Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\tan\frac{3\pi}{4}=-1\) और \(\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\)। उत्तर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में होना चाहिए। / Since \(\tan\frac{3\pi}{4}=-1), (\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\). The answer must lie in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
\(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और यह मुख्य परिसर में है। इसलिए \(-\frac{\pi}{3}\) सही है। / Since \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) and it lies in the principal range. Therefore \(-\frac{\pi}{3}\) is correct.
\(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) और \(\frac{\pi}{4}\in\left[0,\pi\right]\)। विशेष मानों की तालिका याद रखें। / Since \(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) and \(\frac{\pi}{4}\in\left[0,\pi\right]\). Remember the table of special values.
\(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। उत्तर मुख्य परिसर में होना चाहिए। / Since \(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\), \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\). The answer must lie in the principal range.
\(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान हमेशा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में लिया जाता है। इस अंतराल में \(\tan \theta\) एक-एक फलन है और प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए एक ही कोण देता है। विकल्प C सही नहीं है, क्योंकि \(\theta=\pm\frac{\pi}{2}\) पर \(\tan\theta\) अपरिभाषित होता है। परीक्षा टिप: \(\tan^{-1}x\) के लिए सिरों वाले कोण कभी शामिल नहीं होते। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) is always chosen from \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). In this interval, \(\tan\theta\) is one-to-one, so every real \(x\) corresponds to exactly one angle. Option C is incorrect because \(\tan\theta\) is undefined at \(\theta=\pm\frac{\pi}{2}\). Exam tip: the endpoint angles are never included in the principal-value range of \(\tan^{-1}x\).
\(\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। उत्तर हमेशा \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) में रखें। / Since \(\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}\), \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\). Keep the answer in \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).
\(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4})। (\cos^{-1}\) का उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / Since \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4}). The answer of (\cos^{-1}\) is not negative.
\(\csc y=\frac{2}{\sqrt{3}}\) से \(\sin y=\frac{\sqrt{3}}{2}\), इसलिए \(y=\frac{\pi}{3}\) है। \(\csc^{-1}\) को \(\sin^{-1}\) से जोड़कर हल करें। / From \(\csc y=\frac{2}{\sqrt{3}}\), \(\sin y=\frac{\sqrt{3}}{2}\), so \(y=\frac{\pi}{3}\). Solve \(\csc^{-1}\) by relating it to \(\sin^{-1}\).
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{\pi}{6}\) मुख्य परिसर में है। मुख्य मान हमेशा range में चुनें। / \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range. Always choose the value inside the principal range.
\(\sin^{-1}x\) का आउटपुट \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में होता है। इसलिए \(\theta\) इसी range में होना चाहिए। / The output of \(\sin^{-1}x\) lies in \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\). Therefore \(\theta\) must lie in this range.
\(\cos^{-1}x\) का principal output \([0,\pi]\) में होता है। equality के लिए \(\theta\) को उसी interval में लें। / The principal output of \(\cos^{-1}x\) lies in \([0,\pi]\). For equality, take \(\theta\) in that interval.
\(\tan^{-1}x\) का principal range \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) है। \(\tan\) period वाला है, इसलिए principal interval जरूरी है। / The principal range of \(\tan^{-1}x\) is (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)). Since \(\tan\) is periodic, the principal interval is necessary.
\(cosec\frac{\pi}{6}=2\), इसलिए मुख्य मान \(\frac{\pi}{6}\) है। \(cosec^{-1}x\) को \(\sin^{-1}\frac{1}{x}\) से जोड़कर सोचें। / \(cosec\frac{\pi}{6}=2\), so the principal value is \(\frac{\pi}{6}\). Think of \(cosec^{-1}x\) through \(\sin^{-1}\frac{1}{x}\).
\(\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3})। (\cos^{-1}x\) का उत्तर \([0,\pi]\) में दें। / \(\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), so \(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}\). Give the answer of \(\cos^{-1}x) in ([0,\pi]\).
\(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{3}\) का अर्थ है \(x=\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)। इसलिए \(x=-\sqrt{3}\)। / \(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{3}\) means \(x=\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\). Hence \(x=-\sqrt{3}\).
\(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और यह principal range में है। \(\sin^{-1}x\) के लिए answer \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में रखें। / \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) and it lies in the principal range. Keep the answer of \(\sin^{-1}x) in ([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
\(\cos\frac{\pi}{2}=0\) और \(\frac{\pi}{2}\in[0,\pi]\)। special values को principal range के साथ याद करें। / \(\cos\frac{\pi}{2}=0\) and \(\frac{\pi}{2}\in[0,\pi]\). Remember special values along with the principal range.
