Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sin^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) में लिया जाता है। परीक्षा में परिसर याद रखें। / The principal value of \(\sin^{-1}x\) lies in \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Remember the range in exams.
\(\cos^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left[0,\pi\right]\) में होता है। यह सबसे सामान्य पूछी जाने वाली बात है। / The principal value of \(\cos^{-1}x\) is in \(\left[0,\pi\right]\). This is a common exam fact.
\(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में होता है। सिरों को शामिल नहीं किया जाता। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). The endpoints are not included.
\(\cot^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left(0,\pi\right)\) में लिया जाता है। याद रखें कि \(\cot^{-1}x\) में दोनों सिरे नहीं आते। / The principal value of \(\cot^{-1}x\) is taken in \(\left(0,\pi\right)\). Remember that both endpoints are excluded.
क्योंकि \(\sin 0=0\) और \(0\) \(\sin^{-1}x\) की मुख्य सीमा \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में आता है, इसलिए \(\sin^{-1}0=0\)। विकल्प \(\pi\) का भी मान \(\sin\pi=0\) है पर \(\pi\) मुख्य सीमा में नहीं आता, अतः \(\sin^{-1}0\) में उसे नहीं लिया जाता। \(\frac{\pi}{2}\) और \(-\frac{\pi}{2}\) के साइन क्रमशः 1 और -1 हैं, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: \(\sin^{-1}x\) की principal value हमेशा \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में होती है। / Since \(\sin 0=0\) and \(0\) lies in the principal range of \(\sin^{-1}x\), which is \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), we have \(\sin^{-1}0=0\). Note that although \(\sin\pi=0\), \(\pi\) is not in the principal range so arcsin does not return \(\pi\). Also \(\sin(\frac{\pi}{2})=1\) and \(\sin(-\frac{\pi}{2})=-1\), so those choices are incorrect. Exam tip: always recall the principal value range for \(\sin^{-1}x\) when evaluating inverse trig values.
\(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\) होता है। इसलिए \(\sin^{-1}\left(-1\right)=-\frac{\pi}{2}\)। / We have \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\). Hence \(\sin^{-1}\left(-1\right)=-\frac{\pi}{2}\).
अरककोसिन (\(\cos^{-1}x\)) का प्रधान मान (principal value) सेट \([0,\pi]\) होता है. \(\cos0=1\) और \(0\) इस प्रधान श्रेणी में आता है, अतः \(\cos^{-1}1=0\)। निकटतम विचलन: \(\frac{\pi}{2}\) पर \(\cos\) का मान 0 है और \(\pi\) पर \(\cos\) का मान −1 है, इसलिए वे गलत हैं। \(-\frac{\pi}{2}\) प्रधान श्रेणी में नहीं आता। परीक्षा सुझाव: अरककोस के लिए प्रधान मान हमेशा \([0,\pi]\) याद रखें। / The principal value of arccos, \(\cos^{-1}x\), lies in \([0,\pi]\). Since \(\cos0=1\) and 0 is within this principal range, \(\cos^{-1}1=0\). Closest distractors fail: \(\frac{\pi}{2}\) gives \(\cos=0\), \(\pi\) gives \(\cos=-1\), and \(-\frac{\pi}{2}\) is outside the principal range, so none are correct. Exam tip: memorize that the principal value range of arccos is \([0,\pi]\).
चूंकि प्राथमिक मान (principal value) के अनुसार \(\cos^{-1}x\) का दायरा \([0,\,\pi]\) होता है और \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), इसलिए \(\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}\)। विकल्प A और B गलत हैं क्योंकि \(\cos0=1\) और \(\cos\pi=-1\)। विकल्प D अक्सर \(\sin^{-1}\) के साथ भ्रमित किया जाता है; परन्तु \(\cos^{-1}\) का मान नकारात्मक नहीं लिया जाता। परीक्षा-सुझाव: आर्ककोस की प्राथमिक सीमा \(0\) से \(\pi\) तक याद रखें। / The principal value range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\). Since \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\), we have \(\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}\). Options A and B are incorrect because \(\cos0=1\) and \(\cos\pi=-1\). Option D \(\(-\frac{\pi}{2}\)\) is a common confusion with \(\sin^{-1}\), but arccos values lie between 0 and \(\pi\). Exam tip: memorize the principal range \(0\le\cos^{-1}x\le\pi\).
\(\cos\pi=-1\) है और \(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान (principal value) हमेशा \([0,\pi]\) में लिया जाता है। चूँकि \(\pi\) इस सीमा में है और \(\cos\pi=-1\), अतः \(\cos^{-1}(-1)=\pi\)। विकल्प \(-\pi\) भ्रामक इसलिए है कि भले ही \(\cos(-\pi)=-1\) भी होगा, पर arccos का मान principal range \([0,\pi]\) में चुना जाता है। 0 और \(\frac{\pi}{2}\) गलत हैं क्योंकि \(\cos0=1\) और \(\cos(\frac{\pi}{2})=0\)। परीक्षा सुझाव: arccos का principal range हमेशा \([0,\pi]\) याद रखें। / Since \(\cos\pi=-1\) and the principal value (range) of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\), we have \(\cos^{-1}(-1)=\pi\). The option \(-\pi\) is misleading because although \(\cos(-\pi)=-1\), arccos returns the principal value in \([0,\pi]\), not a negative angle. Options 0 and \(\frac{\pi}{2}\) are incorrect because \(\cos0=1\) and \(\cos(\frac{\pi}{2})=0\). Exam tip: always remember the range of arccos is \([0,\pi]\).
क्योंकि \(\tan 0=0\), इसलिए inverse के रूप में \(\tan^{-1}0\) वह संख्या है जिसका tangent 0 देता है — अर्थात् 0। साथ ही ध्यान दें कि \(\tan^{-1}x\) का principal मान वर्ग \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में होता है, इसलिए \(\pi\) या \(\tfrac{\pi}{2}\) मान यहाँ समुचित नहीं हैं। सबसे नज़दीकी लुभावना विकल्प \(\tfrac{\pi}{4}\) भी गलत है क्योंकि \(\tan(\tfrac{\pi}{4})=1\), न कि 0। परीक्षा टिप: किसी भी inverse trig मान के लिए पहले संबंधित trig का मान और inverse का principal range याद रखें। / Since \(\tan 0=0\), the angle whose tangent is 0 is 0, so \(\tan^{-1}0=0\). Also remember the principal value range of \(\tan^{-1}x\) is \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\), so values like \(\pi\) or \(\tfrac{\pi}{2}\) are not valid principal outputs. The closest distractor \(\tfrac{\pi}{4}\) is wrong because \(\tan(\tfrac{\pi}{4})=1\), not 0. Exam tip: always use the definition \(\tan(\theta)\) and the principal range of \(\tan^{-1}\) to find inverse values quickly.
