Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले दो समान समूहों के लिए \(3\cdot3\) विकल्प और अंतिम असमान जोड़े के लिए \(3\cdot2\) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3\cdot3\cdot2=54\) फलन हैं। / There are \(3\cdot3\) choices for the two equal groups and \(3\cdot2\) choices for the unequal last pair. Total functions are \(3\cdot3\cdot3\cdot2=54\).
संबंध \(R=\{(x,y):y^2=x-1,\ x\in{2,5,10},\ y\in{-3,-2,-1,1,2,3}\}\) को \(X=\{2,5,10\}\) से \(Y=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\) में माना गया है। सही निष्कर्ष क्या है?
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं/It is not a function because (2) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (y=1) और (y=-1) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट की दो छवियां फलन की शर्त तोड़ देती हैं। / At (x=2), both (y=1) and (y=-1) occur. Two images for one input break the condition for a function.
फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\sqrt{a x-2-6a+9}) से परिभाषित करना है। पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त पर्याप्त और आवश्यक है?
यदि (a<0) हो तो बड़े (|x|) पर भीतर की राशि ऋणात्मक हो सकती है और यदि \(a\ge0\) हो तो न्यूनतम (9-6a) है। इसलिए \(9-6a\ge0\) से \(0\le a\le\frac{3}{2}\) मिलता है। / If (a<0), the radicand can become negative for large (|x|), and if \(a\ge0\), its minimum is (9-6a). Thus \(9-6a\ge0\) gives \(0\le a\le\frac{3}{2}\).
मान केवल (1,3,4) से लेने हैं और तीनों आने चाहिए। संख्या \(3^4-3\cdot2^4+3=36\) है। / Values must be taken only from (1,3,4), and all three must appear. The count is \(3^4-3\cdot2^4+3=36\).
B. यह फलन है क्योंकि \(n^5-n\) हमेशा (5) से विभाज्य होता है/It is a function because \(n^5-n\) is always divisible by (5)
Explanation
Simple Explanation
पूर्णांक (n) के लिए \(n^5-n\) हमेशा (5) से विभाज्य होता है। इसलिए हर मान \(\mathbb{Z}\) में आता है। / For an integer (n), \(n^5-n\) is always divisible by (5). Therefore every value lies in \(\mathbb{Z}\).
A. यह फलन है और परिसर ({4,6,8,10}) है/It is a function and range is ({4,6,8,10})
Explanation
Simple Explanation
हर (x) के लिए (y=12-2x) अद्वितीय है और दिए गए सहप्रांत में आता है। सीमित समुच्चय में सभी छवियां लिखना सुरक्षित तरीका है। / For every (x), (y=12-2x) is unique and lies in the given codomain. Listing all images is a safe method for finite sets.
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+2) है लेकिन (x=-2) हटने से मान (0) नहीं मिलता। सरलीकरण के बाद हटे इनपुट की छवि ध्यान रखें। / On the given domain (f(x)=x+2), but removing (x=-2) removes the value (0). After simplification, note the image of the excluded input.
त्रिक ((f(1),f(2),f(3))) के लिए (10) विकल्प मिलते हैं और (f(4)=f(5)) के लिए (4) विकल्प हैं। कुल \(10\cdot4=40\) है। / There are (10) choices for the triple ((f(1),f(2),f(3))) and (4) choices for (f(4)=f(5)). Total is \(10\cdot4=40\).
विकल्प (C) में (4) की दो छवियां (r) और (q) हैं। फलन में हर इनपुट की ठीक एक छवि होनी चाहिए। / In option (C), (4) has two images (r) and (q). In a function each input must have exactly one image.
\(-2\le x\le4\) पर मान (6) है और सिरों (x=-3,5) पर मान (8) है। मापांक के ब्रेक-पॉइंट और अंतराल के सिरों को जांचें। / For \(-2\le x\le4\), the value is (6), and at endpoints (x=-3,5), it is (8). Check modulus breakpoints and interval endpoints.
