Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) मुख्य मानों के कारण सही है। इसे विषम फलन की तरह न मानें। / The relation \(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) is correct because of principal values. Do not treat it as an odd function.
\(cot\frac{3\pi}{4}=-1) और \frac{3\pi}{4}\in\left(0,\pi\right)\)। इसलिए मुख्य मान \(\frac{3\pi}{4}\) है। / Since \(cot\frac{3\pi}{4}=-1\) and \(frac{3\pi}{4}\in\left(0,\pi\right)\), the principal value is \(frac{3\pi}{4}\).
\(cot\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\) होता है। \(cot^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left(0,\pi\right)\) में लेना चाहिए। / We have \(cot\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\). The principal value of \(cot^{-1}x\) must be taken in \(\left(0,\pi\right)\).
मुख्य विचार: \(\sec^{-1}x\) के लिए एक सामान्य उपयोगी पहचान है \(\sec^{-1}x=\cos^{-1}\frac{1}{x}\) (जहाँ प्रधान शाखा \([0,\pi],\;\pi/2\;\text{के अलावा}\) ली जाती है)। इसलिए \(\sec^{-1}2=\cos^{-1}\frac{1}{2}\)। और \(\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\) इसलिए \(\cos^{-1}\tfrac{1}{2}=\tfrac{\pi}{3}\)। इससे मुख्य मान \(\frac{\pi}{3}\) मिलता है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(\frac{2\pi}{3}\) गलत है क्योंकि \(\sec\frac{2\pi}{3}=1/\cos\frac{2\pi}{3}= -2\) (यह +2 नहीं)। परीक्षा टिप: किसी भी \(\sec^{-1}x\) को \(\cos^{-1}(1/x)\) में बदलकर मान याद रखें और मानक कोसाइन कोणों से मिलान करें। / Core idea: use the identity \(\sec^{-1}x=\cos^{-1}\frac{1}{x}\) with the principal branch \([0,\pi]\) excluding \(\pi/2\). Thus \(\sec^{-1}2=\cos^{-1}\tfrac{1}{2}\). Since \(\cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), we get \(\cos^{-1}\tfrac{1}{2}=\tfrac{\pi}{3}\). Hence the principal value is \(\tfrac{\pi}{3}\). Closest distractor \(\tfrac{2\pi}{3}\) is incorrect because \(\sec\tfrac{2\pi}{3}=-2\), not +2. Exam tip: convert \(\sec^{-1}x\) to \(\cos^{-1}(1/x)\) and use standard cosine values (\(\pi/6,\pi/3,\pi/2\), etc.).
\(sec\frac{2\pi}{3}=-2\) और यह \(sec^{-1}x\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{2\pi}{3}\) है। / Since \(sec\frac{2\pi}{3}=-2\) and it lies in the principal range of \(sec^{-1}x\), the answer is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\cot^{-1}x\) का मुख्य मान सामान्यतः \((0,\pi)\) में लिया जाता है। इस खुले अंतराल में \(\cot\theta\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए एक-एक मान देता है, इसलिए प्रतिलोम फलन का मान अद्वितीय रहता है। \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) \(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान परास है, \(\cot^{-1}x\) का नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान परास अलग-अलग याद रखें। / The standard principal value range of \(\cot^{-1}x\) is \((0,\pi)\). On this open interval, \(\cot\theta\) gives each real value exactly once, so the inverse has a unique principal value. The interval \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) is the principal value range for \(\tan^{-1}x\), not for \(\cot^{-1}x\). Exam tip: Memorise the principal value ranges of inverse trigonometric functions separately.
\(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। हमेशा मुख्य परिसर का कोण चुनें। / Since \(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). Always choose the angle in the principal range.
\(\frac{5\pi}{6}\) मुख्य परिसर \(\left[0,\pi\right]\) में है। इसलिए \(cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\)। / The angle \(\frac{5\pi}{6}\) lies in the principal range \(\left[0,\pi\right]\). Hence \(cos^{-1}\left(cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\).
\(\tan^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) होता है। \(-\tfrac{\pi}{3}\) इस अंतराल में आता है, और \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)। अतः \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\)। विकल्प (B) का चिन्ह विपरीत है; (C) और (D) प्रमुख क्षेत्र के बाहर के कोण हैं। परीक्षा सुझाव: पहले यह जाँचे कि दिया गया कोण प्रमुख मान क्षेत्र में है या नहीं — अगर हाँ, तो परिणाम वही कोण होगा। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). The angle \(-\tfrac{\pi}{3}\) is inside this interval and \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\). Therefore \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\). Option B has the wrong sign; options C and D correspond to angles outside the principal range. Exam tip: always check whether the original angle lies in the principal branch of the inverse trig function before simplifying.
\(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) है। \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। / We have \(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Thus \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\).
\(\theta) मुख्य परिसर में है और (\sin\theta=\frac{5}{13}\) है। इसलिए समकोण त्रिभुज से \(\cos\theta=\frac{12}{13}\)। / Here \(\theta\) is in the principal range and \(\sin\theta=\frac{5}{13}\). From a right triangle, \(\cos\theta=\frac{12}{13}\).
\(\cos\theta=\frac{12}{13}\) और \(\theta\in\left[0,\pi\right]\) है। इस स्थिति में \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) धनात्मक होगा। / Here \(\cos\theta=\frac{12}{13}\) and \(\theta\in\left[0,\pi\right]\). In this case, \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) is positive.
कोण \((-\frac{\pi}{4}) (\sin^{-1}x)\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए मान \(-\frac{\pi}{4}\) है। / The angle \(-\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range of \(\sin^{-1}x\). Hence the value is \(-\frac{\pi}{4}\).
\(\cos0=1\)। \(\cos^{-1}1\) वह कोण है जिसका कोसाइन 1 हो और जो इन्फर्स कोसाइन की प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में आता हो। इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), \(\cos\pi=-1\) और \(-\pi\) प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में नहीं आता। परीक्षा टिप: सामान्य रूप से \(\cos^{-1}(\cos\theta)\) निकालते समय \(\theta\) को प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में समकक्ष कोण पर लाएँ। / Since \(\cos0=1\) and \(\cos^{-1}1\) is the angle in the principal range \([0,\pi]\) whose cosine equals 1, we get \(\cos^{-1}1=0\). The other choices are incorrect: \(\cos(\pi/2)=0\), \(\cos\pi=-1\), and \(-\pi\) is outside the principal range of arccos. Exam tip: When evaluating \(\cos^{-1}(\cos\theta)\), reduce or map \(\theta\) into the principal range \([0,\pi]\) and use that equivalent angle.
