqrt{223}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{224}\) बनता है। अगले कर्ण में संख्या (1) बढ़ती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{223}\) forms \(\sqrt{224}\). The number increases by (1) in the next hypotenuse.
A. \(\sqrt{2}\) कर्ण की लंबाई कंपास में लेकर मूल बिंदु से चाप खींचना/Take the \(\sqrt{2}\) hypotenuse length in a compass and draw an arc from the origin
Explanation
Simple Explanation
जिस वर्गमूल को अंकित करना है, उसी कर्ण की लंबाई कंपास में ली जाती है। मूल बिंदु से चाप खींचना सही तरीका है। / The hypotenuse length of the square root to be marked is taken in the compass. Drawing an arc from the origin is the correct way.
क्योंकि \(15^2<252<16^2\) है। इसलिए \(\sqrt{252}\) (15) और (16) के बीच होगा। / Because \(15^2<252<16^2\). Therefore \(\sqrt{252}\) lies between (15) and (16).
A. पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) और नई लंब (1) इकाई/Previous hypotenuse \(\sqrt{n}\) and new perpendicular (1) unit
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) होता है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) बनता है। / Because (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1). Therefore the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\).
क्योंकि \(17^2<300<18^2\) है। इसलिए \(\sqrt{300}\) (17) और (18) के बीच होगा। / Because \(17^2<300<18^2\). Therefore \(\sqrt{300}\) lies between (17) and (18).
A. नया कर्ण पूर्ण संख्या (4) बन जाता है/The new hypotenuse becomes the whole number (4)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{16}=4\) है। जब संख्या पूर्ण वर्ग हो, तो वर्गमूल पूर्ण संख्या बनता है। / \(\sqrt{16}=4\). When the number is a perfect square, the square root becomes a whole number.
(\(\sqrt{109}\)2+12=110) होता है। इसलिए पिछले कर्ण के रूप में \(\sqrt{109}\) सही है। / Since (\(\sqrt{109}\)2+12=110). Therefore \(\sqrt{109}\) is the correct previous hypotenuse.
नया कर्ण \(\sqrt{81}\) होगा और \(\sqrt{81}=9\) है। इसलिए वह ठीक (9) पर स्थित होगा। / The new hypotenuse will be \(\sqrt{81}\), and \(\sqrt{81}=9\). Therefore it lies exactly at (9).
A. \(\sqrt{2}\rightarrow\sqrt{3}\rightarrow\sqrt{4}\rightarrow\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में कर्ण क्रमिक रूप से बनते हैं। सामान्य निर्माण में बीच के चरण छोड़े नहीं जाते। / In a square root spiral, hypotenuses are formed successively. In the usual construction, intermediate steps are not skipped.
A. यह समकोण त्रिभुजों की श्रृंखला है, जहाँ पिछला कर्ण और (1) इकाई लंब अगला वर्गमूल बनाते हैं/It is a chain of right triangles where the previous hypotenuse and (1) unit perpendicular form the next square root
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित क्रमिक निर्माण है। हर नया कर्ण अगला वर्गमूल देता है। / A square root spiral is a stepwise construction based on Pythagoras theorem. Each new hypotenuse gives the next square root.
