Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
When no element satisfies the condition, the set is empty. चरण 1: (2) और (3) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं आती। चरण 2: इसलिए दी गई शर्त को पूरा करने वाला कोई तत्व नहीं है। चरण 3: जब कोई तत्व शर्त पूरी न करे तो समुच्चय रिक्त होता है।
For \(x\leq 5\), the natural numbers are (1,2,3,4,5).
Step 2
Why this answer is correct
Their number is limited and can be fully counted.
Step 3
Exam Tip
A bounded small list is a finite set. चरण 1: \(x\leq 5\) होने पर प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4,5) मिलती हैं। चरण 2: इनकी संख्या सीमित है और गिनती पूरी हो जाती है। चरण 3: सीमा वाली छोटी सूची को परिमित समुच्चय मानें।
Odd natural numbers greater than (10) are \(11,13,15,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This list keeps continuing.
Step 3
Exam Tip
A list with no last element represents an infinite set. चरण 1: (10) से बड़ी विषम प्राकृतिक संख्याएँ \(11,13,15,\ldots\) हैं। चरण 2: यह सूची लगातार आगे बढ़ती रहती है। चरण 3: जिस सूची का अंतिम तत्व न हो उसे अनंत समुच्चय समझें।
In exams, compare the elements, not their order. चरण 1: समान समुच्चय में तत्व समान होने चाहिए। चरण 2: क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता। चरण 3: परीक्षा में तत्वों को मिलाकर देखें, क्रम को नहीं।
While checking equality, compare elements, not the form of writing. चरण 1: (12) के अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 2: (A) में भी यही दोनों तत्व हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय समुच्चय का रूप नहीं, तत्व देखें।
Do not let repetition mislead your counting. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व केवल एक बार माने जाते हैं। चरण 2: ({0,0,0}) में वास्तविक तत्व केवल (0) है। चरण 3: दोहराव देखकर तत्वों की संख्या गलत न मानें।
The numerical values satisfying \(x^2=9\) can be (-3) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\in \mathbb{N}\), only (3) is allowed.
Step 3
Exam Tip
Read every condition together before forming the set. चरण 1: \(x^2=9\) के संख्यात्मक मान (-3) और (3) हो सकते हैं। चरण 2: \(x\in \mathbb{N}\) है, इसलिए केवल (3) लिया जाएगा। चरण 3: हर शर्त को साथ पढ़ें, तभी सही समुच्चय बनेगा।
A year has (12) months, so the set has (12) elements.
Step 3
Exam Tip
For real-life examples, complete the count before choosing the answer. चरण 1: वर्ष में महीनों की संख्या निश्चित होती है। चरण 2: एक वर्ष में (12) महीने होते हैं इसलिए समुच्चय में (12) तत्व हैं। चरण 3: जीवन से जुड़े उदाहरणों में भी गिनती पूरी करके उत्तर चुनें।
C. ({0}) और \({\varnothing}\)/({0}) and \({\varnothing}\)
Step 1
Concept
({0}) contains (0) as one element.
Step 2
Why this answer is correct
\({\varnothing}\) contains the empty set itself as one element.
Step 3
Exam Tip
(0) and \(\varnothing\) are different, so the two sets are not equal. चरण 1: ({0}) में (0) एक तत्व है। चरण 2: \({\varnothing}\) में रिक्त समुच्चय स्वयं एक तत्व है। चरण 3: (0) और \(\varnothing\) अलग हैं, इसलिए ये दोनों समुच्चय समान नहीं हैं।
When even and prime appear together, remember (2). चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (2) ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। चरण 3: सम और अभाज्य शब्द साथ आएँ तो (2) को याद रखें।
Repetition does not create a new element in a set.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets have the actual elements (a,b,c).
Step 3
Exam Tip
To check equality, ignore repetition and order. चरण 1: समुच्चय में तत्वों का दोहराव नया तत्व नहीं बनाता। चरण 2: दोनों में वास्तविक तत्व (a,b,c) ही हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय दोहराव और क्रम को हटाकर देखें।
If no element satisfies the condition, the set is empty. चरण 1: पूर्ण संख्याएँ \(0,1,2,3,\ldots\) होती हैं। चरण 2: (3) और (4) के बीच कोई पूर्ण संख्या नहीं है। चरण 3: जब शर्त पूरी करने वाला कोई तत्व न मिले तो समुच्चय रिक्त होता है।
A. हाँ, क्योंकि दोनों में वही तत्व हैं/Yes, because both have the same elements
Step 1
Concept
Natural numbers less than (5) are (1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
All elements of (A) and (B) are the same.
