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क्योंकि \(A\times B\) में \(3\times2=6\) अवयव हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। परीक्षा में पहले \(A\times B\) के अवयव गिनें। / Since \(A\times B\) has \(3\times2=6\) elements, the number of relations is \(2^6=64\). In exams, count the elements of \(A\times B\) first.
किसी संबंध का परिसर क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय होता है। यहाँ दूसरे घटक 3, 3, 5 और 7 हैं; समुच्चय में 3 को केवल एक बार लिखा जाता है, इसलिए परिसर \(\{3,5,7\}\) है। विकल्प A प्रथम घटकों का समुच्चय, अर्थात् प्रांत, है। परीक्षा में परिसर ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का दूसरा घटक लें और दोहराए गए अवयव हटा दें। / The range of a relation is the set of second components of its ordered pairs. Here the second components are 3, 3, 5, and 7; since a set does not repeat elements, the range is \(\{3,5,7\}\). Option A is the set of first components, called the domain. Exam tip: to find the range, list the second entry of each ordered pair and remove duplicates.
A. क्योंकि \((3,3)\) संबंध में अनुपस्थित है/Because \((3,3)\) is missing from the relation
Explanation
Simple Explanation
किसी संबंध के प्रतिवर्ती होने के लिए समुच्चय के प्रत्येक अवयव \(a\) के लिए \((a,a)\in R\) होना आवश्यक है। यहां \(1\) और \(2\) के लिए \((1,1)\) तथा \((2,2)\) मौजूद हैं, लेकिन \(3\) के लिए \((3,3)\) मौजूद नहीं है। इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिवर्तिता जांचने के लिए केवल विकर्ण युग्म \((a,a)\) देखें। / For a relation to be reflexive, \((a,a)\in R\) must hold for every element \(a\) of the set. Here, \((1,1)\) and \((2,2)\) are present, but \((3,3)\) is missing. Therefore, the relation is not reflexive. Exam tip: To test reflexivity, check all diagonal pairs \((a,a)\).
शर्त x + y = 5 को पूरा करने वाले क्रमित युग्म हैं: (1, 4), (2, 3), (3, 2) और (4, 1)। अतः R में कुल 4 युग्म हैं। (3) चुनना गलत होगा, क्योंकि (3, 2) और (2, 3) जैसे उलटे क्रम वाले युग्म अलग-अलग माने जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्मों में क्रम बदलने पर युग्म बदल जाता है। / The ordered pairs satisfying x + y = 5 are (1, 4), (2, 3), (3, 2), and (4, 1). Therefore, R contains 4 ordered pairs. Choosing 3 would be incorrect because reversed pairs such as (2, 3) and (3, 2) are distinct. Exam tip: In an ordered pair, changing the order changes the pair.
समुच्चय \(A\) में 2 अवयव हैं, इसलिए \(A\times A\) में \(2^2=4\) क्रमित युग्म होंगे। प्रत्येक संबंध, \(A\times A\) का एक उपसमुच्चय होता है। 4 अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) होते हैं, इसलिए सही उत्तर 16 है। विकल्प 4 केवल क्रमित युग्मों की संख्या बताता है, संबंधों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(n\) अवयवों वाले समुच्चय पर संबंधों की संख्या हमेशा \(2^{n^2}\) होती है। / Set \(A\) has 2 elements, so \(A\times A\) contains \(2^2=4\) ordered pairs. Every relation on \(A\) is a subset of \(A\times A\). A set with 4 elements has \(2^4=16\) subsets, so the total number of relations is 16. Option 4 is only the number of ordered pairs, not the number of relations. Exam tip: For a set with \(n\) elements, the number of relations on it is \(2^{n^2}\).
सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बराबर होता है। यहाँ \(A\times A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल तत्समक संबंध है, जिसमें \((a,a)\) वाले युग्म होते हैं। परीक्षा में याद रखें कि सार्वत्रिक संबंध में समुच्चय के सभी संभव क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / The universal relation on a set \(A\) is \(A\times A\). For \(A=\{1,2\}\), \(A\times A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\), so option A is correct. Option B is only the identity relation, containing pairs of the form \((a,a)\). Exam tip: a universal relation contains every possible ordered pair formed from the set.
इस संबंध में समुच्चय \(A\) का प्रत्येक अवयव केवल स्वयं से संबंधित होता है; अर्थात प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \((x,x)\in R\) होता है। इसलिए इसे सर्वसम संबंध कहते हैं। रिक्त संबंध में कोई क्रमित युग्म नहीं होता, जबकि सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी क्रमित युग्म होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(R=\{(x,x):x\in A\}\) दिखे, तो उसे तुरंत सर्वसम संबंध पहचानें। / In this relation, every element of the set \(A\) is related only to itself; that is, \((x,x)\in R\) for every \(x\in A\). Hence, it is called the identity relation. An empty relation contains no ordered pairs, whereas a universal relation contains every ordered pair in \(A\times A\). Exam tip: whenever a relation is written as \(\{(x,x):x\in A\}\), identify it as the identity relation.
