Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह फलन सख्ती से बढ़ता है क्योंकि उच्च विषम घातों के साथ (x) का प्रभाव लगातार बढ़ता है। / The function is strictly increasing because the odd power terms along with (x) increase consistently.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर फलन \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the function goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह एकैकी भी है और \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक भी है। / Hence it is both one-one and onto on \(\mathbb{R}\).
(x<0) पर मान (\(-\infty,-1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर मान \([1,\infty\)) में आते हैं। / For (x<0), values lie in (\(-\infty,-1\)), and for \(x\ge0\), values lie in \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों भागों के मान आपस में नहीं मिलते, इसलिए फलन एकैकी है। / The two parts do not overlap, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
लेकिन ((-1,1)) के मान नहीं मिलते, इसलिए यह आच्छादक नहीं है। / But values in ((-1,1)) are missing, so it is not onto.
(x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9) लिखा जा सकता है। / We can write (x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9).
Step 2
Why this answer is correct
घन फलन ((x-2)3) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं और हर वास्तविक मान प्राप्त होता है। / The cubic expression ((x-2)3) is strictly increasing, so distinct inputs give distinct outputs and every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे बहुपद को पहले घन रूप में बदलकर एकैकी और आच्छादकता जल्दी पहचानें। / In exams, convert such polynomials into shifted cubic form to identify one-one and onto properties quickly.
प्रतिलोम तभी फलन होगा जब \(B\) के प्रत्येक अवयव का \(A\) में ठीक एक पूर्व-प्रतिबिंब हो। आच्छादकता पूर्व-प्रतिबिंब का अस्तित्व और एक-एकता उसकी विशिष्टता देती है। परीक्षा टिप: “ठीक एक” दिखे तो दोनों गुण जाँचें। / An inverse is a function only when every element of \(B\) has exactly one preimage in \(A\). Onto ensures a preimage exists, while one-one ensures it is unique. Exam tip: “exactly one” signals that both conditions are needed.
\(x^3+x\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है इसलिए दो अलग (x) का मान समान नहीं हो सकता। / The expression \(x^3+x\) increases continuously as (x) increases, so two different inputs cannot give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े ऋणात्मक से बहुत बड़े धनात्मक मान तक फलन सभी वास्तविक मान ले सकता है। / Its values cover all real numbers from very negative to very positive.
Step 3
Exam Tip
जब फलन एकैकी और आच्छादी दोनों हो तो वह व्युत्क्रमणीय भी होता है। / A function that is both one-one and onto is also invertible.
(f(1)=2) और (f(-1)=2) इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\geq 1\) होता है इसलिए (0) जैसे वास्तविक मान परास में नहीं आते। / Since \(x^2+1\geq 1\), real values like (0) are not in the range.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले फलनों में प्रांत और सहप्रांत ध्यान से देखकर ही निष्कर्ष निकालें। / For square functions, always check both domain and codomain before deciding the type.