Step 3
Exam Tip
The form may differ, but equality depends on elements. चरण 1: (5) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। चरण 2: (A) और (B) के सभी तत्व समान हैं। चरण 3: रूप अलग हो सकता है, पर समानता तत्वों से तय होती है।
In sets made from words, count only distinct letters. चरण 1: दिए गए शब्द में अक्षर (M,A,T,H) हैं। चरण 2: ये चार अलग-अलग तत्व हैं। चरण 3: शब्दों से बने समुच्चयों में अलग-अलग अक्षर ही गिनें।
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The actual elements are (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
If repetition appears, remove it before counting. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व अलग से नहीं गिने जाते। चरण 2: वास्तविक तत्व (1,2,3) हैं। चरण 3: प्रश्न में दोहराव हो तो पहले उसे हटाएँ।
\({\varnothing}\) has one element, so do not call it empty. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ ऋणात्मक नहीं होतीं। चरण 2: (x<0) शर्त कोई प्राकृतिक संख्या पूरी नहीं करती। चरण 3: \({\varnothing}\) में एक तत्व होता है, इसलिए उसे रिक्त न मानें।
Changing order does not make equal sets unequal. चरण 1: समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता। चरण 2: केवल तत्वों की समानता देखी जाती है। चरण 3: क्रम बदलना समान समुच्चय को असमान नहीं बनाता।
Do not treat (1) as a prime number. चरण 1: (10) से छोटी अभाज्य संख्याएँ खोजें। चरण 2: (2,3,5,7) ही ऐसी संख्याएँ हैं। चरण 3: (1) को अभाज्य संख्या न मानें।
To test equality, match the elements on both sides. चरण 1: (7) से छोटी सम प्राकृतिक संख्याएँ (2,4,6) हैं। चरण 2: यही तत्व (A) में भी हैं। चरण 3: समानता के लिए दोनों तरफ के तत्व मिलाकर देखें।
On the number line, there is no integer between consecutive whole numbers. चरण 1: पूर्णांकों में (0) और (1) के बीच कोई पूर्णांक नहीं आता। चरण 2: दी गई शर्त कोई तत्व पूरा नहीं करता। चरण 3: संख्या रेखा पर पास-पास की पूर्ण संख्याओं के बीच पूर्णांक नहीं होता।
C. उसके तत्वों की संख्या निश्चित होती है/It has a fixed number of elements
Step 1
Concept
Finite means limited.
Step 2
Why this answer is correct
A finite set has a fixed number of elements.
Step 3
Exam Tip
An empty set is finite, but every finite set is not empty. चरण 1: परिमित का अर्थ है सीमित। चरण 2: परिमित समुच्चय में तत्वों की संख्या निश्चित होती है। चरण 3: रिक्त समुच्चय भी परिमित हो सकता है, पर हर परिमित समुच्चय रिक्त नहीं होता।
B. उसकी गिनती समाप्त नहीं होती/Its counting does not end
Step 1
Concept
Infinite means without an end.
Step 2
Why this answer is correct
In an infinite set, the counting of elements cannot be completed.
Step 3
Exam Tip
The sign \(\ldots\) often shows an infinite list. चरण 1: अनंत का अर्थ है जिसका अंत न हो। चरण 2: अनंत समुच्चय में तत्वों की गिनती पूरी नहीं की जा सकती। चरण 3: \(\ldots\) का संकेत अक्सर अनंत सूची दिखाता है।
Even one different element makes the sets unequal. चरण 1: समान समुच्चय के सभी तत्व एक जैसे होने चाहिए। चरण 2: (A) में (p) है जबकि (B) में (s) है। चरण 3: एक अलग तत्व भी समुच्चयों को असमान बना देता है।
A set with a fixed list is finite. चरण 1: सप्ताह में दिनों की संख्या निश्चित होती है। चरण 2: कुल (7) दिन होते हैं इसलिए तत्वों की गिनती समाप्त हो जाती है। चरण 3: निश्चित सूची वाले समुच्चय को परिमित मानें।
A complete list of multiples is usually infinite. चरण 1: (5) के गुणज \(5,10,15,20,\ldots\) होते हैं। चरण 2: यह सूची आगे चलती रहती है। चरण 3: गुणजों की पूरी सूची अक्सर अनंत होती है।
In alphabet-based questions, count distinct elements only. चरण 1: अंग्रेजी स्वरों को पहचानें। चरण 2: (a,e,i,o,u) पाँच स्वर हैं। चरण 3: वर्णों वाले प्रश्न में केवल अलग-अलग तत्व गिनें।
The even prime number is (2), so the third set has an element.
