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No natural number lies between them, so no element is found.
Step 3
Exam Tip
In such a case, the set is empty. चरण 1: (4) और (5) लगातार प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 2: इनके बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं आती इसलिए कोई तत्व नहीं मिलेगा। चरण 3: ऐसी स्थिति में समुच्चय रिक्त माना जाता है।
From \(x^2+1=0\), we get \(x^2=-1\), which is impossible for a natural number.
Step 3
Exam Tip
If no value satisfies the condition, the set is empty. चरण 1: प्राकृतिक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: \(x^2+1=0\) से \(x^2=-1\) मिलेगा, जो किसी प्राकृतिक संख्या से संभव नहीं है। चरण 3: जब कोई मान शर्त पूरी न करे तो समुच्चय रिक्त होता है।
It has (5) distinct elements and the counting ends.
Step 3
Exam Tip
A set with limited elements is finite. चरण 1: (A) में लिखे हुए तत्वों को गिनें। चरण 2: इसमें कुल (5) अलग-अलग तत्व हैं और गिनती समाप्त हो जाती है। चरण 3: सीमित तत्वों वाला समुच्चय परिमित होता है।
Sets whose elements can be completely counted are finite sets. चरण 1: (31) दिन वाले महीनों की संख्या निश्चित होती है। चरण 2: ऐसे महीने गिने जा सकते हैं, इसलिए सूची समाप्त हो जाती है। चरण 3: जिन समुच्चयों की गिनती पूरी हो जाए उन्हें परिमित समुच्चय कहते हैं।
Positive multiples of (7) are \(7,14,21,28,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The list keeps going and has no last element.
Step 3
Exam Tip
A set whose counting does not end is infinite. चरण 1: (7) के धनात्मक गुणज \(7,14,21,28,\ldots\) हैं। चरण 2: यह सूची आगे बढ़ती रहती है और अंतिम तत्व नहीं मिलता। चरण 3: जिस समुच्चय की गिनती समाप्त न हो उसे अनंत समुच्चय कहते हैं।
The natural multiples of (3) less than (15) are (3,6,9,12).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements written in (A).
Step 3
Exam Tip
To check equality, match the actual elements of both sets. चरण 1: (15) से छोटे (3) के प्राकृतिक गुणज (3,6,9,12) हैं। चरण 2: यही सभी तत्व (A) में लिखे हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय दोनों समुच्चयों के वास्तविक तत्व मिलाएँ।
(5,10,15) are present in both; only the order is changed.
Step 3
Exam Tip
Order does not matter in a set. चरण 1: दोनों समुच्चयों में तत्वों को ध्यान से मिलाएँ। चरण 2: (5,10,15) दोनों में हैं, केवल क्रम बदला है। चरण 3: समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता।
For \(n=1,2,3,\ldots\), we get \(x=2,4,6,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This list of even numbers keeps continuing.
Step 3
Exam Tip
A set with no last element is infinite. चरण 1: \(n=1,2,3,\ldots\) रखने पर \(x=2,4,6,\ldots\) मिलता है। चरण 2: यह सम संख्याओं की सूची आगे चलती रहती है। चरण 3: जिसका अंतिम तत्व न मिले वह समुच्चय अनंत होता है।
When no element is found, the correct form is \(\varnothing\). चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ सामान्य रूप से (1) से शुरू होती हैं। चरण 2: (1) से छोटी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 3: कोई तत्व न मिलने पर सही रूप \(\varnothing\) है।
A. ({x:x संख्या 10 से छोटी अभाज्य प्राकृतिक संख्या है})/({x:x is a prime natural number less than 10})
Step 1
Concept
Prime natural numbers less than (10) are (2,3,5,7).
Step 2
Why this answer is correct
The first option gives exactly these elements.
Step 3
Exam Tip
Do not treat (1) as prime, and match all elements carefully. चरण 1: (10) से छोटी अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ (2,3,5,7) हैं। चरण 2: पहले विकल्प में यही तत्व मिलते हैं। चरण 3: (1) को अभाज्य न मानें और सभी तत्व ध्यान से मिलाएँ।
Sets written in different forms are equal if their elements are the same. चरण 1: (8) से छोटी धनात्मक विषम संख्याएँ (1,3,5,7) हैं। चरण 2: (P) में भी यही तत्व हैं। चरण 3: अलग भाषा में लिखे समुच्चय भी तत्व समान होने पर समान होते हैं।
(3) is a natural number, so that set has one element.
