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\(\sin^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) में लिया जाता है। परीक्षा में परिसर याद रखें। / The principal value of \(\sin^{-1}x\) lies in \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Remember the range in exams.
\(\cos^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left[0,\pi\right]\) में होता है। यह सबसे सामान्य पूछी जाने वाली बात है। / The principal value of \(\cos^{-1}x\) is in \(\left[0,\pi\right]\). This is a common exam fact.
\(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में होता है। सिरों को शामिल नहीं किया जाता। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). The endpoints are not included.
\(\cot^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left(0,\pi\right)\) में लिया जाता है। याद रखें कि \(\cot^{-1}x\) में दोनों सिरे नहीं आते। / The principal value of \(\cot^{-1}x\) is taken in \(\left(0,\pi\right)\). Remember that both endpoints are excluded.
क्योंकि \(\sin 0=0\) और \(0\) \(\sin^{-1}x\) की मुख्य सीमा \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में आता है, इसलिए \(\sin^{-1}0=0\)। विकल्प \(\pi\) का भी मान \(\sin\pi=0\) है पर \(\pi\) मुख्य सीमा में नहीं आता, अतः \(\sin^{-1}0\) में उसे नहीं लिया जाता। \(\frac{\pi}{2}\) और \(-\frac{\pi}{2}\) के साइन क्रमशः 1 और -1 हैं, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: \(\sin^{-1}x\) की principal value हमेशा \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में होती है। / Since \(\sin 0=0\) and \(0\) lies in the principal range of \(\sin^{-1}x\), which is \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), we have \(\sin^{-1}0=0\). Note that although \(\sin\pi=0\), \(\pi\) is not in the principal range so arcsin does not return \(\pi\). Also \(\sin(\frac{\pi}{2})=1\) and \(\sin(-\frac{\pi}{2})=-1\), so those choices are incorrect. Exam tip: always recall the principal value range for \(\sin^{-1}x\) when evaluating inverse trig values.
\(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\) होता है। इसलिए \(\sin^{-1}\left(-1\right)=-\frac{\pi}{2}\)। / We have \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\). Hence \(\sin^{-1}\left(-1\right)=-\frac{\pi}{2}\).
अरककोसिन (\(\cos^{-1}x\)) का प्रधान मान (principal value) सेट \([0,\pi]\) होता है. \(\cos0=1\) और \(0\) इस प्रधान श्रेणी में आता है, अतः \(\cos^{-1}1=0\)। निकटतम विचलन: \(\frac{\pi}{2}\) पर \(\cos\) का मान 0 है और \(\pi\) पर \(\cos\) का मान −1 है, इसलिए वे गलत हैं। \(-\frac{\pi}{2}\) प्रधान श्रेणी में नहीं आता। परीक्षा सुझाव: अरककोस के लिए प्रधान मान हमेशा \([0,\pi]\) याद रखें। / The principal value of arccos, \(\cos^{-1}x\), lies in \([0,\pi]\). Since \(\cos0=1\) and 0 is within this principal range, \(\cos^{-1}1=0\). Closest distractors fail: \(\frac{\pi}{2}\) gives \(\cos=0\), \(\pi\) gives \(\cos=-1\), and \(-\frac{\pi}{2}\) is outside the principal range, so none are correct. Exam tip: memorize that the principal value range of arccos is \([0,\pi]\).
चूंकि प्राथमिक मान (principal value) के अनुसार \(\cos^{-1}x\) का दायरा \([0,\,\pi]\) होता है और \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), इसलिए \(\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}\)। विकल्प A और B गलत हैं क्योंकि \(\cos0=1\) और \(\cos\pi=-1\)। विकल्प D अक्सर \(\sin^{-1}\) के साथ भ्रमित किया जाता है; परन्तु \(\cos^{-1}\) का मान नकारात्मक नहीं लिया जाता। परीक्षा-सुझाव: आर्ककोस की प्राथमिक सीमा \(0\) से \(\pi\) तक याद रखें। / The principal value range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\). Since \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\), we have \(\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}\). Options A and B are incorrect because \(\cos0=1\) and \(\cos\pi=-1\). Option D \(\(-\frac{\pi}{2}\)\) is a common confusion with \(\sin^{-1}\), but arccos values lie between 0 and \(\pi\). Exam tip: memorize the principal range \(0\le\cos^{-1}x\le\pi\).