Step 3
Exam Tip
For each option, check whether any element satisfies the condition. चरण 1: रिक्त नहीं होने के लिए कम से कम एक तत्व चाहिए। चरण 2: सम अभाज्य संख्या (2) है, इसलिए तीसरे समुच्चय में तत्व है। चरण 3: प्रत्येक विकल्प में शर्त पूरी करने वाला तत्व खोजें।
Ignoring repetition and order, all three sets are equal. चरण 1: (B) में (2) दो बार लिखा है, पर गिना एक बार जाएगा। चरण 2: (C) में वही तत्व अलग क्रम में हैं। चरण 3: दोहराव और क्रम हटाने पर तीनों समान हैं।
Do not confuse ({0}) with the symbol of the empty set. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता। चरण 2: इसका सामान्य प्रतीक \(\varnothing\) है। चरण 3: ({0}) को रिक्त समुच्चय का प्रतीक समझने की गलती न करें।
Even if the count is large, the set is finite when counting ends. चरण 1: दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ (10) से (99) तक होती हैं। चरण 2: यह सूची सीमित है। चरण 3: बड़ी संख्या होने पर भी यदि गिनती समाप्त हो जाए तो समुच्चय परिमित होता है।
Integers \(\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\) continue in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
Their counting does not end.
Step 3
Exam Tip
The set of all integers is infinite. चरण 1: पूर्णांक \(\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\) दोनों दिशाओं में चलते हैं। चरण 2: इनकी गिनती समाप्त नहीं होती। चरण 3: सभी पूर्णांकों का समुच्चय अनंत होता है।
The set of factors of a fixed number is finite. चरण 1: (6) को पूरा विभाजित करने वाली संख्याएँ खोजें। चरण 2: (1,2,3,6) सभी (6) के गुणनखंड हैं। चरण 3: गुणनखंडों का समुच्चय किसी निश्चित संख्या के लिए परिमित होता है।
A set with one element is not empty. चरण 1: (2) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ देखें। चरण 2: केवल (1) है और (1) विषम है। चरण 3: एक तत्व वाला समुच्चय रिक्त नहीं होता।
Even one extra element breaks equality. चरण 1: समान समुच्चय में तत्व बिल्कुल समान होने चाहिए। चरण 2: ({1,2,3,4}) में अतिरिक्त तत्व (4) है। चरण 3: एक अतिरिक्त तत्व भी समानता को तोड़ देता है।
When a boundary is given, make the list and count. चरण 1: (20) से छोटे वर्ग संख्याएँ लिखें। चरण 2: (1,4,9,16) चार संख्याएँ हैं। चरण 3: सीमा दी हो तो सूची बनाकर गिनती करें।
If the condition is impossible, the set is empty. चरण 1: कोई भी संख्या अपने से (1) अधिक संख्या के बराबर नहीं हो सकती। चरण 2: इसलिए शर्त कोई प्राकृतिक संख्या पूरी नहीं करती। चरण 3: असंभव शर्त मिलने पर समुच्चय रिक्त होता है।
({a,b}) and ({b,a}) have the same elements, only the order differs.
Step 3
Exam Tip
Do not mark sets unequal only because the order changes. चरण 1: समान समुच्चयों में वही तत्व होने चाहिए। चरण 2: ({a,b}) और ({b,a}) में तत्व समान हैं, केवल क्रम अलग है। चरण 3: क्रम को देखकर जल्दबाजी में असमान न मानें।
Natural numbers divisible by (3) are \(3,6,9,12,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This sequence never ends.
Step 3
Exam Tip
A set of multiples without an upper limit is infinite. चरण 1: (3) से विभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ \(3,6,9,12,\ldots\) हैं। चरण 2: यह क्रम कभी समाप्त नहीं होता। चरण 3: बिना ऊपरी सीमा वाले गुणजों का समुच्चय अनंत होता है।
Natural numbers are taken as positive counting numbers.
Step 2
Why this answer is correct
No natural number is negative.
