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तीन तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। परीक्षा में घात समुच्चय की संख्या के लिए \(2^n\) याद रखें। / A set with three elements has \(2^3=8\) subsets. For exams remember \(2^n\) for number of elements in a power set.
पहले (A'={3,4,5,6}) मिलेगा जिसमें (4) तत्व हैं। इसलिए (\mathcal{P}(A')) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (A'={3,4,5,6}), which has (4) elements. So (\mathcal{P}(A')) has \(2^4=16\) elements.
घात समुच्चय किसी समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है। परीक्षा में तत्व और उपसमुच्चय में अंतर रखें। / A power set is the set of all subsets of a given set. In exams keep the difference between element and subset clear.
({a}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय के तत्व हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / ({a}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Elements of a power set are always subsets.
रिक्त समुच्चय का एक ही उपसमुच्चय \(\emptyset\) होता है। इसलिए (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}) है। / The empty set has only one subset which is \(\emptyset\). Hence (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}).
A. चर्चा में सभी संबंधित तत्वों का समुच्चय/set of all relevant elements under discussion
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय उस संदर्भ के सभी संबंधित तत्व रखता है। प्रश्न में दिए गए संदर्भ को देखकर (U) तय करें। / The universal set contains all relevant elements in the given context. Decide (U) from the context of the question.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({x}) हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{x}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({x}). So its power set is \({\emptyset,{x}}\).
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए \(\emptyset\) हर घात समुच्चय का तत्व है। / The empty set is a subset of every set. Therefore \(\emptyset\) is an element of every power set.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। परीक्षा में \(\emptyset'=U\) याद रखें। / The empty set has no elements so its complement is the whole (U). Remember \(\emptyset'=U\) for exams.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। इनमें \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी शामिल होते हैं। / A two element set has four subsets. These include \(\emptyset\) and the whole set itself.
B. विद्यालय के वे विद्यार्थी जो कक्षा (11) में नहीं हैं/school students not in class (11)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (U) के अंदर (A) से बाहर के तत्वों को दिखाता है। यहां यह कक्षा (11) में न पढ़ने वाले विद्यालय के विद्यार्थी हैं। / The complement shows elements inside (U) but outside (A). Here it means school students who are not in class (11).
(A) के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए उसका घात समुच्चय \({\emptyset,{\emptyset}}\) है। / The subsets of (A) are \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). So its power set is \({\emptyset,{\emptyset}}\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं, सीधे तत्व नहीं। ({1}) उपसमुच्चय है इसलिए सही है। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets, not direct elements. ({1}) is a subset, so it is correct.
({1,5}) (A) का उपसमुच्चय है लेकिन (A) का सीधा तत्व नहीं है। इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / ({1,5}) is a subset of (A) but not a direct element of (A). So it is an element of (\mathcal{P}(A)).
क्योंकि \(32=2^5\), मूल समुच्चय में (5) तत्व होंगे। घात समुच्चय की संख्या हमेशा (2) की घात होती है। / Since \(32=2^5\), the original set has (5) elements. The size of a power set is always a power of (2).
(0) तत्वों वाले समुच्चय के लिए \(2^0=1\) होता है। इसलिए रिक्त समुच्चय का घात समुच्चय एक तत्व वाला है। / For a set with (0) elements, \(2^0=1\). So the power set of the empty set has one element.
पूरक तब रिक्त होगा जब (A) ने पूरे सार्वत्रिक समुच्चय को ले लिया हो। इसलिए (A=U) सही स्थिति है। / The complement is empty when (A) takes the whole universal set. Therefore (A=U) is the correct case.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) है। परीक्षा में यह मूल नियम बहुत उपयोगी है। / The empty set has no element, so its complement is the whole (U). This basic rule is very useful in exams.
चार तत्वों में से तीन चुनने के (4) तरीके हैं। इसलिए तीन तत्व वाले उपसमुच्चय (4) होंगे। / There are (4) ways to choose three elements from four. So there are (4) three element subsets.
घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा मूल समुच्चय दोनों होते हैं। यहां पूरा मूल समुच्चय ({5}) है। / A power set contains both \(\emptyset\) and the whole original set. Here the whole original set is ({5}).
A. क्योंकि (3) (A) में नहीं है/because (3) is not in (A)
Explanation
Simple Explanation
({1,2,3}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि इसमें अतिरिक्त तत्व (3) है। घात समुच्चय में केवल उपसमुच्चय आते हैं। / ({1,2,3}) is not a subset of (A) because it has the extra element (3). A power set contains only subsets.
A. \({4,8}\subseteq A\) और \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)/\({4,8}\subseteq A\) and \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
(4) और (8) दोनों (A) में हैं इसलिए \({4,8}\subseteq A\) है। इसी कारण यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / Both (4) and (8) are in (A), so \({4,8}\subseteq A\). Therefore it is an element of (\mathcal{P}(A)).
({20}) (A) का एक उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) में होगा। सीधे (20) को घात समुच्चय का तत्व न समझें। / ({20}) is a subset of (A), so it will be in (\mathcal{P}(A)). Do not treat direct (20) as an element of the power set.
