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Mathematics Principal value branch MCQ Questions for Class 12 General

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Principal value branch Practice Questions

Showing 61-69 of 69 questions.

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Question 61/69 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\((\tan^{-1}0)\) का मुख्य मान क्या है?

What is the principal value of \((\tan^{-1}0)\)?

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Correct Answer

A. 0

Explanation

Simple Explanation

\(\tan0=0\) है और आर्कटैन्जेंट का प्रमुख मान (principal value) होता है \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). चूँकि \(0\) इस प्रमुख रेंज में आता है, अतः \(\tan^{-1}0=0\)। विकल्प \(\pm\tfrac{\pi}{2}\) शामिल नहीं हैं क्योंकि \(\tan x\) इन बिंदुओं पर अनुपस्थित (undefined) है और \(\pi\) प्रमुख रेंज के बाहर है। परीक्षा-सुझाव: आर्क-फंक्शन के principal range को हमेशा स्पष्ट रूप से याद रखें और बैठाने से पहले जाँच लें। / Since \(\tan0=0\) and the principal range of \(\tan^{-1}x\) is \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\), the principal value is \(0\). The values \(\pm\tfrac{\pi}{2}\) are not valid principal values \(\tan\\) is undefined there, and \(\pi\) lies outside the principal interval. Exam tip: always verify the principal range of the inverse trig function before selecting the value.

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Question 62/69 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

यदि \(\theta=\cos^{-1}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\), तो \(\sin\theta\) का मान क्या है?

If \(\theta=\cos^{-1}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\), what is the value of \(\sin\theta\)?

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A. \(\dfrac{4}{5}\)

Explanation

Simple Explanation

\(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) होने पर पहचान \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) से \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), अतः \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). परन्तु \(\theta=\cos^{-1}(\cdot)\) की principal range \([0,\pi]\) है और \(\cos\theta<0\) होने पर \(\theta\) द्वितीय क्वाड्रेंट में होगा जहाँ \(\sin\theta\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\)। सामान्य भूल: केवल मूल फलन से संकेत का ध्यान रखें—\(-\dfrac{4}{5}\) वही distractor है जो संकेत उलट देने पर चुन लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: arccos की range याद रखें और Pythagoras पहचान से मान निकालें। / From \(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) and \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) we get \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), so \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). Since \(\theta=\cos^{-1}(\ldots)\) lies in \([0,\pi]\) and \(\cos\theta<0\) places \(\theta\) in the second quadrant where sine is positive, \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\). Closest trap is \(-\dfrac{4}{5}\) from ignoring the quadrant sign. Exam tip: always use the principal range of inverse cosine and the identity \(\sin^2+\cos^2=1\).

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Question 63/69 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\) का मान क्या है?

What is the value of \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\)?

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A. \(\frac{\pi}{3}\)

Explanation

Simple Explanation

\(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\) और \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। इसलिए योग \(\frac{\pi}{3}\) है। / Here \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\) and \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). Hence the sum is \(\frac{\pi}{3}\).

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Question 64/69 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

निम्नलिखित का मान क्या है? \(\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

Find the value of \(\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

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A. 0

Explanation

Simple Explanation

\(\sin^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}])\) है और \(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \([0,\pi]\) है। \(\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) होने पर दोनों इनवर्स फ़ंक्शन अपने प्रमुख मान के कारण \(\tfrac{\pi}{4}\) लेते हैं। अतः अंतर \(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=0\)। नज़दीकी विचलन \(\tfrac{\pi}{4}\) गलत है क्योंकि वह अंतर नहीं बल्कि घटक का मान है। परीक्षा टिप: इनवर्स त्रिकोणमितीय फलनों के प्रमुख मान (principal values) याद रखें—यही फर्क नतीजा तय करता है। / The principal value range of \(\sin^{-1}x\) is \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}])\) and for \(\cos^{-1}x\) it is \([0,\pi]\). Since \(\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\), both inverse values equal \(\tfrac{\pi}{4}\). Therefore the difference is \(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=0\). The nearest distractor \(\tfrac{\pi}{4}\) is the value of each inverse separately, not their difference. Exam tip: always check the principal value intervals for inverse trig functions before subtracting.

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Question 65/69 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\) का मुख्य मान क्या है?

What is the principal value of \(\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\)?

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B. -\(\frac{\pi}{3}\)

Explanation

Simple Explanation

\(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), इसलिए मुख्य मान \(-\frac{\pi}{3}\) है। \(\sin^{-1}x\) का उत्तर हमेशा \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में रखें। / \(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), so the principal value is -\(\frac{\pi}{3}\). Keep the answer of \(\sin^{-1}x\) in \(-[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).

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Question 66/69 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(\cos^{-1}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\) का मुख्य मान क्या है?

What is the principal value of \(\cos^{-1}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\)?

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B. \(\frac{\pi}{3}\)

Explanation

Simple Explanation

\(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\) और \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3})। (\cos^{-1}x\) में उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / \(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\) and \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). The answer of \(\cos^{-1}x\) is not negative.

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Question 67/69 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(\tan^{-1}\left(\tan\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)\) का मुख्य मान क्या है?

What is the principal value of \(\tan^{-1}\left(\tan\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)\)?

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B. \(\frac{\pi}{6}\)

Explanation

Simple Explanation

\(\tan\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\), इसलिए principal value \(\frac{\pi}{6}\) है। \(\tan^{-1}x\) का उत्तर (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) में दें। / \(\(\tan\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\), so the principal value is \(\frac{\pi}{6}\). Give the answer of \(\tan^{-1}x\) in (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\).

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Question 68/69 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

\(\cos\left(\sin^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)\right)\) का मान क्या है?

What is the value of \(\cos\left(\sin^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)\right)\)?

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A. \(\frac{12}{13}\)

Explanation

Simple Explanation

\(\sin^{-1}\) का principal angle चौथे quadrant में हो सकता है, जहां \(\cos\theta\) positive होता है। (5,12,13) triangle से उत्तर \(\frac{12}{13}\) है। / The principal angle of \(\sin^{-1}\) may lie in the fourth quadrant, where \(\cos\theta\) is positive. From the (5,12,13) triangle, the answer is \(\frac{12}{13}\).

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Question 69/69 Medium Mathematics Inverse Trigonometric Functions Principal value branch Class 12 Level 32

निम्नलिखित में से किस प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का प्रमुख मान-परास \([0,\pi]\) होता है?

Which of the following inverse trigonometric functions has the principal-value range \([0,\pi]\)?

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B. \(\cos^{-1}x\)

Explanation

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\(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान-परास \([0,\pi]\) होता है, जहाँ \(x\in[-1,1]\) है। इसलिए विकल्प B सही है। \(\sin^{-1}x\) का प्रमुख मान-परास \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रमुख मान-परास को अलग-अलग याद रखें। / The principal-value range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\), where \(x\in[-1,1]\). Hence, option B is correct. The closest distractor, \(\sin^{-1}x\), has principal-value range \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\), so it is not correct. Exam tip: Memorise the principal-value ranges of inverse trigonometric functions separately.

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