समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) का अधिकतम मान (5) हो। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if the maximum of (a) and (b) is (5). Choose the correct statement.
#max-relation
#symmetric
#not-transitive
A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में अधिकतम (1) है, इसलिए परावर्ती नहीं। / For ((1,1)), the maximum is (1), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम मान क्रम बदलने पर भी समान रहता है, इसलिए सममित है। / The maximum value stays the same when order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,5)) और ((5,2)) हैं पर ((1,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,5)) and ((5,2)) exist, but ((1,2)) does not, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b):a\le b\}\) है। इसका विलोम संबंध किससे संबंधित है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a\le b\}\). What does its inverse relation correspond to?
#inverse-relation
#order-relation
#types-of-relations
A \(a\ge b\)
B (a<b)
C (a=b) मात्र / (a=b) only
D \(a\neq b\)
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Correct Answer
A. \(a\ge b\)
Step 1
Concept
विलोम संबंध में हर ((a,b)) को ((b,a)) किया जाता है। / In the inverse relation, each ((a,b)) is changed to ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि मूल संबंध में \(a\le b\) है, तो विलोम में \(b\le a\) होगा। / If the original relation has \(a\le b\), the inverse has \(b\le a\).
Step 3
Exam Tip
इसे \(a\ge b\) के रूप में लिखा जा सकता है। / This can be written as \(a\ge b\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a,b) दोनों (2) से बड़े हों। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or both (a,b) are greater than (2). What type of relation is it?
#equivalence-relation
#partition
#types-of-relations
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती और सममित पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
C परावर्ती नहीं / Not reflexive
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) के कारण सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। / Because (a=b), all self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (2) से बड़ा होना क्रम बदलने पर भी सही रहता है, इसलिए सममितता है। / The condition that both are greater than (2) is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({3,4}) एक बंद वर्ग बनता है और (1,2) अलग-अलग वर्ग हैं, इसलिए संक्रामकता है। / ({3,4}) forms a closed class while (1,2) are singleton classes, so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a+b=6)। तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=6). What are the equivalence classes?
#equivalence-classes
#sum-relation
#partition
A ({1,5},{2,4},{3})
B ({1,2,3},{4,5})
C ({1,4},{2,5},{3})
D ({1,3,5},{2,4})
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Correct Answer
A. ({1,5},{2,4},{3})
Step 1
Concept
(a+b=6) से (1) का संबंध (5) से और (2) का संबंध (4) से बनता है। / The condition (a+b=6) relates (1) with (5), and (2) with (4).
Step 2
Why this answer is correct
(3+3=6) होने पर (3) अपने ही वर्ग में रहता है। / Since (3+3=6), (3) stays in its own class.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,5},{2,4},{3}) हैं। / Hence the classes are ({1,5},{2,4},{3}).
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (a-b) पूर्णांक हो। यह संबंध किस प्रकार का है?
On real numbers, (aRb) if and only if (a-b) is an integer. What type of relation is it?
#equivalence-relation
#real-numbers
#integer-difference
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
C सममित पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
D परावर्ती नहीं / Not reflexive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए परावर्तन है। / (a-a=0) is an integer, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) पूर्णांक है तो (b-a) भी पूर्णांक है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is an integer, then (b-a) is also an integer, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
दो पूर्णांक अंतरों का योग पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / The sum of two integer differences is an integer, so transitivity holds.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(a^2-b^2=0\)। सही निष्कर्ष चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if \(a^2-b^2=0\). Choose the correct conclusion.
#equivalence-relation
#squares
#real-numbers
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
C सममित पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(a^2-a^2=0\), इसलिए परावर्तन है। / \(a^2-a^2=0\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2-b^2=0\) होने पर \(b^2-a^2=0\) भी होगा, इसलिए सममितता है। / If \(a^2-b^2=0\), then \(b^2-a^2=0\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान वर्ग का संबंध तीसरे तत्व तक भी जाता है, इसलिए संक्रामकता है। / Equality of squares passes through a third element, so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कौन सा संबंध संक्रामक है पर परावर्ती नहीं है?
Which relation on \(A=\{1,2,3,4\}\) is transitive but not reflexive?
#transitive
#not-reflexive
#mcq
A \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\)
B \(R=A\times A\)
C \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\)
D \(R=\{(1,2),(2,1)\}\)
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Correct Answer
A. \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\)
Step 1
Concept
विकल्प A में कोई स्वयुग्म नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / Option A has no self-pair, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is present.
Step 3
Exam Tip
अन्य कोई ऐसी शृंखला नहीं है जो नया अनिवार्य युग्म मांगे, इसलिए यह संक्रामक है। / No other chain forces a new missing pair, so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर कौन सा संबंध सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं?
Which relation on \(A=\{1,2,3\}\) is symmetric and transitive but not reflexive?
#symmetric
#transitive
#not-reflexive
#mcq
A \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\)
B \(R=A\times A\)
C \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\)
D \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\)
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Correct Answer
A. \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\)
Step 1
Concept
विकल्प A में ((3,3)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। / Option A misses ((3,3)), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी आवश्यक युग्म मौजूद हैं और (3) अलग है, इसलिए संक्रामकता है। / All required pairs inside ({1,2}) are present and (3) is separate, so transitivity holds.
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यदि (R) परावर्ती संबंध है और (S) भी उसी समुच्चय पर परावर्ती संबंध है, तो \(R\cap S\) के बारे में सही कथन क्या है?
If (R) and (S) are reflexive relations on the same set, what is true about \(R\cap S\)?
#intersection
#reflexive-relation
#conceptual
A \(R\cap S\) परावर्ती होगा / \(R\cap S\) will be reflexive
B \(R\cap S\) कभी परावर्ती नहीं होगा / \(R\cap S\) will never be reflexive
C \(R\cap S\) सदैव रिक्त होगा / \(R\cap S\) will always be empty
D \(R\cap S\) सदैव सार्वत्रिक होगा / \(R\cap S\) will always be universal
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Correct Answer
A. \(R\cap S\) परावर्ती होगा / \(R\cap S\) will be reflexive
Step 1
Concept
परावर्ती होने के कारण (R) में हर ((a,a)) है। / Since (R) is reflexive, every ((a,a)) is in (R).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में भी हर ((a,a)) है। / Since (S) is also reflexive, every ((a,a)) is in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर स्वयुग्म दोनों में साझा होगा और \(R\cap S\) परावर्ती रहेगा। / Therefore each self-pair is common to both, so \(R\cap S\) is reflexive.
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यदि (R) और (S) सममित संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (R) and (S) are symmetric relations, choose the correct statement about \(R\cup S\).
#union
#symmetric-relation
#conceptual
A \(R\cup S\) सममित होगा / \(R\cup S\) will be symmetric
B \(R\cup S\) कभी सममित नहीं होगा / \(R\cup S\) will never be symmetric
C \(R\cup S\) केवल परावर्ती होगा / \(R\cup S\) will only be reflexive
D \(R\cup S\) सदैव तुल्यता संबंध होगा / \(R\cup S\) will always be an equivalence relation
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Correct Answer
A. \(R\cup S\) सममित होगा / \(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। / If a pair is in \(R\cup S\), it is in (R) or in (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में वह है, उसके सममित होने से उल्टा युग्म भी उसी संबंध में होगा। / In that relation, symmetry gives the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उल्टा युग्म \(R\cup S\) में भी होगा और सममितता बनी रहेगी। / Hence the reverse pair is also in \(R\cup S\), so the union remains symmetric.
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