Step 3
Exam Tip
Such a condition gives an empty set. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक गिनती वाली संख्याएँ मानी जाती हैं। चरण 2: कोई प्राकृतिक संख्या ऋणात्मक नहीं होती। चरण 3: ऐसी शर्त का परिणाम रिक्त समुच्चय होता है।
The set of distinct digits is ({0,2,6}). चरण 1: संख्या (2026) के अंक (2,0,2,6) हैं। चरण 2: समुच्चय में (2) दो बार नहीं गिना जाएगा। चरण 3: अलग-अलग अंकों का समुच्चय ({0,2,6}) है।
Both sets have the same actual elements. चरण 1: (4) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3) हैं। चरण 2: (B) में (3) दो बार लिखा है पर गिना एक बार जाएगा। चरण 3: दोनों में वास्तविक तत्व समान हैं।
To be finite and non-empty, the set must have a limited positive number of elements.
Step 2
Why this answer is correct
({2,4,6}) has three elements.
Step 3
Exam Tip
The empty set is finite, but it does not satisfy the non-empty condition. चरण 1: परिमित और रिक्त नहीं होने के लिए तत्व सीमित तथा कम से कम एक होने चाहिए। चरण 2: ({2,4,6}) में तीन तत्व हैं। चरण 3: रिक्त समुच्चय परिमित है, पर वह रिक्त नहीं की शर्त पूरी नहीं करता।
But in \({\varnothing}\), \(\varnothing\) is placed as one element.
Step 3
Exam Tip
Look at the outer braces to identify the number of elements. चरण 1: \(\varnothing\) अपने आप में रिक्त समुच्चय है। चरण 2: लेकिन \({\varnothing}\) में \(\varnothing\) एक तत्व के रूप में रखा गया है। चरण 3: बाहरी कोष्ठक देखकर तत्वों की संख्या पहचानें।
The numerical solutions of \(x^2=4\) can be (-2) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
Since (x) is a natural number, only (2) is allowed.
Step 3
Exam Tip
Read all conditions before forming the set. चरण 1: \(x^2=4\) के संख्यात्मक हल (-2) और (2) हो सकते हैं। चरण 2: पर (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए (2) ही लिया जाएगा। चरण 3: शर्तों को पूरा पढ़कर ही समुच्चय लिखें।
If no value satisfies the condition, the set is empty. चरण 1: ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है जिसका वर्ग (2) हो। चरण 2: \(\sqrt{2}\) प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 3: जब कोई मान शर्त पूरी न करे तो रिक्त समुच्चय बनता है।
C. ({0}) और \(\varnothing\)/({0}) and \(\varnothing\)
Step 1
Concept
({0}) has one element, (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(\varnothing\) has no element.
Step 3
Exam Tip
A one-element set and the empty set are not equal. चरण 1: ({0}) में (0) नाम का एक तत्व है। चरण 2: \(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता। चरण 3: एक तत्व वाला समुच्चय और रिक्त समुच्चय समान नहीं होते।
Natural numbers less than (100) are from (1) to (99).
Step 2
Why this answer is correct
Their number is fixed.
Step 3
Exam Tip
When an upper limit is given, the set is often finite. चरण 1: (100) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (99) तक हैं। चरण 2: इनकी संख्या निश्चित है। चरण 3: ऊपरी सीमा मिलने पर समुच्चय अक्सर परिमित होता है।
Natural numbers greater than (100) are \(101,102,103,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
There is no last number in this list.
Step 3
Exam Tip
Even with a lower limit, the list can be infinite. चरण 1: (100) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ \(101,102,103,\ldots\) हैं। चरण 2: इनके लिए कोई अंतिम संख्या नहीं है। चरण 3: केवल निचली सीमा होने पर भी सूची अनंत हो सकती है।
The distinct elements are (L,E,V), so the number is (3). चरण 1: शब्द (LEVEL) में अक्षर (L,E,V,E,L) हैं। चरण 2: दोहराए गए (L) और (E) एक-एक बार गिने जाएँगे। चरण 3: अलग-अलग तत्व (L,E,V) हैं, इसलिए संख्या (3) है।
Usually there are three colors, so the elements are limited.
Step 3
Exam Tip
Fixed real-life lists form finite sets. चरण 1: यातायात संकेतक में रंगों की संख्या निश्चित होती है। चरण 2: सामान्य रूप से तीन रंग होते हैं इसलिए तत्व सीमित हैं। चरण 3: वास्तविक जीवन की निश्चित सूचियाँ परिमित समुच्चय बनाती हैं।
