Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
धनात्मक 6 के गुणज जो 20 से छोटे हैं वे हैं 6, 12 और 18। इसलिए \(A=\{6,12,18\}\) और वही सेट \(B\) है, अतः \(A\) और \(B\) समान हैं। विकल्प C (\(B\subset A\) परंतु \(A\ne B\)) गलत है क्योंकि \(A\) में कोई अतिरिक्त तत्व नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\) के केवल तीन तत्व हैं, यह अनंत नहीं है। परीक्षा-टिप: सेट-बिल्डर व्यंजनों को स्पष्ट करने के लिए हमेशा पहले तत्व सूचीबद्ध करें। / The positive multiples of 6 less than 20 are 6, 12 and 18. Thus \(A=\{6,12,18\}\), which is exactly \(B\), so \(A\) and \(B\) are equal. Option C is incorrect because it claims \(A\) has extra elements beyond \(B\), which it does not; option D is wrong since \(A\) contains only three elements (finite). Exam tip: when a set is given in set‑builder form, list its elements (within the specified domain) to compare sets directly.
सम अवधारणा: सम संख्या वे होते हैं जो 2 से पूरी तरह विभाज्य हों। सेट \(A\) के तत्वों में 2, 4 और 6 ऐसे हैं जो 2 से विभाज्य हैं। इसलिए सम अवयवों का समुच्चय \(B=\{2,4,6\}\) और यह स्पष्ट रूप से \(B\subset A\) है। निकटतम विचलन (विकल्प C) केवल 2 और 4 देता है और 6 को छोड़ देता है; विकल्प A विषम संख्याएँ हैं और विकल्प D में विषम भी शामिल हैं, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: हर तत्व पर "2 से विभाज्यता" की तेज जाँच से सम अवयव तुरंत मिल जाते हैं। / Core concept: even numbers are those divisible by 2. Among the elements of \(A\) only 2, 4 and 6 are divisible by 2, so the set of even elements is \(B=\{2,4,6\}\), and clearly \(B\subset A\). The closest distractor (option C) omits 6; option A lists odd numbers; option D is the whole set including odd elements, so they are incorrect. Exam tip: check divisibility by 2 for each element to identify even members quickly.
15 के धनात्मक भाजक हैं 1, 3, 5 और 15। इसलिए समुच्चय A के सभी तत्व ठीक वही हैं जो B में दिये गए हैं, अतः A = B। विकल्प (B) गलत है क्योंकि वह कहता है कि A, B का एक उचित उपसमुच्चय है (A⊂B) जबकि वास्तव में दोनों समुच्चय समान हैं; विकल्प (C) भी गलत है क्योंकि वह B को A का उचित उपसमुच्चय मानता है — यह भी सत्य नहीं। परिक्षा-टिप: किसी संख्या के सभी धनात्मक भाजक निकालने के लिए संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और फिर गुणनखंडों से सभी संभावित गुणा-योग से भाजक बनाएं; 15 = 3×5 से भाजक 1,3,5,15 मिलते हैं। / The positive divisors of 15 are 1, 3, 5 and 15. Thus A contains exactly these elements and matches B, so A = B. Option B is incorrect because it claims A is a proper subset of B (A ⊂ B), but here A and B have the same elements; option C is also incorrect for the analogous reason. Exam tip: Factor the number (15 = 3×5) and list all combinations of prime factors (including 1 and the number itself) to get all positive divisors quickly.
D. न तो \(A\subseteq B\) और न ही \(B\subseteq A\)/Neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
दो समुच्चयों के बराबर होने के लिए उनकी हर तत्व एक-दूसरे में होना आवश्यक है। यहाँ \(A\) में तत्व \(a\) है जो \(B\) में नहीं है, और \(B\) में \(d\) है जो \(A\) में नहीं है। अतः \(A= B\) गलत है। \(A\subset B\) तभी सही होगा जब हर तत्व \(A\) का \(B\) में भी हो — किन्तु \(a\) \(B\) में नहीं है, इसलिए यह भी गलत है। इसी प्रकार \(B\subset A\) भी गलत है क्योंकि \(d\) \(A\) में नहीं है। इसलिए सही कथन है कि न तो \(A\subseteq B\) और न ही \(B\subseteq A\)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी समुच्चय-तुलना में हर तत्व की सदस्यता एक-एक जाँचें; किसी एक तत्व का अभाव उपसमुच्चय का तात्कालिक खंडन कर देता है। / For two sets to be equal they must have exactly the same elements. Here \(A\) contains \(a\) which is not in \(B\), and \(B\) contains \(d\) which is not in \(A\). So \(A= B\) is false. \(A\subset B\) would require every element of \(A\) to be in \(B\), but \(a\notin B\), so that is false; similarly \(B\subset A\) is false because \(d\notin A\). Thus neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\) holds. Exam tip: to test subset relations, verify membership of each element of the smaller-looking set in the other set; a single counterexample is sufficient to disprove a subset claim.
A. (A=B), क्योंकि दोनों में वास्तविक अवयव केवल (3) है/(A=B), because the only actual element in both is (3)
Step 1
Concept
(x-2-6x+9=(x-3)2), इसलिए हल (x=3) है। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so the solution is (x=3).
Step 2
Why this answer is correct
समुच्चय में समान अवयव बार-बार लिखने से नया अवयव नहीं बनता, इसलिए \(B=\{3\}\) माना जाएगा। / Repeating the same element does not create new elements in a set, so \(B=\{3\}\).
Step 3
Exam Tip
दोहराए हुए मूल या दोहराए हुए अवयव को समुच्चय में एक बार ही गिनें। / Count a repeated root or repeated element only once in set questions.
A. (A=B), क्योंकि दोनों में वही चार अवयव हैं/(A=B), because both have the same four elements
Step 1
Concept
(-5) से (5) तक के पूर्णांक लिखकर (3) से भाग देने पर शेष (1) वाले मान चुनते हैं। / List the integers from (-5) to (5) and choose those that leave remainder (1) on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(-5,-2,1,4) सभी \(x \equiv 1 \pmod{3}\) को पूरा करते हैं, इसलिए (A) और (B) के अवयव समान हैं। / The values (-5,-2,1,4) all satisfy \(x \equiv 1 \pmod{3}\), so (A) and (B) have the same elements.
Step 3
Exam Tip
बराबर समुच्चय में क्रम नहीं, केवल अवयवों की समानता देखी जाती है। / For equal sets, compare elements, not their order.
(0) और (1) के बीच कई परिमेय संख्याएँ होती हैं, जैसे \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\)। / There are many rational numbers between (0) and (1), such as \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी संख्याएँ बिना अंत के बनाई जा सकती हैं, इसलिए अवयवों की संख्या सीमित नहीं है। / Such numbers can be formed endlessly, so the number of elements is not limited.
Step 3
Exam Tip
छोटे अंतराल में भी परिमेय संख्याओं का समुच्चय अपरिमित हो सकता है। / Even a small interval can contain infinitely many rational numbers.