समुच्चय \(A\) से \(B\) तक संबंध की परिभाषा \(A\times B\) के किसी भी उपसमुच्चय के रूप में दी जाती है। इसलिए विकल्प A सही है। हर संबंध फलन नहीं होता, क्योंकि फलन में \(A\) के प्रत्येक अवयव की \(B\) में ठीक एक प्रतिछवि होनी चाहिए। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि सर्वसम संबंध सामान्यतः उसी समुच्चय पर परिभाषित होता है। परीक्षा-युक्ति: संबंध के लिए ‘कोई भी उपसमुच्चय’, जबकि फलन के लिए ‘प्रत्येक अवयव की ठीक एक प्रतिछवि’ याद रखें। / A relation from set \(A\) to set \(B\) is defined as any subset of \(A\times B\), so option A is correct. Not every relation is a function: a function must assign exactly one image in \(B\) to each element of \(A\). Option D is incorrect because an identity relation is generally defined on the same set. Exam tip: remember ‘any subset’ for a relation and ‘exactly one image for every element’ for a function.
A. \(p\in A\) और \(q\in B\)/\(p\in A\) and \(q\in B\)
Explanation
Simple Explanation
कार्टेशियन गुणन में पहला घटक पहले समुच्चय से और दूसरा घटक दूसरे समुच्चय से आता है। इसलिए \(p\in A\) और \(q\in B\) है। / In a Cartesian product, the first component comes from the first set and the second from the second set. Therefore \(p\in A\) and \(q\in B\).
युग्म \((-2,2)\) के लिए \((-2)^2=2^2=4\), इसलिए \(a^2=b^2\) की शर्त पूरी होती है और \((-2,2)\in R\)। अन्य विकल्पों में दोनों संख्याओं के वर्ग बराबर नहीं हैं। परीक्षा में ऐसी शर्तों में विपरीत चिह्न वाली संख्याओं के वर्ग भी जाँचें। / For the pair \((-2,2)\), \((-2)^2=2^2=4\), so it satisfies the condition \(a^2=b^2\) and hence \((-2,2)\in R\). In the other options, the squares of the two numbers are unequal. Exam tip: when a relation involves squares, check numbers with opposite signs as well.
किसी संबंध के परास में क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों के सभी अलग-अलग मान शामिल होते हैं। यहां दूसरे घटक 2, 3 और 3 हैं, इसलिए परास \(\{2,3\}\) है। विकल्प A और C में पहले तथा दूसरे घटकों का गलत संयोजन है, जबकि विकल्प D में पहले घटक 1 को भी शामिल कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का दूसरा घटक लिखें। / The range of a relation consists of all distinct second components of its ordered pairs. Here, the second components are 2, 3, and 3, so the range is \(\{2,3\}\). Options A and C use incorrect combinations of components, while option D also includes the first component 1. Exam tip: To find the range, list the second component of every ordered pair and remove repetitions.
A से B तक परिभाषित संबंध R का सहप्रांत वह पूरा समुच्चय B होता है जिसमें संबंध के मान स्थित होते हैं, चाहे B का कोई अवयव वास्तव में संबंधित हुआ हो या नहीं। इसलिए सहप्रांत {x,y} है। {1,3} संबंध का प्रांत है, जबकि {x,y} के सभी अवयव यहां प्राप्त होने के कारण इसका परिसर भी {x,y} है। परीक्षा-युक्ति: सहप्रांत दिए गए लक्ष्य समुच्चय B को देखकर, और परिसर संबंध के दूसरे घटकों को देखकर निर्धारित करें। / For a relation R from A to B, the codomain is the entire target set B, whether or not every element of B is actually used. Hence, the codomain is {x,y}. The set {1,3} is the domain, while the range is also {x,y} here because both x and y occur as second components. Exam tip: identify the codomain from the stated target set B, but find the range from the actual second components of the ordered pairs.
A. परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय है/The range is a subset of the codomain
Explanation
Simple Explanation
किसी संबंध का परिसर उन वास्तविक मानों का समुच्चय होता है जो संबंध के माध्यम से प्राप्त होते हैं, जबकि सहप्रांत वह समुच्चय है जिसमें ये मान स्थित होते हैं। इसलिए परिसर हमेशा सहप्रांत का उपसमुच्चय होता है। यहाँ \({p,q}\subset {p,q,r}\), और \(r\) सहप्रांत में है लेकिन परिसर में नहीं; अतः दोनों समान नहीं हैं। परीक्षा में याद रखें: परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय होता है, पर सहप्रांत परिसर का उपसमुच्चय आवश्यक नहीं होता। / The range of a relation consists of the actual output values, whereas the codomain is the set in which those outputs are allowed to lie. Therefore, the range is always a subset of the codomain. Here, \({p,q}\subset {p,q,r}\); the element \(r\) belongs to the codomain but not to the range, so the two sets are not equal. Exam tip: range is always contained in the codomain, but it need not be the whole codomain.
अधिकतम संबंध पूरा \(A\times B\) हो सकता है। इसलिए अधिकतम युग्म \(2\times5=10\) होंगे। / The maximum relation can be the whole \(A\times B\). Therefore the maximum number of pairs is \(2\times5=10\).
\((1,4)\) के लिए \(a=1\) और \(b=4\), इसलिए \(ab=1\times4=4\) है। अतः \((1,4)\), \(R\) का सदस्य है। अन्य विकल्पों के लिए क्रमशः गुणनफल \(6,3\) और \(8\) है, इसलिए वे \(R\) में नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी क्रमित युग्म की सदस्यता जाँचने के लिए पहले देखें कि दोनों अवयव दिए गए समुच्चय में हैं और फिर संबंध की शर्त संतुष्ट होती है या नहीं। / For \((1,4)\), we have \(a=1\) and \(b=4\), so \(ab=1\times4=4\). Hence, \((1,4)\) belongs to \(R\). The products for the other options are \(6,3\), and \(8\), respectively, so they do not satisfy the relation. Exam tip: To test whether an ordered pair belongs to a relation, verify both the allowed elements and the defining condition.
