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Mathematics Principal value branch MCQ Questions for Class 12 General

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Principal value branch Practice Questions

Showing 31-40 of 69 questions.

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Question 31/69 Easy Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(cot^{-1}\left(-1\right)\) का मुख्य मान क्या है?

What is the principal value of \(cot^{-1}\left(-1\right)\)?

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Correct Answer

B. \(\frac{3\pi}{4}\)

Explanation

Simple Explanation

\(cot\frac{3\pi}{4}=-1) और \frac{3\pi}{4}\in\left(0,\pi\right)\)। इसलिए मुख्य मान \(\frac{3\pi}{4}\) है। / Since \(cot\frac{3\pi}{4}=-1\) and \(frac{3\pi}{4}\in\left(0,\pi\right)\), the principal value is \(frac{3\pi}{4}\).

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Question 32/69 Easy Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(cot^{-1}\left(-\sqrt{3}\right)\) का मुख्य मान क्या है?

What is the principal value of \(cot^{-1}\left(-\sqrt{3}\right)\)?

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Correct Answer

B. \(\frac{5\pi}{6}\)

Explanation

Simple Explanation

\(cot\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\) होता है। \(cot^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left(0,\pi\right)\) में लेना चाहिए। / We have \(cot\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\). The principal value of \(cot^{-1}x\) must be taken in \(\left(0,\pi\right)\).

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Question 33/69 Easy Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(\sec^{-1}2\) का प्रमुख मान क्या है?

What is the principal value of \(\sec^{-1}2\)?

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Correct Answer

A. \(\frac{\pi}{3}\)

Explanation

Simple Explanation

मुख्य विचार: \(\sec^{-1}x\) के लिए एक सामान्य उपयोगी पहचान है \(\sec^{-1}x=\cos^{-1}\frac{1}{x}\) (जहाँ प्रधान शाखा \([0,\pi],\;\pi/2\;\text{के अलावा}\) ली जाती है)। इसलिए \(\sec^{-1}2=\cos^{-1}\frac{1}{2}\)। और \(\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\) इसलिए \(\cos^{-1}\tfrac{1}{2}=\tfrac{\pi}{3}\)। इससे मुख्य मान \(\frac{\pi}{3}\) मिलता है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(\frac{2\pi}{3}\) गलत है क्योंकि \(\sec\frac{2\pi}{3}=1/\cos\frac{2\pi}{3}= -2\) (यह +2 नहीं)। परीक्षा टिप: किसी भी \(\sec^{-1}x\) को \(\cos^{-1}(1/x)\) में बदलकर मान याद रखें और मानक कोसाइन कोणों से मिलान करें। / Core idea: use the identity \(\sec^{-1}x=\cos^{-1}\frac{1}{x}\) with the principal branch \([0,\pi]\) excluding \(\pi/2\). Thus \(\sec^{-1}2=\cos^{-1}\tfrac{1}{2}\). Since \(\cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), we get \(\cos^{-1}\tfrac{1}{2}=\tfrac{\pi}{3}\). Hence the principal value is \(\tfrac{\pi}{3}\). Closest distractor \(\tfrac{2\pi}{3}\) is incorrect because \(\sec\tfrac{2\pi}{3}=-2\), not +2. Exam tip: convert \(\sec^{-1}x\) to \(\cos^{-1}(1/x)\) and use standard cosine values (\(\pi/6,\pi/3,\pi/2\), etc.).

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Question 34/69 Easy Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(sec^{-1}\left(-2\right)\) का मुख्य मान क्या है?

What is the principal value of \(sec^{-1}\left(-2\right)\)?

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Correct Answer

B. \(\frac{2\pi}{3}\)

Explanation

Simple Explanation

\(sec\frac{2\pi}{3}=-2\) और यह \(sec^{-1}x\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{2\pi}{3}\) है। / Since \(sec\frac{2\pi}{3}=-2\) and it lies in the principal range of \(sec^{-1}x\), the answer is \(\frac{2\pi}{3}\).