Step 3
Exam Tip
In options, look for an element that satisfies the condition. चरण 1: तीसरी शर्त (x+2=5) से (x=3) मिलता है। चरण 2: (3) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए उस समुच्चय में एक तत्व है। चरण 3: विकल्पों में शर्त पूरी करने वाला तत्व खोजें।
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements are (2,4,6).
Step 3
Exam Tip
Remove repetitions before counting. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व अलग से नहीं गिने जाते। चरण 2: अलग-अलग तत्व (2,4,6) हैं। चरण 3: गिनती से पहले दोहराव हटाना जरूरी है।
The list of birth dates will also be limited, even if some dates repeat.
Step 3
Exam Tip
Limited real-life lists form finite sets. चरण 1: कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या सीमित है। चरण 2: जन्म तिथियों की सूची भी सीमित ही होगी, भले कुछ तिथियाँ समान हों। चरण 3: वास्तविक जीवन की सीमित सूचियाँ परिमित समुच्चय देती हैं।
\(\varnothing\) and (0) are two different objects.
Step 2
Why this answer is correct
Both are written inside the outer braces as separate elements.
Step 3
Exam Tip
When \(\varnothing\) is inside braces, count it as an element. चरण 1: \(\varnothing\) और (0) दो अलग-अलग वस्तुएँ हैं। चरण 2: दोनों बाहरी कोष्ठक के अंदर अलग-अलग तत्व की तरह लिखे हैं। चरण 3: \(\varnothing\) को अंदर लिखा देखकर उसे भी तत्व मानें।
Match a rule-based set with its listed form. चरण 1: (n=1,2,3) रखने पर (x=1,4,9) मिलता है। चरण 2: ये सभी तत्व (A) में भी हैं। चरण 3: नियम से बने समुच्चय को सूची से मिलाकर देखें।
The integer solutions of \(x^2=1\) are (x=1) and (x=-1).
Step 2
Why this answer is correct
Both are integers, so both belong to the set.
Step 3
Exam Tip
In square equations, check both positive and negative values. चरण 1: \(x^2=1\) के पूर्णांक हल (x=1) और (x=-1) हैं। चरण 2: दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों समुच्चय में आएँगे। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्न में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान जाँचें।
Keep both the natural number condition and the limit in mind. चरण 1: (10) से छोटी सम प्राकृतिक संख्याएँ खोजें। चरण 2: (2,4,6,8) ही उपयुक्त तत्व हैं। चरण 3: प्राकृतिक संख्या की परिभाषा और दी गई सीमा दोनों को ध्यान में रखें।
C. \({\varnothing}\) में एक तत्व है/\({\varnothing}\) has one element
Step 1
Concept
\(\varnothing\) has no element.
Step 2
Why this answer is correct
\({\varnothing}\) contains the empty set itself as one element.
Step 3
Exam Tip
Look at the outer braces to see what is placed as an element. चरण 1: \(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता। चरण 2: \({\varnothing}\) में रिक्त समुच्चय स्वयं एक तत्व है। चरण 3: बाहरी कोष्ठक देखकर समझें कि क्या तत्व के रूप में रखा गया है।
In fixed-list questions, count the elements directly. चरण 1: सप्ताह में दिनों की संख्या निश्चित होती है। चरण 2: सोमवार से रविवार तक कुल (7) दिन होते हैं। चरण 3: निश्चित सूची वाले प्रश्नों में तत्वों की संख्या सीधे गिनें।
The set of factors of a fixed number is finite. चरण 1: (13) के प्राकृतिक गुणनखंड (1) और (13) हैं। चरण 2: केवल दो तत्व मिलते हैं, इसलिए गिनती समाप्त हो जाती है। चरण 3: किसी निश्चित संख्या के गुणनखंडों का समुच्चय परिमित होता है।
Since no prime number is found, the set is empty. चरण 1: (2) से छोटी प्राकृतिक संख्या (1) है। चरण 2: (1) अभाज्य संख्या नहीं होती। चरण 3: कोई अभाज्य संख्या न मिलने पर समुच्चय रिक्त है।
Natural numbers greater than (50) are \(51,52,53,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The list continues without a last number.
Step 3
Exam Tip
A set can be infinite even when it has only a lower limit. चरण 1: (50) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ \(51,52,53,\ldots\) हैं। चरण 2: यह सूची बिना अंतिम संख्या के आगे बढ़ती है। चरण 3: केवल निचली सीमा होने से समुच्चय अनंत हो सकता है।
In (B), (3) is written twice but counted once in a set.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets have actual elements (3,6,9).
Step 3
Exam Tip
Repetition does not change equality. चरण 1: (B) में (3) दो बार लिखा है, पर समुच्चय में एक बार माना जाएगा। चरण 2: दोनों में वास्तविक तत्व (3,6,9) हैं। चरण 3: दोहराव समानता को नहीं बदलता।
Positive multiples of (10) less than (100) are \(10,20,\ldots,90\).