\(\cos\pi=-1\) है और \(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान (principal value) हमेशा \([0,\pi]\) में लिया जाता है। चूँकि \(\pi\) इस सीमा में है और \(\cos\pi=-1\), अतः \(\cos^{-1}(-1)=\pi\)। विकल्प \(-\pi\) भ्रामक इसलिए है कि भले ही \(\cos(-\pi)=-1\) भी होगा, पर arccos का मान principal range \([0,\pi]\) में चुना जाता है। 0 और \(\frac{\pi}{2}\) गलत हैं क्योंकि \(\cos0=1\) और \(\cos(\frac{\pi}{2})=0\)। परीक्षा सुझाव: arccos का principal range हमेशा \([0,\pi]\) याद रखें। / Since \(\cos\pi=-1\) and the principal value (range) of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\), we have \(\cos^{-1}(-1)=\pi\). The option \(-\pi\) is misleading because although \(\cos(-\pi)=-1\), arccos returns the principal value in \([0,\pi]\), not a negative angle. Options 0 and \(\frac{\pi}{2}\) are incorrect because \(\cos0=1\) and \(\cos(\frac{\pi}{2})=0\). Exam tip: always remember the range of arccos is \([0,\pi]\).
क्योंकि \(\tan 0=0\), इसलिए inverse के रूप में \(\tan^{-1}0\) वह संख्या है जिसका tangent 0 देता है — अर्थात् 0। साथ ही ध्यान दें कि \(\tan^{-1}x\) का principal मान वर्ग \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में होता है, इसलिए \(\pi\) या \(\tfrac{\pi}{2}\) मान यहाँ समुचित नहीं हैं। सबसे नज़दीकी लुभावना विकल्प \(\tfrac{\pi}{4}\) भी गलत है क्योंकि \(\tan(\tfrac{\pi}{4})=1\), न कि 0। परीक्षा टिप: किसी भी inverse trig मान के लिए पहले संबंधित trig का मान और inverse का principal range याद रखें। / Since \(\tan 0=0\), the angle whose tangent is 0 is 0, so \(\tan^{-1}0=0\). Also remember the principal value range of \(\tan^{-1}x\) is \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\), so values like \(\pi\) or \(\tfrac{\pi}{2}\) are not valid principal outputs. The closest distractor \(\tfrac{\pi}{4}\) is wrong because \(\tan(\tfrac{\pi}{4})=1\), not 0. Exam tip: always use the definition \(\tan(\theta)\) and the principal range of \(\tan^{-1}\) to find inverse values quickly.
कारण: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\) होता है और आर्कटैन्जेंट का प्रमुख मान (principal value) \(( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) के भीतर होता है, इसलिए \(\tan^{-1}1=\frac{\pi}{4}\)। अन्य विकल्प क्यों गलत हैं: \(0\) के लिए \(\tan0=0\) होता है, इसलिए सही नहीं; \(\frac{\pi}{6}\) के लिए \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\), जो 1 नहीं है; \(\frac{\pi}{2}\) पर \(\tan\) अविभाज्य (undefined) है। परीक्षा टिप: सामान्य त्रिकोणमितीय मान (जैसे \(0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)) याद रखें और arctan का principal range याद रखें। / Reason: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), and the principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\), so \(\tan^{-1}1=\frac{\pi}{4}\). Why other choices are wrong: \(0\) is wrong because \(\tan0=0\); \(\frac{\pi}{6}\) is wrong because \(\tan\frac{\pi}{6}=1/\sqrt{3}\), not 1; \(\frac{\pi}{2}\) is not valid as \(\tan\) is undefined there. Exam tip: Memorise standard tan values and remember arctan's principal range to pick the correct branch quickly.
\(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\) और \(-\frac{\pi}{4}\) मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(-\frac{\pi}{4}\) है। / Since \(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\) and \(-\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range, the answer is \(-\frac{\pi}{4}\).
क्योंकि \(\cot\frac{\pi}{4}=1\) और इनवर्स कॉट (प्रमुख मान) सामान्यतः \(0<\cot^{-1}x<\pi\) के अंतराल में परिभाषित किया जाता है, इसलिए \(\cot^{-1}1=\frac{\pi}{4}\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(\frac{\pi}{2}\) गलत है क्योंकि \(\cot\frac{\pi}{2}=0\)। परीक्षा-सुझाव: अरककोट का प्रमुख मान याद रखें — यह हमेशा \((0,\pi)\) के भीतर लिया जाता है। / Since \(\cot(\pi/4)=1\) and the principal value of \(\cot^{-1}x\) is taken in the interval \(0<\cot^{-1}x<\pi\), we get \(\cot^{-1}1=\frac{\pi}{4}\). The closest distractor \(\frac{\pi}{2}\) is incorrect because \(\cot(\pi/2)=0\). Exam tip: remember the principal-value range of arccot is \((0,\pi)\).