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Question 35/69 Easy Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

निम्नलिखित में से कौन-सा अंतराल \,\(\cot^{-1}x\) के मुख्य मानों का मानक परास है?

Which of the following intervals is the standard principal value range of \(\cot^{-1}x\)?

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Correct Answer

A. \((0,\pi)\)

Explanation

Simple Explanation

\(\cot^{-1}x\) का मुख्य मान सामान्यतः \((0,\pi)\) में लिया जाता है। इस खुले अंतराल में \(\cot\theta\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए एक-एक मान देता है, इसलिए प्रतिलोम फलन का मान अद्वितीय रहता है। \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) \(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान परास है, \(\cot^{-1}x\) का नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान परास अलग-अलग याद रखें। / The standard principal value range of \(\cot^{-1}x\) is \((0,\pi)\). On this open interval, \(\cot\theta\) gives each real value exactly once, so the inverse has a unique principal value. The interval \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) is the principal value range for \(\tan^{-1}x\), not for \(\cot^{-1}x\). Exam tip: Memorise the principal value ranges of inverse trigonometric functions separately.

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Question 36/69 Easy Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(sin^{-1}\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right)\) का मुख्य मान क्या है?

What is the principal value of \(sin^{-1}\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right)\)?

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Correct Answer

B. \(\frac{\pi}{6}\)

Explanation

Simple Explanation

\(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। हमेशा मुख्य परिसर का कोण चुनें। / Since \(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). Always choose the angle in the principal range.

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Question 37/69 Easy Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(\cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right)\) का मान क्या है?

What is the value of \(\cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right)\)?

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Correct Answer

B. \(\frac{5\pi}{6}\)

Explanation

Simple Explanation

\(\frac{5\pi}{6}\) मुख्य परिसर \(\left[0,\pi\right]\) में है। इसलिए \(cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\)। / The angle \(\frac{5\pi}{6}\) lies in the principal range \(\left[0,\pi\right]\). Hence \(cos^{-1}\left(cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\).

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Question 38/69 Easy Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

निम्नलिखित का मान क्या है: \(\tan^{-1}\left(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\)?

What is the value of \(\tan^{-1}\left(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\)?

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Correct Answer

A. \(-\frac{\pi}{3}\)

Explanation

Simple Explanation

\(\tan^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) होता है। \(-\tfrac{\pi}{3}\) इस अंतराल में आता है, और \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)। अतः \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\)। विकल्प (B) का चिन्ह विपरीत है; (C) और (D) प्रमुख क्षेत्र के बाहर के कोण हैं। परीक्षा सुझाव: पहले यह जाँचे कि दिया गया कोण प्रमुख मान क्षेत्र में है या नहीं — अगर हाँ, तो परिणाम वही कोण होगा। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). The angle \(-\tfrac{\pi}{3}\) is inside this interval and \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\). Therefore \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\). Option B has the wrong sign; options C and D correspond to angles outside the principal range. Exam tip: always check whether the original angle lies in the principal branch of the inverse trig function before simplifying.

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Question 39/69 Easy Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(tan^{-1}\left(\tan\frac{5\pi}{6}\right)\) का मुख्य मान क्या है?

What is the principal value of \(tan^{-1}\left(\tan\frac{5\pi}{6}\right)\)?

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Correct Answer

B. -\(\frac{\pi}{6}\)

Explanation

Simple Explanation

\(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) है। \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। / We have \(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Thus \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\).

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Question 40/69 Easy Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

यदि \(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)\), तो \(\cos\theta\) का मान क्या है?

If \(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)\), what is the value of \(\cos\theta\)?

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Correct Answer

A. \(\frac{12}{13}\)

Explanation

Simple Explanation

\(\theta) मुख्य परिसर में है और (\sin\theta=\frac{5}{13}\) है। इसलिए समकोण त्रिभुज से \(\cos\theta=\frac{12}{13}\)। / Here \(\theta\) is in the principal range and \(\sin\theta=\frac{5}{13}\). From a right triangle, \(\cos\theta=\frac{12}{13}\).

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