Step 2
Why this answer is correct
Their total number is (9).
Step 3
Exam Tip
When an upper limit exists, counting can be completed. चरण 1: (100) से छोटी (10) की धनात्मक गुणज संख्याएँ \(10,20,\ldots,90\) हैं। चरण 2: इनकी कुल संख्या (9) है। चरण 3: ऊपरी सीमा होने पर गिनती पूरी हो जाती है।
An impossible condition gives an empty set. चरण 1: किसी भी पूर्णांक का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: इसलिए \(x^2=-4\) कोई पूर्णांक पूरा नहीं कर सकता। चरण 3: असंभव शर्त रिक्त समुच्चय देती है।
The first option gives exactly those three elements.
Step 3
Exam Tip
In power-based questions, substitute values and form the list. चरण 1: (n=1,2,3) के घन (1,8,27) होते हैं। चरण 2: पहला विकल्प वही तीन तत्व देता है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में मान रखकर सूची बनाएं।
Therefore, the set of all integers is infinite. चरण 1: पूर्णांक \(\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\) होते हैं। चरण 2: वे दोनों दिशाओं में बिना अंत के चलते हैं। चरण 3: इसलिए सभी पूर्णांकों का समुच्चय अनंत है।
In combined conditions, both conditions must be satisfied together. चरण 1: (9) के गुणनखंड (1,3,9) हैं। चरण 2: इनमें कोई भी सम संख्या नहीं है। चरण 3: संयुक्त शर्तों में दोनों शर्तें साथ पूरी होनी चाहिए।
In object-based questions, count the distinct possible values. चरण 1: सामान्य पासे पर (1) से (6) तक संख्याएँ होती हैं। चरण 2: इसलिए समुच्चय में (6) तत्व हैं। चरण 3: वस्तु आधारित प्रश्नों में संभावित अलग-अलग मान गिनें।
Changing order does not change equality of sets. चरण 1: (6) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4,5) हैं। चरण 2: (B) में वही तत्व उल्टे क्रम में लिखे हैं। चरण 3: क्रम बदलने से समुच्चय की समानता नहीं बदलती।
Natural numbers between (10) and (15) are (11,12,13,14).
Step 2
Why this answer is correct
Their number is (4).
Step 3
Exam Tip
In open boundaries, the end numbers are not included. चरण 1: (10) और (15) के बीच प्राकृतिक संख्याएँ (11,12,13,14) हैं। चरण 2: इनकी संख्या (4) है। चरण 3: खुली सीमा में किनारे की संख्याएँ शामिल नहीं होतीं।
Its number of elements is (0), which is a fixed number.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the empty set is also considered finite. चरण 1: \(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता। चरण 2: तत्वों की संख्या (0) है, जो एक निश्चित संख्या है। चरण 3: इसलिए रिक्त समुच्चय भी परिमित समुच्चय माना जाता है।
Two-digit natural numbers range from (10) to (99).
Step 2
Why this answer is correct
The list is large but limited.
Step 3
Exam Tip
A large list is still finite if the counting ends. चरण 1: दो अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ (10) से (99) तक होती हैं। चरण 2: यह सूची बड़ी है, पर सीमित है। चरण 3: बड़ी सूची भी परिमित होती है यदि गिनती समाप्त हो जाए।
Natural numbers greater than it are \(1000,1001,1002,\ldots\).
Step 3
Exam Tip
There is no last number, so the set is infinite. चरण 1: तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या (999) है। चरण 2: उससे बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ \(1000,1001,1002,\ldots\) हैं। चरण 3: आगे कोई अंतिम संख्या नहीं है, इसलिए समुच्चय अनंत है।
The common factors are (1) and (2). चरण 1: (4) के गुणनखंड (1,2,4) हैं। चरण 2: (6) के गुणनखंड (1,2,3,6) हैं। चरण 3: दोनों में समान गुणनखंड (1) और (2) हैं।
Natural numbers divisible by (11) are \(11,22,33,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This sequence continues endlessly.
Step 3
Exam Tip
Such sets without an upper limit are infinite. चरण 1: (11) से विभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ \(11,22,33,\ldots\) हैं। चरण 2: यह क्रम बिना अंत के जारी रहता है। चरण 3: बिना ऊपरी सीमा वाले ऐसे समुच्चय अनंत होते हैं।
In strict inequality, the boundary numbers are not included. चरण 1: (-2) और (2) के बीच आने वाले पूर्णांक देखें। चरण 2: (-1,0,1) ही शर्त पूरी करते हैं। चरण 3: सख्त असमानता में किनारे की संख्याएँ शामिल नहीं होतीं।
No natural number can be even and odd at the same time.