\(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\) है और \(\sec 0=1\)। सामान्यतः \(\sec^{-1}x\) का principal value लेकर रेंज \([0,\pi]\) (\(\pi/2\) को छोड़कर) ली जाती है, अतः \(\sec^{-1}1=0\)। विकल्प \(\pi\) गलत है क्योंकि \(\sec\pi=-1\)। विकल्प \(\tfrac{\pi}{2}\) और \(-\tfrac{\pi}{2}\) पर \(\sec\) निरूपित नहीं होता (\(\cos\theta=0\) के कारण)। परीक्षा-सूत्र: inverse trig मान लेते समय function की domain और principal range पहले जाँचें। / Since \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\) and \(\sec 0=1\), the principal value of \(\sec^{-1}1\) is \(0\). The common principal range for \(\sec^{-1}x\) is \([0,\pi]\) excluding \(\pi/2\), so \(\sec^{-1}1=0\). Option \(\pi\) is incorrect because \(\sec\pi=-1\). Options \(\tfrac{\pi}{2}\) and \(-\tfrac{\pi}{2}\) are invalid since \(\sec\) is undefined where \(\cos\theta=0\). Exam tip: always check the principal range and where the original trig function is defined before selecting the inverse value.
यदि \(\csc y=1\) तो \(\sin y=1\) होता है। \(\sin y=1\) का सामान्य हल \(y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (जहाँ \(k\in\mathbb{Z}\)) है। inverse cosec (arccosec) का प्रधान मान प्रायः \([ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\) में लिया जाता है, और इस श्रेणी का एकमात्र समाहित हल \(\frac{\pi}{2}\) है। अतः \(cosec^{-1}1=\frac{\pi}{2}\)। निकट की ग़लत विकल्पों के बारे में: \(0\) पर \(\csc\) परिभाषित नहीं है; \(-\frac{\pi}{2}\) पर \(\csc=-1\) होता है; और \(\pi\) पर \(\sin\pi=0\) होने से \(\csc\) परिभाषित नहीं। परीक्षा टिप: arccosec के प्रधान मान और \(\csc y\) को \(\sin y\) से जोडकर सामान्य हल याद रखें। / If \(\csc y=1\) then \(\sin y=1\). The general solution of \(\sin y=1\) is \(y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)). The principal value for \(cosec^{-1}x\) is usually taken in \([ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\), and the only solution in this interval is \(\frac{\pi}{2}\). Therefore \(cosec^{-1}1=\frac{\pi}{2}\). About distractors: \(0\) is not allowed (\(\csc\) undefined), \(-\frac{\pi}{2}\) gives \(\csc=-1\), and at \(\pi\) \(\sin\pi=0\) so \(\csc\) is undefined. Exam tip: convert \(\csc y=\) value to \(\sin y=\) value and then pick the principal value from the defined range.
Inverse cosecant \(\(cosec^{-1}x\)\) का प्रिंसिपल रेंज आम तौर पर \([-\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{\pi}{2}]\) (\(0\) को छोड़कर) लिया जाता है। \(\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1\) होने के कारण \(cosec(-\tfrac{\pi}{2})=-1\)। इसलिए \(cosec^{-1}(-1)=-\tfrac{\pi}{2}\)। विकल्प \(\tfrac{3\pi}{2}\) भी \(cosec= -1\) देता है पर वह प्रिंसिपल रेंज के बाहर है, इसीलिए वह सही उत्तर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी inverse trig का मान निकालते समय हमेशा उसकी मानक \(principal\) रेंज याद रखें। / The principal value of inverse cosecant, \(cosec^{-1}x\), is usually taken in \([-\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{\pi}{2}]\) excluding 0. Since \(\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1\), we have \(cosec(-\tfrac{\pi}{2})=-1\); hence \(cosec^{-1}(-1)=-\tfrac{\pi}{2}\). Note that \(\tfrac{3\pi}{2}\) also satisfies \(cosec= -1\) but it lies outside the principal range, so it is not the principal value. Exam tip: always use the principal-range convention for inverse trigonometric functions when answering numerical MCQs.