(A) में (3) तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। परीक्षा में (n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}) याद रखें। / Set (A) has (3) elements so its power set has \(2^3=8\) elements. Remember (n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}) for exams.
({x}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय में सीधे तत्व नहीं बल्कि उपसमुच्चय आते हैं। / ({x}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). A power set contains subsets not direct elements.
पूरक हमेशा किसी दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में निकाला जाता है। बिना (U) के पूरक स्पष्ट नहीं होता। / A complement is always found with respect to a given universal set. Without (U) the complement is not clear.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({3}) हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{3}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({3}). So the power set is \({\emptyset,{3}}\).
रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय \(\emptyset\) होता है। इसलिए (\mathcal{P}\(\emptyset\)) में (1) तत्व है। / The empty set has only one subset which is \(\emptyset\). Hence (\mathcal{P}\(\emptyset\)) has (1) element.
B. चश्मा न पहनने वाले कक्षा के विद्यार्थी/class students not wearing glasses
Explanation
Simple Explanation
पूरक में उसी (U) के अंदर वे तत्व आते हैं जो दिए गए समुच्चय में नहीं हैं। यहां (G') चश्मा न पहनने वाले विद्यार्थियों को दिखाता है। / A complement contains elements inside (U) that are not in the given set. Here (G') means students not wearing glasses.
({1,4}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि (4) (A) में नहीं है। इसलिए यह घात समुच्चय में नहीं आएगा। / ({1,4}) is not a subset of (A) because (4) is not in (A). So it will not be in the power set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी लिखें। / A two element set has four subsets. Include \(\emptyset\) and the whole set in the power set.
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है इसलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\) होता है। इसे \(A\subseteq A\) से समझें। / Every set is a subset of itself so \(A\in\mathcal{P}(A)\). Understand it from \(A\subseteq A\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं इसलिए ({2}) सही है। (2) (A) का तत्व है लेकिन घात समुच्चय का तत्व नहीं। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets so ({2}) is correct. (2) is an element of (A) but not of the power set.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए वह हर घात समुच्चय में तत्व के रूप में आता है। / The empty set is a subset of every set. Therefore it appears as an element in every power set.
(A) में दो तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। अंदर के कोष्ठकों को देखकर तत्व गिनें। / Set (A) has two elements so its power set has \(2^2=4\) elements. Count elements carefully using brackets.
पहले (A') निकालते हैं जो ({1,4,5}) है। फिर (\mathcal{P}(A')) इसी समुच्चय के उपसमुच्चयों से बनेगा। / First find (A'), which is ({1,4,5}). Then (\mathcal{P}(A')) is made from subsets of this set.
शून्य तत्व वाला केवल \(\emptyset\) होता है। इसलिए किसी भी समुच्चय में ऐसा उपसमुच्चय एक ही होता है। / The only zero element subset is \(\emptyset\). So any set has exactly one such subset.
A. क्योंकि यह (A) का उपसमुच्चय है/because it is a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
({क,ग}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। घात समुच्चय के तत्व उपसमुच्चय होते हैं। / All elements of ({a,c}) are in (A), so it is a subset. Elements of a power set are subsets.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (4) तत्व हैं इसलिए \(2^4=16\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (4) elements so the power set has \(2^4=16\) elements.
(1) को स्थिर रखकर बाकी (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (4) उपसमुच्चय हैं। / Keep (1) fixed and choose or not choose the remaining (2) elements in \(2^2=4\) ways. So there are (4) such subsets.
(15) को न लेकर बाकी (2) तत्वों से \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में हटे हुए तत्व के बाद बचे तत्व गिनें। / Without (15), the remaining (2) elements form \(2^2=4\) subsets. In exams count the elements left after removing the fixed element.
तीन तत्वों वाले समुच्चय का तीन तत्व वाला उपसमुच्चय केवल वही पूरा समुच्चय होता है। इसलिए संख्या (1) है। / The only three element subset of a three element set is the whole set itself. So the number is (1).
A. \({1}\subseteq A\) और \({1}\in\mathcal{P}(A)\)/\({1}\subseteq A\) and \({1}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({1}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए वह घात समुच्चय का तत्व है। सीधे (1) को (\mathcal{P}(A)) का तत्व न मानें। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of the power set. Do not treat direct (1) as an element of (\mathcal{P}(A)).
पहले (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। फिर (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (n(\mathcal{P}(A))=22=4). Then (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^4=16\) elements.
(2) और (4) को रखना अनिवार्य है और (6) को लेने या न लेने के (2) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (2) उपसमुच्चय हैं। / Keeping (2) and (4) is compulsory and (6) can be taken or not taken in (2) ways. So there are (2) such subsets.
सभी अंक (0) से (9) तक होते हैं और (A) में सम अंक हैं। बचे हुए विषम अंक (1,3,5,7,9) हैं। / All digits are from (0) to (9), and (A) contains even digits. The remaining odd digits are (1,3,5,7,9).
(A) में दो अलग तत्व \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। / (A) has two distinct elements \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=22=4).
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। एक तत्व वाले उपसमुच्चय (4) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of one element subsets is (4).