\(\tan0=0\) है और आर्कटैन्जेंट का प्रमुख मान (principal value) होता है \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). चूँकि \(0\) इस प्रमुख रेंज में आता है, अतः \(\tan^{-1}0=0\)। विकल्प \(\pm\tfrac{\pi}{2}\) शामिल नहीं हैं क्योंकि \(\tan x\) इन बिंदुओं पर अनुपस्थित (undefined) है और \(\pi\) प्रमुख रेंज के बाहर है। परीक्षा-सुझाव: आर्क-फंक्शन के principal range को हमेशा स्पष्ट रूप से याद रखें और बैठाने से पहले जाँच लें। / Since \(\tan0=0\) and the principal range of \(\tan^{-1}x\) is \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\), the principal value is \(0\). The values \(\pm\tfrac{\pi}{2}\) are not valid principal values \(\tan\\) is undefined there, and \(\pi\) lies outside the principal interval. Exam tip: always verify the principal range of the inverse trig function before selecting the value.
\(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) होने पर पहचान \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) से \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), अतः \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). परन्तु \(\theta=\cos^{-1}(\cdot)\) की principal range \([0,\pi]\) है और \(\cos\theta<0\) होने पर \(\theta\) द्वितीय क्वाड्रेंट में होगा जहाँ \(\sin\theta\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\)। सामान्य भूल: केवल मूल फलन से संकेत का ध्यान रखें—\(-\dfrac{4}{5}\) वही distractor है जो संकेत उलट देने पर चुन लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: arccos की range याद रखें और Pythagoras पहचान से मान निकालें। / From \(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) and \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) we get \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), so \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). Since \(\theta=\cos^{-1}(\ldots)\) lies in \([0,\pi]\) and \(\cos\theta<0\) places \(\theta\) in the second quadrant where sine is positive, \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\). Closest trap is \(-\dfrac{4}{5}\) from ignoring the quadrant sign. Exam tip: always use the principal range of inverse cosine and the identity \(\sin^2+\cos^2=1\).
\(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\) और \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। इसलिए योग \(\frac{\pi}{3}\) है। / Here \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\) and \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). Hence the sum is \(\frac{\pi}{3}\).
\(\sin^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}])\) है और \(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \([0,\pi]\) है। \(\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) होने पर दोनों इनवर्स फ़ंक्शन अपने प्रमुख मान के कारण \(\tfrac{\pi}{4}\) लेते हैं। अतः अंतर \(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=0\)। नज़दीकी विचलन \(\tfrac{\pi}{4}\) गलत है क्योंकि वह अंतर नहीं बल्कि घटक का मान है। परीक्षा टिप: इनवर्स त्रिकोणमितीय फलनों के प्रमुख मान (principal values) याद रखें—यही फर्क नतीजा तय करता है। / The principal value range of \(\sin^{-1}x\) is \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}])\) and for \(\cos^{-1}x\) it is \([0,\pi]\). Since \(\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\), both inverse values equal \(\tfrac{\pi}{4}\). Therefore the difference is \(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=0\). The nearest distractor \(\tfrac{\pi}{4}\) is the value of each inverse separately, not their difference. Exam tip: always check the principal value intervals for inverse trig functions before subtracting.
\(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), इसलिए मुख्य मान \(-\frac{\pi}{3}\) है। \(\sin^{-1}x\) का उत्तर हमेशा \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में रखें। / \(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), so the principal value is -\(\frac{\pi}{3}\). Keep the answer of \(\sin^{-1}x\) in \(-[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
\(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\) और \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3})। (\cos^{-1}x\) में उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / \(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\) and \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). The answer of \(\cos^{-1}x\) is not negative.
\(\tan\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\), इसलिए principal value \(\frac{\pi}{6}\) है। \(\tan^{-1}x\) का उत्तर (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) में दें। / \(\(\tan\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\), so the principal value is \(\frac{\pi}{6}\). Give the answer of \(\tan^{-1}x\) in (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\).
\(\sin^{-1}\) का principal angle चौथे quadrant में हो सकता है, जहां \(\cos\theta\) positive होता है। (5,12,13) triangle से उत्तर \(\frac{12}{13}\) है। / The principal angle of \(\sin^{-1}\) may lie in the fourth quadrant, where \(\cos\theta\) is positive. From the (5,12,13) triangle, the answer is \(\frac{12}{13}\).
\(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान-परास \([0,\pi]\) होता है, जहाँ \(x\in[-1,1]\) है। इसलिए विकल्प B सही है। \(\sin^{-1}x\) का प्रमुख मान-परास \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रमुख मान-परास को अलग-अलग याद रखें। / The principal-value range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\), where \(x\in[-1,1]\). Hence, option B is correct. The closest distractor, \(\sin^{-1}x\), has principal-value range \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\), so it is not correct. Exam tip: Memorise the principal-value ranges of inverse trigonometric functions separately.