\(\frac{\pi}{6}\) मुख्य परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) में है। इसलिए मान \(\frac{\pi}{6}\) है। / The angle \(\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Hence the value is \(\frac{\pi}{6}\).
\(\frac{2\pi}{3}\) \(\cos^{-1}x\) के मुख्य परिसर \(\left[0,\pi\right]\) में है। इसलिए मान \(\frac{2\pi}{3}\) है। / The angle \(\frac{2\pi}{3}\) lies in the principal range \(\left[0,\pi\right]\) of \(\cos^{-1}x\). Hence the value is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\frac{\pi}{6}\) \(\tan^{-1}x\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए मान \(\frac{\pi}{6}\) रहेगा। / The angle \(\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range of \(\tan^{-1}x\). So the value remains \(\frac{\pi}{6}\).
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) होता है। इसलिए \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। / Since \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\), \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\).
क्योंकि \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(\sin^{-1}x\) का principal मान क्षेत्र \([-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}]\) है, अतः \(\sin^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\)। विकल्प -\(\frac{\pi}{3}\) गलत है क्योंकि \(\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)। \(\frac{\pi}{6}\) और \(\frac{\pi}{4}\) के साइन क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) होते हैं, इसलिए वे उपयुक्त नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: सामान्य कोणों के \(\sin,\cos\) मान याद रखें। / Since \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) and the principal value of \(\sin^{-1}x\) lies in \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), we have \(\sin^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). The option \(-\frac{\pi}{3}\) is incorrect because \(\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\). \(\frac{\pi}{6}\) and \(\frac{\pi}{4}\) are wrong as their sines are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) respectively. Exam tip: memorize standard sine/cosine values for common angles \(0, \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{2}\)\).
\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) होता है। इसलिए \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\)। / Since \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\).
आर्ककोस (principal value) का मान हमेशा \([0,\pi]\) पर लिया जाता है। ज्ञात है कि \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)। अतः \(\cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\;\cos\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) और \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)। परीक्षा टिप: आर्ककोस की रेंज \([0,\pi]\) और मानक त्रिकोणमितीय मान याद रखें। / The principal value of arccos is taken in the interval \([0,\pi]\). Since \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), we have \(\cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). The other choices are incorrect: \(\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\;\cos\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\), and \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\). Exam tip: memorize standard trig values and remember arccos range \([0,\pi]\).
कारण: \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) और आर्कटैन (principal value) का मान क्षेत्र \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) में लिया जाता है। इसलिए \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). निकटतम भ्रामक विकल्प की जाँच: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), इसलिए \(\frac{\pi}{4}\) गलत है; \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) और \(\tan\frac{\pi}{2}\) पर परिभाषित नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: प्रमुख कोणों के मान (\(0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\) आदि) याद रखें और आर्कफंक्शन का principal-range ध्यान में रखें। / Reason: \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\), and the principal value of arctan lies in \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\). Hence \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). Checking close distractors: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), so \(\frac{\pi}{4}\) is incorrect; \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) and \(\tan\frac{\pi}{2}\) is undefined. Exam tip: Memorise standard angle values and remember the principal range for inverse trig functions when answering quickly.
\(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\) और \(\frac{2\pi}{3}\) मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{2\pi}{3}\) है। / Since \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\) and \(\frac{2\pi}{3}\) is in the principal range, the answer is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\)। मुख्य मान हमेशा निर्धारित परिसर में लेना चाहिए। / Since \(sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) and \(sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). Always choose the principal range value.