Step 2
Why this answer is correct
So the two conditions cannot be satisfied together.
Step 3
Exam Tip
Contradictory conditions often give an empty set. चरण 1: कोई भी प्राकृतिक संख्या एक साथ सम और विषम नहीं हो सकती। चरण 2: इसलिए दी गई दोनों शर्तें साथ पूरी नहीं होतीं। चरण 3: विरोधी शर्तें अक्सर रिक्त समुच्चय देती हैं।
The word (KAMAL) has distinct letters (K,A,M,L), but (A) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
Distinct elements are (K,A,M,L), so there are (4) elements.
Step 3
Exam Tip
In word-based sets, count distinct letters only. चरण 1: शब्द "कमल" में क, म, ल तीन अलग-अलग अक्षर हैं। चरण 2: प्रत्येक अलग अक्षर एक तत्व माना जाएगा। चरण 3: शब्द आधारित समुच्चयों में अलग-अलग अक्षर ही गिनें।
So no natural number satisfies the given condition. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ सामान्य रूप से \(1,2,3,\ldots\) होती हैं। चरण 2: इनमें (0) या उससे छोटी संख्या शामिल नहीं होती। चरण 3: इसलिए दी गई शर्त कोई प्राकृतिक संख्या पूरी नहीं करती।
Since (x) is a natural number, only (4) is allowed.
Step 3
Exam Tip
The type of number condition can change the answer. चरण 1: (16) के वर्गमूल (-4) और (4) हो सकते हैं। चरण 2: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए केवल (4) लिया जाएगा। चरण 3: संख्या के प्रकार की शर्त उत्तर को बदल सकती है।
Even if a factor repeats, it is written once in a set. चरण 1: \(25=5\times5\) है। चरण 2: (25) का अभाज्य गुणनखंड केवल (5) है। चरण 3: दोहराव होने पर भी समुच्चय में तत्व एक बार ही लिखा जाता है।
Natural numbers satisfying \(x\leq4\) are (1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
(A) also has exactly these four elements.
Step 3
Exam Tip
Roster form and rule form can represent equal sets. चरण 1: \(x\leq4\) वाली प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। चरण 2: (A) में भी यही चार तत्व हैं। चरण 3: सूची विधि और नियम विधि के समुच्चय समान हो सकते हैं।
A positive factor of a number is not greater than the number itself.
Step 2
Why this answer is correct
No factor of (18) is greater than (18).
Step 3
Exam Tip
An impossible condition gives an empty set. चरण 1: किसी संख्या का धनात्मक गुणनखंड उस संख्या से बड़ा नहीं होता। चरण 2: (18) का कोई गुणनखंड (18) से बड़ा नहीं है। चरण 3: असंभव शर्त मिलने पर समुच्चय रिक्त होता है।
In a set, (0) is counted once, so the elements are (0) and (1).
Step 3
Exam Tip
Remove repetition before checking equality. चरण 1: ({1,0,0}) में (0) दो बार लिखा है। चरण 2: समुच्चय में (0) एक बार ही माना जाएगा, इसलिए तत्व (0) और (1) हैं। चरण 3: दोहराव हटाकर समानता जाँचें।
Knowing the least value helps identify an empty set. चरण 1: (2) सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। चरण 2: (2) से छोटी कोई अभाज्य प्राकृतिक संख्या नहीं होती। चरण 3: न्यूनतम मान की जानकारी रिक्त समुच्चय पहचानने में मदद करती है।
There are (12) months, so the number of elements is limited.
Step 3
Exam Tip
Treat examples with a fixed number as finite sets. चरण 1: वर्ष में महीनों की संख्या निश्चित है। चरण 2: कुल (12) महीने होते हैं, इसलिए तत्वों की संख्या सीमित है। चरण 3: निश्चित संख्या वाले उदाहरणों को परिमित समुच्चय मानें।
An unrestricted list of multiples has unlimited elements. चरण 1: (8) के प्राकृतिक गुणज \(8,16,24,\ldots\) हैं। चरण 2: यह सूची समाप्त नहीं होती। चरण 3: गुणजों की बिना सीमा वाली सूची में तत्व असीमित होते हैं।
Therefore, the actual elements of both sets are the same. चरण 1: (6) के गुणनखंड (1,2,3,6) हैं। चरण 2: (B) में (6) दो बार लिखा है, पर गिना एक बार जाएगा। चरण 3: इसलिए दोनों समुच्चयों के वास्तविक तत्व समान हैं।