(A) में (3) तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। परीक्षा में \(2^n\) नियम तुरंत लगाएं। / Set (A) has (3) elements so its power set has \(2^3=8\) elements. Use the \(2^n\) rule directly in exams.
({v}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय में उपसमुच्चय आते हैं। / ({v}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). A power set contains subsets.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({9}) होते हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{9}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({9}). Hence the power set is \({\emptyset,{9}}\).
यहां \(\emptyset\) भी एक तत्व है इसलिए (A) में कुल (3) तत्व हैं। अतः \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / Here \(\emptyset\) is also one element so (A) has (3) elements. Thus there are \(2^3=8\) subsets.
B. पुस्तकालय की हिंदी न होने वाली पुस्तकें/library books that are not Hindi books
Explanation
Simple Explanation
पूरक उसी (U) के अंदर दिए गए समुच्चय से बाहर के तत्व दिखाता है। यहां (H') हिंदी न होने वाली पुस्तकें हैं। / A complement shows elements inside the same (U) but outside the given set. Here (H') means books that are not Hindi books.
हर तत्व से एक एकल उपसमुच्चय बनता है। पांच तत्व होने पर पांच एक तत्व वाले उपसमुच्चय होंगे। / Each element forms one singleton subset. With five elements there are five one element subsets.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी शामिल करें। / A two element set has four subsets. Include \(\emptyset\) and the whole set in the power set.
पांच तत्वों में से चार चुनने के (5) तरीके हैं। हर उपसमुच्चय में एक अलग तत्व छूटता है। / There are (5) ways to choose four elements from five. In each subset one different element is left out.
पहले (A'={1,3,5,6}) है जिसमें (4) तत्व हैं। इसलिए (\mathcal{P}(A')) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (A'={1,3,5,6}), which has (4) elements. So (\mathcal{P}(A')) has \(2^4=16\) elements.
A. क्योंकि यह (A) का उपसमुच्चय है/because it is a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
({क,घ}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय आते हैं। / All elements of ({a,d}) are in (A), so it is a subset. A power set contains all subsets.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (3) तत्व हैं इसलिए \(2^3=8\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (3) elements so the power set has \(2^3=8\) elements.
(5) को स्थिर रखकर बाकी (2) तत्वों के लिए \(2^2=4\) विकल्प हैं। इसलिए ऐसे (4) उपसमुच्चय होंगे। / Keep (5) fixed and choose from the remaining (2) elements in \(2^2=4\) ways. So there are (4) such subsets.
(36) को हटाकर बाकी (2) तत्वों से \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। ऐसे प्रश्नों में बचे तत्व गिनें। / After excluding (36), the remaining (2) elements form \(2^2=4\) subsets. Count the remaining elements in such questions.
तीन तत्वों वाले समुच्चय का तीन तत्व वाला उपसमुच्चय केवल पूरा समुच्चय होता है। इसलिए संख्या (1) है। / The only three element subset of a three element set is the whole set. So the number is (1).
A. \({5}\subseteq A\) और \({5}\in\mathcal{P}(A)\)/\({5}\subseteq A\) and \({5}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({5}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह घात समुच्चय का तत्व है। सीधे (5) को घात समुच्चय का तत्व न मानें। / ({5}) is a subset of (A), so it is an element of the power set. Do not treat direct (5) as an element of the power set.
पहले (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। फिर (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (n(\mathcal{P}(A))=22=4). Then (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^4=16\) elements.
(1) और (9) रखना तय है और (3) को लेने या न लेने के (2) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (2) उपसमुच्चय हैं। / Keeping (1) and (9) is fixed and (3) can be taken or not taken in (2) ways. So there are (2) such subsets.
परपूरक की परिभाषा: A' = U 6 A (यानी U में से A के सदस्य निकालें)। दिए गए U में एक-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ 1 से 9 तक हैं। A = {2,4,6,8} को हटा देने पर बचते हैं {1,3,5,7,9}। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 0 है — यहाँ U को 1 से 9 माना गया है। परीक्षा टिप: यूनिवर्सल सेट को पहले स्पष्ट करें (क्या 0 को प्राकृतिक मानते हैं या नहीं) ताकि परपूरक सही निकले। / Definition: A' = U \ A, i.e. remove elements of A from U. Here U = {1,2,...,9} (one-digit natural numbers). Removing A = {2,4,6,8} leaves {1,3,5,7,9}, so option A is correct. Option B is a common distractor including 0; it is wrong because 0 is not part of U as defined. Exam tip: always confirm exactly what the universal set contains (does it include 0?) before computing complements.
(A) में तीन अलग तत्व \(\emptyset,{\emptyset},0\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=23=8) है। / (A) has three distinct elements \(\emptyset,{\emptyset},0\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=23=8).
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। दो तत्व वाले उपसमुच्चय (6) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of two element subsets is (6).
कुल (8) उपसमुच्चय हैं और (a,b) दोनों को न रखने वाले (2) हैं। इसलिए (8-2=6) उपसमुच्चय सही हैं। / There are (8) total subsets and (2) subsets contain neither (a) nor (b). So (8-2=6) subsets are correct.