\(tan\frac{3\pi}{4}=-1\) है और \(tan^{-1}\left(-1\right)=-\frac{\pi}{4}\)। मुख्य परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) याद रखें। / We have \(tan\frac{3\pi}{4}=-1\) and \(tan^{-1}\left(-1\right)=-\frac{\pi}{4}\). Remember the principal range \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
यदि \(\sec\theta=2\) हो तो \(\cos\theta=\dfrac{1}{2}\) होता है क्योंकि \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\)। मुख्य मान (principal value) के लिए \(\sec^{-1}x\) का परिमाण आमतौर पर \([0,\pi]\) (\(\theta\neq\tfrac{\pi}{2}\)) लिया जाता है।\n\(\cos\theta=\tfrac{1}{2}\) से \(\theta=\tfrac{\pi}{3}\) आता है, जो इस रेंज में है। इसलिए \(\sec^{-1}2=\tfrac{\pi}{3}\)।\nगलत विकल्पों पर टिप्पणी: \(\tfrac{\pi}{6}\) पर \(\sec=2/\sqrt{3}\), \(\tfrac{\pi}{4}\) पर \(\sec=\sqrt{2}\), और \(\tfrac{2\pi}{3}\) पर \(\sec=-2\) होता है — इसलिए वे सही नहीं हैं।\nपरीक्षा सुझाव: पहले \(\sec^{-1}x\) को \(\cos\theta=1/x\) में बदलें और मुख्य मान की सीमा याद रखें। / If \(\sec\theta=2\), then \(\cos\theta=\dfrac{1}{2}\) because \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\). For the principal value, \(\sec^{-1}x\) is taken in \([0,\pi]\) with \(\theta\neq\tfrac{\pi}{2}\).\nSolving \(\cos\theta=\tfrac{1}{2}\) gives \(\theta=\tfrac{\pi}{3}\), which lies in the principal range. Hence \(\sec^{-1}2=\tfrac{\pi}{3}\).\nWhy distractors fail: at \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\sec=2/\sqrt{3}\); at \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\sec=\sqrt{2}\); at \(\tfrac{2\pi}{3}\), \(\sec=-2\).\nExam tip: convert \(\sec^{-1}x\) to \(\cos\theta=1/x\) and then choose the solution inside the principal-value interval.
क्योंकि \(cosec\,\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sin(\pi/6)}=\dfrac{1}{1/2}=2\)। इसलिए प्रमुख मान (principal value) के रूप में \(cosec^{-1}2=\frac{\pi}{6}\) होगा। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(cosec\,\frac{\pi}{3}=\dfrac{1}{\sin(\pi/3)}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\), \(cosec\,\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\) और \(cosec\,\frac{\pi}{2}=1\) — ये कोई भी 2 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(cosec\theta=1/\sin\theta\) याद रखें और सर्वमान्य कोणों के sin मानों का उपयोग करें। / Since \(cosec\,\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sin(\pi/6)}=\dfrac{1}{1/2}=2\), the principal value is \(cosec^{-1}2=\frac{\pi}{6}\). The other options are incorrect because \(cosec\,\frac{\pi}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\), \(cosec\,\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\) and \(cosec\,\frac{\pi}{2}=1\), none of which equals 2. Exam tip: use \(cosec\theta=1/\sin\theta\) and remember standard sine values for common angles.
\(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) मुख्य मानों के कारण सही है। इसे विषम फलन की तरह न मानें। / The relation \(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) is correct because of principal values. Do not treat it as an odd function.
\(cot\frac{3\pi}{4}=-1) और \frac{3\pi}{4}\in\left(0,\pi\right)\)। इसलिए मुख्य मान \(\frac{3\pi}{4}\) है। / Since \(cot\frac{3\pi}{4}=-1\) and \(frac{3\pi}{4}\in\left(0,\pi\right)\), the principal value is \(frac{3\pi}{4}\).
\(cot\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\) होता है। \(cot^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left(0,\pi\right)\) में लेना चाहिए। / We have \(cot\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\). The principal value of \(cot^{-1}x\) must be taken in \(\left(0,\pi\right)\).
मुख्य विचार: \(\sec^{-1}x\) के लिए एक सामान्य उपयोगी पहचान है \(\sec^{-1}x=\cos^{-1}\frac{1}{x}\) (जहाँ प्रधान शाखा \([0,\pi],\;\pi/2\;\text{के अलावा}\) ली जाती है)। इसलिए \(\sec^{-1}2=\cos^{-1}\frac{1}{2}\)। और \(\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\) इसलिए \(\cos^{-1}\tfrac{1}{2}=\tfrac{\pi}{3}\)। इससे मुख्य मान \(\frac{\pi}{3}\) मिलता है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(\frac{2\pi}{3}\) गलत है क्योंकि \(\sec\frac{2\pi}{3}=1/\cos\frac{2\pi}{3}= -2\) (यह +2 नहीं)। परीक्षा टिप: किसी भी \(\sec^{-1}x\) को \(\cos^{-1}(1/x)\) में बदलकर मान याद रखें और मानक कोसाइन कोणों से मिलान करें। / Core idea: use the identity \(\sec^{-1}x=\cos^{-1}\frac{1}{x}\) with the principal branch \([0,\pi]\) excluding \(\pi/2\). Thus \(\sec^{-1}2=\cos^{-1}\tfrac{1}{2}\). Since \(\cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), we get \(\cos^{-1}\tfrac{1}{2}=\tfrac{\pi}{3}\). Hence the principal value is \(\tfrac{\pi}{3}\). Closest distractor \(\tfrac{2\pi}{3}\) is incorrect because \(\sec\tfrac{2\pi}{3}=-2\), not +2. Exam tip: convert \(\sec^{-1}x\) to \(\cos^{-1}(1/x)\) and use standard cosine values (\(\pi/6,\pi/3,\pi/2\), etc.).
