Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) होने पर हमेशा \((a,c)\in R\) हो/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\) always imply \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
संक्रामक संबंध में पहले और दूसरे युग्म को जोड़कर तीसरे युग्म की जाँच की जाती है। / In a transitive relation, two connected pairs force a third pair.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) से हमेशा \((a,c)\in R\) मिलता है, तो संबंध संक्रामक है। / If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\) always give \((a,c)\in R\), the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में बीच वाले तत्व को पहचानकर सीधे आवश्यक युग्म खोजें। / In exams, first spot the common middle element.
A. हाँ, क्योंकि जरूरी युग्म ((1,3)) मौजूद है/Yes, because the required pair ((1,3)) is present
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) में बीच वाला तत्व (2) समान है। / The pairs ((1,2)) and ((2,3)) have the common middle element (2).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, और यह (R) में है। / Transitivity needs ((1,3)), and it is in (R).
Step 3
Exam Tip
केवल उन्हीं युग्मों पर ध्यान दें जिनमें दूसरे युग्म का पहला तत्व पहले युग्म के दूसरे तत्व से मिलता है। / Check only pairs where the second element of the first pair matches the first element of the second pair.
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) साथ मिलकर ((1,3)) की मांग करते हैं। / The pairs ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
(R) में ((1,3)) नहीं है, इसलिए शर्त टूट जाती है। / Since ((1,3)) is not in (R), transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता में उलटे युग्म नहीं, बल्कि आगे जुड़ने वाला युग्म जाँचना होता है। / For transitivity, do not look for reverse pairs; look for the forward linked pair.
संक्रामकता की शर्त तभी जाँची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) जैसे युग्म मौजूद हों। / The transitivity condition is checked only when pairs like ((a,b)) and ((b,c)) exist.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में ऐसे कोई युग्म नहीं होते, इसलिए शर्त टूटती नहीं है। / The empty relation has no such pairs, so the condition is never violated.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध को अक्सर आसानी से संक्रामक माना जाता है, इसे भूलें नहीं। / Remember that the empty relation is transitive by vacuous truth.
तुल्यता संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,a)) और ((a,a)) मिलें, तो आवश्यक ((a,a)) पहले से मौजूद है। / If ((a,a)) and ((a,a)) are used, the required pair ((a,a)) is already present.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को परावर्ती, सममित और संक्रामक तीनों के उदाहरण के रूप में याद रखें। / Remember the identity relation as reflexive, symmetric, and transitive.
A. क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) जरूरी हो जाते हैं/Because ((1,1)) and ((2,2)) become necessary
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। / The pairs ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। ये दोनों (R) में नहीं हैं, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / The pairs ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)). Since both are missing, the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
दो उलटे युग्म अक्सर आत्म युग्मों की मांग करते हैं। / Reverse pairs often force self-pairs.
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो संख्या रेखा पर \(a\le c\) होता है। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then on the number line \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) भी सत्य है। / So (aRc) is also true.
Step 3
Exam Tip
\(\le\) और (<) जैसे क्रम संबंधों में संक्रामकता बहुत सामान्य होती है। / Order relations like \(\le\) and (<) are common examples of transitive relations.