\(sec\frac{2\pi}{3}=-2\) और यह \(sec^{-1}x\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{2\pi}{3}\) है। / Since \(sec\frac{2\pi}{3}=-2\) and it lies in the principal range of \(sec^{-1}x\), the answer is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\cot^{-1}x\) का मुख्य मान सामान्यतः \((0,\pi)\) में लिया जाता है। इस खुले अंतराल में \(\cot\theta\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए एक-एक मान देता है, इसलिए प्रतिलोम फलन का मान अद्वितीय रहता है। \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) \(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान परास है, \(\cot^{-1}x\) का नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान परास अलग-अलग याद रखें। / The standard principal value range of \(\cot^{-1}x\) is \((0,\pi)\). On this open interval, \(\cot\theta\) gives each real value exactly once, so the inverse has a unique principal value. The interval \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) is the principal value range for \(\tan^{-1}x\), not for \(\cot^{-1}x\). Exam tip: Memorise the principal value ranges of inverse trigonometric functions separately.
\(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। हमेशा मुख्य परिसर का कोण चुनें। / Since \(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). Always choose the angle in the principal range.
\(\frac{5\pi}{6}\) मुख्य परिसर \(\left[0,\pi\right]\) में है। इसलिए \(cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\)। / The angle \(\frac{5\pi}{6}\) lies in the principal range \(\left[0,\pi\right]\). Hence \(cos^{-1}\left(cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\).
\(\tan^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) होता है। \(-\tfrac{\pi}{3}\) इस अंतराल में आता है, और \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)। अतः \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\)। विकल्प (B) का चिन्ह विपरीत है; (C) और (D) प्रमुख क्षेत्र के बाहर के कोण हैं। परीक्षा सुझाव: पहले यह जाँचे कि दिया गया कोण प्रमुख मान क्षेत्र में है या नहीं — अगर हाँ, तो परिणाम वही कोण होगा। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). The angle \(-\tfrac{\pi}{3}\) is inside this interval and \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\). Therefore \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\). Option B has the wrong sign; options C and D correspond to angles outside the principal range. Exam tip: always check whether the original angle lies in the principal branch of the inverse trig function before simplifying.
\(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) है। \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। / We have \(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Thus \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\).
\(\theta) मुख्य परिसर में है और (\sin\theta=\frac{5}{13}\) है। इसलिए समकोण त्रिभुज से \(\cos\theta=\frac{12}{13}\)। / Here \(\theta\) is in the principal range and \(\sin\theta=\frac{5}{13}\). From a right triangle, \(\cos\theta=\frac{12}{13}\).
\(\cos\theta=\frac{12}{13}\) और \(\theta\in\left[0,\pi\right]\) है। इस स्थिति में \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) धनात्मक होगा। / Here \(\cos\theta=\frac{12}{13}\) and \(\theta\in\left[0,\pi\right]\). In this case, \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) is positive.
कोण \((-\frac{\pi}{4}) (\sin^{-1}x)\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए मान \(-\frac{\pi}{4}\) है। / The angle \(-\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range of \(\sin^{-1}x\). Hence the value is \(-\frac{\pi}{4}\).
\(\cos0=1\)। \(\cos^{-1}1\) वह कोण है जिसका कोसाइन 1 हो और जो इन्फर्स कोसाइन की प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में आता हो। इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), \(\cos\pi=-1\) और \(-\pi\) प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में नहीं आता। परीक्षा टिप: सामान्य रूप से \(\cos^{-1}(\cos\theta)\) निकालते समय \(\theta\) को प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में समकक्ष कोण पर लाएँ। / Since \(\cos0=1\) and \(\cos^{-1}1\) is the angle in the principal range \([0,\pi]\) whose cosine equals 1, we get \(\cos^{-1}1=0\). The other choices are incorrect: \(\cos(\pi/2)=0\), \(\cos\pi=-1\), and \(-\pi\) is outside the principal range of arccos. Exam tip: When evaluating \(\cos^{-1}(\cos\theta)\), reduce or map \(\theta\) into the principal range \([0,\pi]\) and use that equivalent angle.
